2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(乙卷)

2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（乙卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，則A． B． C． D．2．已知集合，，，，則A． B． C． D．3．已知命題，；命題，，則下列命題中為真命題的是A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是A． B． C． D．5．在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為A． B． C． D．6．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有A．60種 B．120種 C．240種 D．480種7．把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則A． B． C． D．8．在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為A． B． C． D．9．魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”，則海島的高A．表高 B．表高 C．表距 D．表距10．設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則A． B． C． D．11．設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是A．， B．， C．， D．，12．設(shè)，，，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的一條漸近線為，則的焦距為．14．已知向量，，若，則．15．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，，，則．16．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．18．（12分）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．19．（12分）記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項公式．20．（12分）己知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求；（2）設(shè)函數(shù)．證明：．21．（12分）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為4．（1）求；（2）若點在上，，為的兩條切線，，是切點，求面積的最大值．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1．（1）寫出的一個參數(shù)方程；（2）過點作的兩條切線．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍．

2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（乙卷）答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，則A． B． C． D．【思路分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出，，是實數(shù)，根據(jù)條件建立方程進行求解即可．設(shè)，，是實數(shù)，則，則由，得，得，得，得，，即，故選：．【歸納總結(jié)】本題主要考查復數(shù)的基本運算，利用待定系數(shù)法建立方程是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．2．已知集合，，，，則A． B． C． D．【思路分析】分別討論當是偶數(shù)、奇數(shù)時的集合元素情況，結(jié)合集合的基本運算進行判斷即可．當是偶數(shù)時，設(shè)，則，當是奇數(shù)時，設(shè)，則，，則，則，故選：．【歸納總結(jié)】本題主要考查集合的基本運算，利用分類討論思想結(jié)合交集定義是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．3．已知命題，；命題，，則下列命題中為真命題的是A． B． C． D．【思路分析】先分別判斷命題和命題的真假，然后由簡單的復合命題的真假判斷法則進行判斷，即可得到答案．對于命題，，當時，，故命題為真命題，為假命題；對于命題，，因為，又函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故，故命題為真命題，為假命題，所以為真命題，為假命題，為假命題，為假命題，故選：．【歸納總結(jié)】本題考查了命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握全稱命題和存在性命題真假的判斷方法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．4．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是A． B． C． D．【思路分析】先根據(jù)函數(shù)的解析式，得到的對稱中心，然后通過圖象變換，使得變換后的函數(shù)圖象的對稱中心為，從而得到答案．解法一：因為，所以函數(shù)的對稱中心為，所以將函數(shù)向右平移一個單位，向上平移一個單位，得到函數(shù)，該函數(shù)的對稱中心為，故函數(shù)為奇函數(shù)．故選：．解法二：（王亮老師補解）直接代入驗證為奇函數(shù)，滿足條件【歸納總結(jié)】本題考查了函數(shù)奇偶性和函數(shù)的圖象變換，解題的關(guān)鍵是確定的對稱中心，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5．在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為A． B． C． D．【思路分析】由，得是直線與所成的角（或所成角的補角），由此利用余弦定理，求出直線與所成的角．解法一：，是直線與所成的角（或所成角的補角），設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，，直線與所成的角為．故選：．解法二：（王亮老師補解）由C1P⊥平面BDD1B1，所以C1P⊥PB，又,則,所以）【歸納總結(jié)】本題考查異面直線所成角和余弦定理，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【思路分析】5分先選2人一組，然后4組全排列即可．5名志愿者選2個1組，有種方法，然后4組進行全排列，有種，共有種，故選：．【歸納總結(jié)】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，利用先分組后排列的方法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．7．把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則A． B． C． D．【思路分析】由題意利用函數(shù)的圖像變換規(guī)律，得出結(jié)論．把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，把函數(shù)的圖像，向左平移個單位長度，得到的圖像；再把圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，可得的圖像．故選：．【歸納總結(jié)】本題主要考查函數(shù)的圖像變換規(guī)律，屬基礎(chǔ)題．8．在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為A． B． C． D．【思路分析】由題意可得可行域：，可得三角形的面積，結(jié)合幾何概型即可得出結(jié)論．由題意可得可行域：，可得三角形的面積，．故選：．【歸納總結(jié)】本題考查了線性規(guī)劃知識、三角形的面積、幾何概型、對立事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”，則海島的高A．表高 B．表高 C．表距 D．表距【思路分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．，，故，即，解得：，，故：．故選：．【歸納總結(jié)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則A． B． C． D．【思路分析】分及，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)及題意，通過圖象發(fā)現(xiàn)，的大小關(guān)系，進而得出答案．解法一：令，解得或，即及是的兩個零點，當時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；當時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；綜上，．故選：．解法二：（陜西劉興老師補解）令因為，；時，所以時，函數(shù)取得極大值，只需，即，得，故選：．【歸納總結(jié)】本題考查三次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查導數(shù)知識的運用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．11．設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【思路分析】由題意可得至多一個解，根據(jù)判別式即可得到與的關(guān)系式，再求出離心率的取值范圍．解法一：點的坐標為，因為上的任意一點都滿足，所以點的軌跡可以看成以為圓心，為半徑的圓與橢圓至多只有一個交點，即至多一個解，消去，可得，△，整理可得，即，解得，，故的范圍為，，故選：．解法二：（王亮老師補解）設(shè)，則，由題意知：此二次函數(shù)在區(qū)間端點處取最大值，，所以,則）【歸納總結(jié)】本題考查了橢圓的方程和性質(zhì)，考查了運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題．12．設(shè)，，，則A． B． C． D．【思路分析】構(gòu)造函數(shù)，，，利用導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷．解法一：，，，令，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，（1），，，同理令，再令，則，，，在上單調(diào)遞減，（1），，，．故選：．解法二：（王亮老師補解）由，則排除AD,結(jié)合選項BC，只需判斷a,c的大小，故設(shè)，∴，又∵∴，∴，∴在上單增，∴，∴，∴，故選B【歸納總結(jié)】本題考查了不等式的大小比較，導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的一條漸近線為，則的焦距為4．【思路分析】根據(jù)題意，由雙曲線的性質(zhì)可得，解可得的值，即可得雙曲線的標準方程，據(jù)此計算的值，即可得答案．根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線為，則有，解可得，則雙曲線的方程為，則，其焦距；故答案為：4．【歸納總結(jié)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，涉及雙曲線的漸近線方程的分析，屬于基礎(chǔ)題．14．已知向量，，若，則．【思路分析】利用向量的坐標運算求得，再由，可得，即可求解的值．因為向量，，則，又，所以，解得．故答案為：．【歸納總結(jié)】本題主要考查數(shù)量積的坐標運算，向量垂直的充要條件，考查方程思想與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，，，則．【思路分析】由題意和三角形的面積公式以及余弦定理得關(guān)于的方程，解方程可得．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，，，，又，（負值舍）故答案為：．【歸納總結(jié)】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．16．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為②⑤或③④（寫出符合要求的一組答案即可）．【思路分析】通過觀察已知條件正視圖，確定該三棱錐的長和高，結(jié)合長、高、以及側(cè)視圖視圖中的實線、虛線來確定俯視圖圖形．觀察正視圖，推出三棱錐的長為2和高1，②③圖形的高也為1，即可能為該三棱錐的側(cè)視圖，④⑤圖形的長為2，即可能為該三棱錐的俯視圖，當②為側(cè)視圖時，結(jié)合側(cè)視圖中的直線，可以確定該三棱錐的俯視圖為⑤，當③為側(cè)視圖時，結(jié)合側(cè)視圖虛線，虛線所在的位置有立體圖形的輪廓線，可以確定該三棱錐的俯視圖為④．故答案為：②⑤或③④．【歸納總結(jié)】該題考查了三棱錐的三視圖，需要學生掌握三視圖中各個圖形邊長的等量關(guān)系，以及對于三視圖中特殊線條能夠還原到原立體圖形中，需要較強空間想象，屬于中等題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．【思路分析】（1）利用平均數(shù)和方差的計算公式進行計算即可；（2）比較與的大小，即可判斷得到答案．（1）由題中的數(shù)據(jù)可得，，，；；（2），，所以，故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高．【歸納總結(jié)】本題考查了樣本特征數(shù)的計算，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)與方差的計算公式，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【思路分析】（1）連結(jié)，利用線面垂直的性質(zhì)定理證明，從而可以證明平面，得到，證明，即可得到的長度；（2）建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可．（1）連結(jié)，因為底面，且平面，則，又，，，平面，所以平面，又平面，則，所以，又，則有，所以，則，所以，解得；（2）因為，，兩兩垂直，故以點位坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，則，，0，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，故，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，故，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的正弦值為．【歸納總結(jié)】本題考查了空間中線段長度求解以及二面角的求解，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題．19．（12分）記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項公式．【思路分析】（1）由題意當時，，代入已知等式可得的值，當時，將，代入，可得，進一步得到數(shù)列是等差數(shù)列；（2）由，可得，代入已知等式可得，當時，，進一步得到數(shù)列的通項公式．（1）證明：當時，，由，解得，當時，，代入，消去，可得，所以，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列．（2）由題意，得，由（1），可得，由，可得，當時，，顯然不滿足該式，所以．【歸納總結(jié)】本題考查了等差數(shù)列的概念，性質(zhì)和通項公式，考查了方程思想，是基礎(chǔ)題．20．（12分）己知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求；（2）設(shè)函數(shù)．證明：．【思路分析】（1）確定函數(shù)的定義域，令，由極值的定義得到，求出的值，然后進行證明，即可得到的值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，進一步轉(zhuǎn)化為證明，令，利用導數(shù)研究的單調(diào)性，證明，即可證明．（1）解：由題意，的定義域為，令，則，，則，因為是函數(shù)的極值點，則有，即，所以，當時，，且，因為，則在上單調(diào)遞減，所以當時，，當時，，所以時，時函數(shù)的一個極大值．綜上所述，；（2）證明：由（1）可知，，要證，即需證明，因為當時，，當時，，所以需證明，即，令，則，所以，當時，，當時，，所以為的極小值點，所以，即，故，所以．【歸納總結(jié)】本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用，主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值問題，利用導數(shù)證明不等式問題，此類問題經(jīng)常構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的取值范圍問題，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于難題．21．（12分）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為4．（1）求；（2）若點在上，，為的兩條切線，，是切點，求面積的最大值．【思路分析】（1）由點到圓上的點最小值為4建立關(guān)于的方程，解出即可；（2）對求導，由導數(shù)的幾何意義可得出直線及的方程，進而得到點的坐標，再將的方程與拋物線