2023年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高一年級復(fù)賽試題及解答

2023年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高一年級復(fù)賽試題及參考解答2023年5月16日8:30～10:30.一、填空題小題號12345答案202351.函數(shù)是定義在R上的周期為3的函數(shù),右圖中表示的是該函數(shù)在區(qū)間上的圖像.那么的值等于.答:.理由:那么2.方程的所有根的立方和等于.答:.解:方程等價(jià)于………=1\*GB3①與……=2\*GB3②由=1\*GB3①得：，由=2\*GB3②得：，所以所以.所以.3.如右圖,AB與⊙O切于點(diǎn)A.連接B與⊙O內(nèi)一點(diǎn)D的線段交圓于點(diǎn)C.并且AB=6，DC=CB=3，OD=2，那么⊙O的半徑等于.答：解:延長BD交圓于E，延長OD交圓于F，G〔如左圖〕.FG是⊙O的直徑.設(shè)⊙O的半徑為r，由切割線定理，有即所以DE=6.由相交弦定理可得即所以解得.4．滿足方程的函數(shù).答：解：取x=1和x=0代入方程，得，進(jìn)而得于是經(jīng)檢驗(yàn)，所求的函數(shù)滿足方程.5．假設(shè)一個自然數(shù)比它的數(shù)字和恰好大2007,這樣的自然數(shù)叫做“好數(shù)〞,那么所有“好數(shù)〞的和等于.答:20235.解：設(shè)其中是自然數(shù)n的數(shù)字和.那么函數(shù)是非嚴(yán)格的增函數(shù).所以滿足條件的所有自然數(shù)只有10個：2023，2023，2023，2023，2023，2023，2023，2023，2023，2023．其和為2023+2023+2023+2023+2023+2023+2023+2023+2023+2023=20235.二、〔總分值15分〕如圖,四個陰影三角形的面積都等于1〔1〕求證:；〔2〕求證:；〔3〕求的值.解答：〔1〕設(shè)，連接AB2，那么連接B1C2，CA2，那么B1C2//CA2，所以由所以同理，設(shè)設(shè)因此，得〔2〕由上所證，易知也就是所以.同理由BA2=B1A2可證得因此〔3〕由即這樣由解得〔負(fù)根舍去！〕.所以因此三、〔總分值15分〕能否將2023寫成k個互不相等的質(zhì)數(shù)的平方和?如果能,請確定出所有的k值，并對相應(yīng)的k值各寫出一個例子;如果不能,請簡述理由.解：〔1〕設(shè)為質(zhì)數(shù)，假設(shè)2023能寫成k個質(zhì)數(shù)的平方和，那么當(dāng)時,取最小的10個互不相等的質(zhì)數(shù)的平方和,那么4+9+25+49+121+169+289+361+529+841=2397>2023，因此〔2〕因?yàn)橹挥幸粋€偶質(zhì)數(shù)2，其余質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，而奇數(shù)的平方仍是奇數(shù)，并且被8除余1.所以假設(shè)時，那么2023=，那么都是奇數(shù).假設(shè)，左邊2023被8除余2.當(dāng)k=4時，右邊被8除余4；當(dāng)k=6時，右邊被8除余6；當(dāng)k=8時，右邊被8除余0；這3種情況等式都不能成立.當(dāng)k=2時，由于質(zhì)數(shù)中只有32被3除余0,而其余所有質(zhì)數(shù)的平方都被3除余1.因此，兩個不同質(zhì)數(shù)的平方之和被3除余1或余2,而2023被3除余0.所以，2023不能表為2個互不相等的質(zhì)數(shù)的平方和.因此，當(dāng)時，2023都不能表示為2個、4個、6個、8個質(zhì)數(shù)的平方之和.〔3〕對時，k=1時，2023顯然不是一個質(zhì)數(shù)的平方.k=3時，假設(shè)2023=其中必有一個偶質(zhì)數(shù)的平方，兩個奇質(zhì)數(shù)的平方.左邊被8除余2，右邊被8除余6，等式不能成立.k=5時，假設(shè)2023=其中必有一個偶質(zhì)數(shù)的平方，4個奇質(zhì)數(shù)的平方.左邊被8除余2，右邊被8除余0，等式不能成立.k=9時，假設(shè)2023=，其中必有一個偶質(zhì)數(shù)的平方，兩個奇質(zhì)數(shù)的平方.左邊被8除余2，右邊被8除余4，等式不能成立.只有k=7時，2023=，左邊被8除余2，右邊被8除余2，等式可能成立.我們試算可知，，因此，2023只可以表示為7個不同質(zhì)數(shù)的平方和.唯一地k=7,其例如上.四、〔總分值15分〕平面上9個點(diǎn)，任兩點(diǎn)間的距離都不小于1.證明，其中至少存在兩個點(diǎn)間的距離不小于證明：設(shè)的9個點(diǎn)的集合記為S.那么在平面上可畫一直線l，使S在l同一側(cè).平移直線l，直到遇到S中的點(diǎn)O為止.這時，S中的點(diǎn)在直線l上或l的同一側(cè).以O(shè)為圓心1為半徑畫圓與直線l交成半圓區(qū)域P，再以O(shè)為圓心為半徑畫半圓，如下圖，與直線l和前面畫的半圓〔O，1〕交成半圓環(huán)Q.我們看到，9個點(diǎn)中一個點(diǎn)為O，其余8個點(diǎn)不能在半圓區(qū)域P中，我們證明，這8個點(diǎn)中至少有一個點(diǎn)不在半圓環(huán)Q中.事實(shí)上，我們以O(shè)為始點(diǎn)作射線，將半圓環(huán)Q等分為圓心角為的7個相等的小區(qū)域，如圖記為Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，Q6，Q7，我們估計(jì)中兩點(diǎn)間的距離〔〕.半圓環(huán)寬度；且〔因?yàn)椤晨梢?，每個中任兩點(diǎn)間的距離都小于1.所以每個中至多分布S的前述8個點(diǎn)中的1個點(diǎn).因此，前述8個點(diǎn)中至少有一點(diǎn)A要分布在半圓〔〕之外.因此五、〔總分值15分〕如圖，凸四邊形ABCD的對角線交點(diǎn)為O.O1，O2，O3，O4分別為△AOB，△BOC，△COD，△DOA的內(nèi)切圓圓心，對應(yīng)的內(nèi)切圓半徑r1，r2，r3，r4滿足關(guān)系式求證：〔1〕四邊形ABCD存在內(nèi)切圓；〔2〕O1，O2，O3，O4四點(diǎn)共圓.證明：〔1〕設(shè)AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，AO=x，BO=y，CO=u，DO=v，,那么.根據(jù)等式〔其中，S是三角形的面積，p是半周長，r是內(nèi)切圓半徑〕，由條件得到關(guān)系式，由此得出auv+cxy=bxv+dyu.平方得用余弦定理表示a2，b2，c2，d2并代入上式，得化簡得2ac-2kuv–2kxy=2bd+2kxv+2kyu.等式左右兩邊同時添加x2+y2+u2+v2得2ac+〔u2+v2-2kuv〕+〔x2+y2–2kxy〕=2bd+〔x2+v2-2kxv〕+〔y2+u2-2kyu〕即2ac+c2+a2=2bd+d2+b2，也就是由此得證四邊形ABCD存在內(nèi)切圓.〔2〕設(shè)易知，O1，O，O3三點(diǎn)共線，O2，O，O4三點(diǎn)共線，且.因此要證O1，O2，O3，O4四點(diǎn)共圓，我們必須證明OO1×OO3=OO2×OO4.或者①事實(shí)