2018-2019數(shù)學新學案同步蘇教版必修二講義：第一章 立體幾何初步1.1.2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。1。2圓柱、圓錐、圓臺和球學習目標1。認識圓柱、圓錐、圓臺的結構特征。2.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征,并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構．知識點一圓柱、圓錐、圓臺的概念思考數(shù)學中常見的旋轉體圓柱、圓錐、圓臺是如何形成的？答案將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊，垂直于底邊的腰所在的直線旋轉一周后,形成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺．梳理將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線旋轉一周，形成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺．如圖所示：知識點二球思考球也是旋轉體，它是由什么圖形旋轉得到的？答案以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體．梳理球的結構特征球定義相關概念圖形及表示球半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做球體，簡稱球球心：半圓的圓心,半徑：半圓的半徑,直徑：半圓的直徑如圖可記作：球O

知識點三旋轉面與旋轉體一條平面曲線繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體稱為旋轉體．圓柱、圓錐、圓臺和球都是特殊的旋轉體．1．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺．（√）2．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是一圓柱．(×）3．半圓繞其直徑所在直線旋轉一周形成球．(×）類型一旋轉體的基本概念例1判斷下列各說法是否正確：(1）圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線；(2)一直角梯形繞下底所在的直線旋轉一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺;(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺的軸截面是等腰梯形；（4）在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球．解（1）錯．由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應平行于軸．(2）錯．直角梯形繞下底所在的直線旋轉一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的幾何體，如圖所示．(3）正確．(4）錯．應為球面．反思與感悟（1)圓柱、圓錐、圓臺和球都是一個平面圖形繞其特定邊(弦)旋轉而成的幾何體,必須準確認識各旋轉體對旋轉軸的具體要求．（2）只有理解了各旋轉體的生成過程，才能明確由此產生的母線、軸、底面等概念，進而判斷與這些概念有關的說法的正誤．跟蹤訓練1下列說法正確的是________．(填序號）①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在直線為旋轉軸，其余各邊旋轉180°形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；⑤球面上四個不同的點一定不在同一平面內;⑥球面上任意三點可能在一條直線上．答案④解析①以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸旋轉一周才可以得到圓錐；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在的直線為軸旋轉一周才可以得到圓臺；③它們的底面為圓面；④正確;作球的一個截面，在截面的圓周上任意取四個不同的點，則這四點就在球面上,故⑤錯誤；球面上任意三點一定不共線，故⑥錯誤．類型二旋轉體中的有關計算例2一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2，求：(1)圓臺的高;（2）將圓臺還原為圓錐后,圓錐的母線長．解（1)圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm。又由題意知腰長為12cm，所以高AM＝eq\r（122－5－22）＝3eq\r（15）(cm）．(2)如圖所示,延長BA，OO1,CD，交于點S，設截得此圓臺的圓錐的母線長為lcm,則由△SAO1∽△SBO，可得eq\f（l－12,l）＝eq\f(2,5)，解得l＝20。即截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm。反思與感悟用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質（與底面全等或相似)，同時結合旋轉體中的經(jīng)過旋轉軸的截面(軸截面）的性質，利用相似三角形中的相似比，構設相關幾何變量的方程組而得解．跟蹤訓練2圓臺的兩底面面積分別為1,49，平行于底面的截面面積的2倍等于兩底面面積之和，求圓臺的高被截面分成的兩部分的比．解將圓臺還原為圓錐，如圖所示．O2，O1，O分別是圓臺上底面、截面和下底面的圓心，V是圓錐的頂點，令VO2＝h,O2O1＝h1，O1O＝h2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(h＋h1，h）＝\f（\r(\f(49＋1,2））,\r(1）），，\f（h＋h1＋h2，h）＝\f(\r(49）,\r（1）)，))所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(h1＝4h，，h2＝2h，))即h1∶h2＝2∶1。類型三復雜旋轉體的結構分析例3直角梯形ABCD如圖所示，以DA所在直線為軸旋轉，試說明所得幾何體的形狀．解以AD為軸旋轉可得到一個圓柱，上面挖去一個圓錐，如圖所示．引申探究若本例中直角梯形分別以AB，BC所在直線為軸旋轉,試說明所得幾何體的形狀．解以AB為軸旋轉可得到一個圓臺，如圖①所示．以BC為軸旋轉可得一個圓柱和一個圓錐的組合體．如圖②所示．反思與感悟(1)判斷旋轉體形狀的關鍵是軸的確定，看是由平面圖形繞哪條直線旋轉所得,同一個平面圖形繞不同的軸旋轉，所得的旋轉體一般是不同的．（2）在旋轉過程中觀察平面圖形的各邊所形成的軌跡，應利用空間想象能力或親自動手做出平面圖形的模型來分析旋轉體的形狀．跟蹤訓練3如圖所示，已知在梯形ABCD中,AD∥BC，且AD〈BC.當梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周時，其他各邊旋轉形成的面圍成一個幾何體，試描述該幾何體的結構特征．解如圖所示，旋轉所得的幾何體可看成由一個圓柱挖去兩個圓錐后剩余部分而成的組合體．1．下列說法正確的是________．(填序號）①圓錐的母線長等于底面圓的直徑；②圓柱的母線與軸平行；③圓臺的母線與軸平行；④球的直徑必過球心．答案②④解析圓錐的母線長與底面圓的直徑無聯(lián)系；圓臺的母線與軸不平行．2．可以通過旋轉得到下圖的平面圖形的序號為________．答案④3．一個圓錐的母線長為20cm,母線與軸的夾角為30°，則圓錐的高為________cm.答案10eq\r（3）解析h＝20cos30°＝10eq\r(3)（cm)．4．下列說法正確的有________個．①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線；②球的直徑是球面上任意兩點間的線段;③用一個平面截一個球，得到的是一個圓;④用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面．答案2解析①是正確的;②是錯誤的,只有兩點的連線經(jīng)過球心時才為直徑；③是錯誤的；④是正確的．5．一個有30°角的直角三角板繞其各條邊所在直線旋轉所得幾何體是圓錐嗎？如果以斜邊上的高所在的直線為軸旋轉180°得到什么圖形?旋轉360°又得到什么圖形？考點圓錐的結構特征題點圓錐的概念的應用解圖(1)，(2）旋轉一周得到的幾何體是圓錐;圖(3）旋轉一周所得幾何體是兩個圓錐拼接而成的幾何體；圖（4）旋轉180°是兩個半圓錐的組合體，旋轉360°,旋轉軸左側的直角三角形旋轉得到的圓錐隱藏于右側直角三角形旋轉得到的圓錐內．1．圓柱、圓錐、圓臺的關系如圖所示．2．處理臺體問題常采用還臺為錐的補體思想．3．處理組合體問題常采用分割思想．4．重視圓柱、圓錐、圓臺的軸截面在解決幾何問題中的特殊作用,切實體會空間幾何平面化的思想。一、填空題1．下列說法正確的是________．(填序號)①一個三棱錐可以由一個三棱錐和一個四棱錐拼合而成;②一個圓臺可以由兩個圓臺拼合而成；③一個圓錐可以由兩個圓錐拼合而成；④一個四棱臺可以由兩個四棱臺拼合而成．答案①②④解析用一個平行于底面的平面去截臺體,就會得到兩個臺體，因此一個圓臺可以由兩個圓臺拼合而成，一個四棱臺也可以由兩個四棱臺拼合而成，故②④的說法是正確的；若在三棱錐的底面兩邊上任找兩點，過這兩點和三棱錐的頂點的截面，就會把三棱錐分成一個三棱錐和一個四棱錐，因此一個三棱錐可以由一個三棱錐和一個四棱錐拼合而成，故①的說法是正確的．2．下列說法中正確的是________．（填序號)①將正方形旋轉不可能形成圓柱;②夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體；③圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺；④通過圓臺側面上一點，有無數(shù)條母線．答案③解析將正方形繞其一邊所在直線旋轉可以形成圓柱，所以①錯誤；②中沒有說明這兩個平行截面的位置關系，當這兩個平行截面與底面平行時正確,其他情況下結論不一定正確，所以②錯誤;通過圓臺側面上一點,只有一條母線,所以④錯誤，故答案為③。3．若一個圓錐的軸截面是等邊三角形,面積為eq\r(3）,則這個圓錐的母線長為________．答案2解析設母線長為x，則eq\r（3）＝eq\f(\r(3）,4)x2，故x＝2.4．一個正方體內接于一個球,過球心作一截面,如圖所示，則截面的可能圖形是________．（填序號）答案①②③解析當截面平行于正方體的一個側面時可截得③，當截面過正方體對角面時可截得②,當截面不平行于任何側面也不過對角面時可截得①,但無論如何都不能得出④。5．正方形繞其一條對角線所在直線旋轉一周，所得幾何體是________．答案兩個圓錐解析連結正方形的兩條對角線知對角線互相垂直，故繞對角線所在直線旋轉一周形成兩個底面相同的圓錐．6．將邊長為4cm和8cm的矩形紙片卷成一個圓柱的側面，則圓柱的軸截面的面積為____cm2.答案eq\f（32,π)解析當以4cm為母線長時，設圓柱底面半徑為r,則2πr＝8,∴2r＝eq\f（8,π），∴S軸截面＝4×eq\f（8,π)＝eq\f(32，π）（cm)2.當以8cm為母線長時,設圓柱底面半徑為R，則2πR＝4，2R＝eq\f（4,π），∴S軸截面＝8×eq\f（4，π）＝eq\f(32，π）(cm)2.綜上，圓錐的軸截面的面積為eq\f（32,π)cm2.7．已知圓臺兩底面的半徑分別是2cm和5cm，母線長是3eq\r（10）cm，則它的軸截面的面積是________cm2.答案63解析如圖所示，作出軸截面，過點A作AM⊥BC于M，則BM＝5－2＝3（cm),AM＝eq\r（AB2－BM2)＝9（cm)，∴S梯形ABCD＝eq\f（1，2)×（4＋10）×9＝63（cm2)．8．若一個圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的高為________．考點圓錐的結構特征題點與圓錐有關的運算答案eq\r(3)解析由題意知一個圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓面，因為4π＝πl(wèi)2,所以母線長為l＝2,又半圓的弧長為2π，圓錐的底面的周長為2πr＝2π，所以底面圓半徑為r＝1,所以該圓錐的高為h＝eq\r(l2－r2）＝eq\r(22－12)＝eq\r（3）.9．如圖中的組合體的結構特征有以下幾種說法：①由一個長方體割去一個四棱柱構成;②由一個長方體與兩個四棱柱組合而成;③由一個長方體挖去一個四棱臺構成；④由一個長方體與兩個四棱臺組合而成．其中說法正確的序號是________．考點簡單組合體的結構特征題點與拼接、切割有關的組合體答案①②10．如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而成的．現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則所截得的圖形可能是________．答案①⑤解析由于截面平行于圓錐的軸或過圓錐的軸，故只能是①⑤。11．邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面,則從E點沿圓柱的側面到相對頂點G的最短距離是____cm。答案eq\f(5\r（π2＋4），2）解析圓柱的側面展開圖如圖所示，展開后E′F＝eq\f（1，2)·2π·eq\f(5，2)＝eq\f(5π，2）（cm)，所以E′G＝eq\r(E′F2＋GF2)＝eq\f(5\r(π2＋4）,2）(cm)．二、解答題12.如圖所示，直角梯形ABCD中,AB⊥BC,繞著CD所在直線l旋轉，試畫出立體圖并指出幾何體的結構特征．解如圖①，過A，B分別作AO1⊥CD，BO2⊥CD，垂足分別為O1,O2,則Rt△CBO2繞l旋轉一周所形成的曲面圍成的幾何體是圓錐,直角梯形O1ABO2繞l旋轉一周所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺，Rt△ADO1繞l旋轉一周所形成的曲面圍成的幾何體是圓錐．綜上,所得幾何體下面是一個圓錐，上面是一個圓臺挖去了一個以圓臺上底面為底面的圓錐(如圖②所示)．13．圓臺的上、下底面半徑分別為5cm,10cm，母線長AB＝20cm,從圓臺母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側面轉到點A,求：(1）繩子的最短長度；(2）在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離．解（1)如圖所示，將側面展開，繩子的最短距離為側面展開圖中AM的長度，設OB＝l，則θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，解得θ＝eq\f（π,2),l＝20cm.∴OA＝40cm，OM＝30cm?！郃M＝eq\r（OA2＋OM2)＝50(cm）．即繩子最短長度為50cm。(2）作OQ⊥AM于點Q,交弧BB′于點P，則PQ為所求的最短距離．∵OA·OM＝AM·OQ,∴OQ＝24cm.故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4（cm），即上底圓周上的點到繩子的最短距離為4cm。三、探究與拓展14．用一個平面去截幾