圓錐曲線的綜合經(jīng)典例題有答案解析

..8/8經(jīng)典例題精析類型一：求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1.求中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為且被直線截得的弦AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.思路點(diǎn)撥：先確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)的位置（定位），選擇相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用待定系數(shù)法確定、（定量）.

解析：

方法一：因?yàn)橛薪裹c(diǎn)為，

所以設(shè)橢圓方程為，,

由，消去得，

所以

解得

故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

方法二：設(shè)橢圓方程,,,

因?yàn)橄褹B中點(diǎn),所以，

由得,（點(diǎn)差法）

所以

又

故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.舉一反三：

[變式]已知橢圓在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線互相垂直，且該焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)的距離為.求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

[答案]依題意設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為()，

并有，解之得，,

∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

2．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)；

（2）與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)

解析：

（1）解法一：設(shè)雙曲線的方程為

由題意，得，解得，

所以雙曲線的方程為

解法二：設(shè)所求雙曲線方程為（），

將點(diǎn)代入得，

所以雙曲線方程為即

（2）解法一：設(shè)雙曲線方程為－=1

由題意易求

又雙曲線過(guò)點(diǎn)，∴

又∵，∴，

故所求雙曲線的方程為.

解法二：設(shè)雙曲線方程為，

將點(diǎn)代入得，

所以雙曲線方程為.

總結(jié)升華：先根據(jù)已知條件確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)的位置（定位），選擇相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用待定系數(shù)法確定、.在第（1）小題中首先設(shè)出共漸近線的雙曲線系方程.然后代點(diǎn)坐標(biāo)求得方法簡(jiǎn)便.第（2）小題實(shí)軸、虛軸沒(méi)有唯一給出.故應(yīng)答兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求、，在解題過(guò)程中應(yīng)熟悉各元素（、、、與準(zhǔn)線）之間的

關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.

(2)若已知雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程為（）.舉一反三：

[變式]求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上且分別滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）一漸近線方程為，且雙曲線過(guò)點(diǎn).

（2）虛軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)的比為，焦距為10.

[答案]

（1）依題意知雙曲線兩漸近線的方程是,故設(shè)雙曲線方程為，

∵點(diǎn)在雙曲線上，

∴，解得，

∴所求雙曲線方程為.

（2）由已知設(shè),,則()

依題意，解得.

∴雙曲線方程為或.

3．求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：

（1）過(guò)點(diǎn)；

（2）焦點(diǎn)在直線：上

思路點(diǎn)撥：從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)；從實(shí)際分析，一般需結(jié)合圖形確定開(kāi)口方向和一次項(xiàng)系數(shù)兩個(gè)條件，否則，應(yīng)展開(kāi)相應(yīng)的討論

解析：

（1）∵點(diǎn)在第二象限，∴拋物線開(kāi)口方向上或者向左

當(dāng)拋物線開(kāi)口方向左時(shí)，

設(shè)所求的拋物線方程為（），

∵過(guò)點(diǎn)，∴，

∴，∴，

當(dāng)拋物線開(kāi)口方向上時(shí)，

設(shè)所求的拋物線方程為（），

∵過(guò)點(diǎn)，∴，

∴，∴，

∴所求的拋物線的方程為或，

對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.

（2）令得，令得，

∴拋物線的焦點(diǎn)為或

當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，，∴，

此時(shí)拋物線方程；

焦點(diǎn)為時(shí)，，∴，

此時(shí)拋物線方程為

∴所求的拋物線的方程為或，

對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.總結(jié)升華：這里易犯的錯(cuò)誤就是缺少對(duì)開(kāi)口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)鍵是根據(jù)圖象確定拋物線開(kāi)口方向，選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问剑瑴?zhǔn)確求出焦參數(shù)P.

舉一反三：

[變式1]分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）焦點(diǎn)為F(4,0)；

（2）準(zhǔn)線為；

（3）焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1；

（4）過(guò)點(diǎn)（1，－2）；

（5）焦點(diǎn)在直線x-3y+6=0上.

[答案]

（1）所求拋物線的方程為y2=16x；

（2）所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2y；

（3）所求拋物線的方程y2=±4x或x2=±4y；

（4）所求拋物線的方程為或；

（5）所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=－24x或x2=8y.

[變式2]已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，過(guò)頂點(diǎn)且傾角為的弦長(zhǎng)為，求拋物線的方程.

[答案]設(shè)拋物線方程為()，又弦所在直線方程為

由，解得兩交點(diǎn)坐標(biāo),

∴，解得.

∴拋物線方程為.

類型二：圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形

4．已知、是橢圓（）的兩焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且，求的面積.思路點(diǎn)撥：如圖求的面積應(yīng)利用，即.關(guān)鍵是求.由橢圓第一定義有,由余弦定理有，易求之.

解析：設(shè),,

依題意有

(1)2-(2)得，

即.

∴.

舉一反三：

[變式1]設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的面積為（）

A．B．C．D．

[答案]依據(jù)雙曲線的定義有，

由得、，

又，則，即，

所以，故選A.

[變式2]已知雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)6，過(guò)左焦點(diǎn)的弦交左半支于、兩點(diǎn)，且，設(shè)右焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng).

[答案]：由雙曲線的定義有:，，

兩式左、右分別相加

得(.

即

∴.

故的周長(zhǎng).

[變式3]已知橢圓的焦點(diǎn)是,直線是橢圓的一條準(zhǔn)線.

①求橢圓的方程；

②設(shè)點(diǎn)P在橢圓上,且,求.

[答案]①.

②設(shè)

則，

又

.

[變式4]已知雙曲線的方程是.

（1）求這雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；

（2）設(shè)和是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，求的大小

[答案]

（1）由得，

∴，，.焦點(diǎn)、，離心率，漸近線方程為.

（2），

∴∴

[變式5]中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一個(gè)橢圓與雙曲線有共同焦點(diǎn)和，且，又橢圓長(zhǎng)半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4，離心率之比.

（1）求橢圓與雙曲線的方程；

（2）若為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求的余弦值.

[答案]

（1）設(shè)橢圓方程為()，雙曲線方程，

則，解得

∵,∴,.

故所求橢圓方程為，雙曲線方程為.

（2）由對(duì)稱性不妨設(shè)交點(diǎn)在第一象限.設(shè)、.

由橢圓、雙曲線的定義有:

解得

由余弦定理有.

類型三：離心率

5．已知橢圓上的點(diǎn)和左焦點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，當(dāng)，（O為橢圓中心）時(shí)，求橢圓的離心率.思路點(diǎn)撥：因?yàn)椋员绢}應(yīng)建立、的齊次方程，使問(wèn)題得以解決.

解析：設(shè)橢圓方程為（），，，

則，即.

∵，∴，

即，∴.

又∵，

∴.

總結(jié)升華：求橢圓的離心率，即求的比值，則可由如下方法求.

（1）可直接求出、；

（2）在不好直接求出、的情況下，找到一個(gè)關(guān)于、的齊次等式或、用同一個(gè)量表示；

（3）若求的取值圍，則想辦法找不等關(guān)系.

舉一反三：

[變式1]如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）

A．B．C．D．

[答案]連接，則是直角三角形，且，

令，則，，

即，，

所以，故選D.

[變式2]已知橢圓（）與x軸正半軸交于A點(diǎn)，與y軸正半軸交于B點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)是左焦點(diǎn)，且，求橢圓的離心率.

法一：,,

∵,∴,

又,，代入上式，得，

利用代入，消得,即

由，解得,

∵,∴.

法二：在ΔABF中，∵，，

∴，即下略）

[變式3]如圖，橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,過(guò)其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線,交橢圓于A、B兩點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)C,使.求橢圓的離心率.

[答案]設(shè)橢圓的方程為（），焦距為,

則直線l的方程為:,

由，消去得,

設(shè)點(diǎn)、,

則

∵＋,∴C點(diǎn)坐標(biāo)為.

∵C點(diǎn)在橢圓上,∴.

∴∴

又∴∴

[變式4]設(shè)、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓的交點(diǎn)，若，則橢圓離心率為_(kāi)____.

[答案]如圖，點(diǎn)滿足，且.

在中，有：

∵，∴,

令此橢圓方程為

則由橢圓的定義有,,

∴

又∵，∴，，

∴∴，∴，即.

6．已知、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為此橢圓上一點(diǎn)，且.求此橢圓離心率的取值圍；解析：如圖，令,,,

則在中，由正弦定理，

∴，

令此橢圓方程為(),則,,

∴即（），

∴,∴,

∵,且為三角形角，

∴，∴,

∴,∴.

即此橢圓離心率的取值圍為.

舉一反三：

[變式1]已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使，求其離心率的取值圍.

[答案]△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，

由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①

又|PF1|+|PF2|=2a②

聯(lián)立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴

[變式2]橢圓的焦點(diǎn)為，，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則該橢圓離心率的取值圍是（）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

[答案]由得，即，解得，

故離心率.所以選D.

[變式3]橢圓中心在坐標(biāo)系原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，求其離心率e的取值圍．

[答案]e∈[,1)

[變式4]雙曲線(a＞1,b＞0)的焦距為2c,直線過(guò)點(diǎn)(a,0)和(0,b),且點(diǎn)(1,0)到直線的距離與點(diǎn)(-1,0)到直線的距離之和s≥c．求雙曲線的離心率e的取值圍．

[答案]直線的方程為bx+ay-ab=0．

由點(diǎn)到直線的距離公式,且a＞1,得到點(diǎn)(1,0)到直線的距離．

同理得到點(diǎn)(-1,0)到直線的距離．

=．

由s≥c,得≥c,

即5a≥2c2．

于是得5≥2e2．

即4e4-25e2+25≤0．

解不等式,得≤e2≤5．

由于e＞1,

所以e的取值圍是．

類型五：軌跡方程

7．已知中，,,為動(dòng)點(diǎn)，若、邊上兩中線長(zhǎng)的和為定值15.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.思路點(diǎn)撥：充分利用定義直接寫出方程是求軌跡的直接法之一.應(yīng)給以重視

解法一：設(shè)動(dòng)點(diǎn),且,

則、邊上兩中點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,.

∵,

∴,

即.

從上式知，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn),的距離之和為常數(shù)30，

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)且,,的橢圓，

挖去點(diǎn).

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是().

解法二：設(shè)的重心，,動(dòng)點(diǎn),且，

則.

∴點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓（挖去點(diǎn)），

且,,.

其方程為().

又,代入上式，得()為所求.

總結(jié)升華：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，首先要分析形成軌跡的點(diǎn)和已知條件的在聯(lián)系，選擇最便于反映這種聯(lián)系的坐標(biāo)形式，建立等式，利用直接法或間接法得到軌跡方程.

舉一反三：

[變式1]求過(guò)定點(diǎn)且和圓:相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

[答案]設(shè)動(dòng)圓圓心,動(dòng)圓半徑為,.

（1）動(dòng)圓與圓外切時(shí)，，

（2）動(dòng)圓與圓切時(shí)，，

由（1）、（2）有.

∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，

且,,.

故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.

[變式3]已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓外切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.

[答案]設(shè)動(dòng)圓圓心P（x，y），動(dòng)圓的半徑為R，

由兩圓外切的條件可得：，.