測量誤差分析

關(guān)于測量誤差分析第一頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日第一節(jié)隨機誤差的分布規(guī)律

一、隨機誤差的正態(tài)分布性質(zhì)測定值的隨機性表明了測量誤差的隨機性質(zhì)。隨機誤差就其個體來說變化是無規(guī)律的，但在總體上卻遵循一定的統(tǒng)計規(guī)律。第二頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日測量列中的隨機誤差：

δi=xi－X0式中,δi——測量列的隨機誤差，i=1，2，3，…，n；

xi——測量列的測量值；

X0——被測量的真值。

第三頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

隨機誤差分布的性質(zhì)有界性：在一定的測量條件下，測量的隨機誤差總是在一定的、相當(dāng)窄的范圍內(nèi)變動，絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零。單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率小，絕對值為零的誤差出現(xiàn)的概率比任何其它數(shù)值的誤差出現(xiàn)的概率都大。第四頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日對稱性：絕對值相等而符號相反的隨機誤差出現(xiàn)的概率相同，其分布呈對稱性。抵償性：在等精度測量條件下，當(dāng)測量次數(shù)不斷增加而趨于無窮時，全部隨機誤差的算術(shù)平均值趨于零。第五頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為

式中，——標準誤差（均方根誤差）；

e——自然對數(shù)的底。如用測定值x本身來表示，則第六頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日第七頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日二、正態(tài)分布密度函數(shù)與概率積分對于一定的被測量，在靜態(tài)情況下，X0是一定的，σ的大小表征著諸測定值的彌散程度。σ值越小，正態(tài)分布密度曲線越尖銳，幅值越大；σ值越大，正態(tài)分布密度曲線越平坦，幅值越小?？捎脜?shù)σ來表征測量的精密度，σ越小，表明測量的精密度越高。第八頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日第九頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日σ并不是一個具體的誤差，它的數(shù)值大小只說明了在一定條件下進行一列等精度測量時，隨機誤差出現(xiàn)的概率密度分布情況。在一定條件下進行等精度測量時，任何單次測定值的誤差δi可能都不等于σ，但我們認為這列測定值具有同樣的均方根誤差σ；而不同條件下進行的兩列等精度測量，一般來說具有不同的σ值。第十頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日隨機誤差出現(xiàn)的性質(zhì)決定了人們不可能正確地獲得單個測定值的真誤差δi的數(shù)值，而只能在一定的概率意義之下估計測量隨機誤差數(shù)值的范圍，或者求得誤差出現(xiàn)于某個區(qū)間得概率。第十一頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日將正態(tài)分布密度函數(shù)積分概率積分第十二頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日若令a=zσ，則第十三頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日第十四頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日第二節(jié)直接測量誤差分析與處理子樣平均值：代表由n個測定值x1,x2,…,xn組成的子樣的散布中心子樣方差：描述子樣在其平均值附近散布程度第十五頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日一、算術(shù)平均值原理

測定值子樣的算術(shù)平均值是被測量真值的最佳估計值。算術(shù)平均值的意義設(shè)x1、x2、…，xn為n次測量所得的值，則算術(shù)平均值為

第十六頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日算術(shù)平均值的性質(zhì) 用算術(shù)平均值代替被測量的真值，則有式中vi——xi的剩余誤差；

xi——第i個測量值，i=1，2，…，n。第十七頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

（1）剩余誤差的代數(shù)和等于零，即

（2）剩余誤差的平方和為最小，即第十八頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日測定值子樣平均值的均方根誤差是測定值母體均方根誤差的倍。在等精度測量條件下對某一被測量進行多次測量，用測定值子樣平均值估計被測量真值比用單次測量測定值估計具有更高的精密度。第十九頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日二、貝塞爾公式

因為真值X0為未知，所以必須用殘差vi來表示，即此式稱貝塞爾公式。第二十頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日三、測量結(jié)果的置信度

假設(shè)用對μ進行估計的誤差為，那么。對于某一指定的區(qū)間[－λ,λ]，落在該區(qū)間內(nèi)的概率為。同樣地，可以求得測定值子樣平均值落在區(qū)間[μ－λ,μ＋λ]的概率為第二十一頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

表示“測定值子樣平均值這一隨機變量出現(xiàn)于一個固定區(qū)間內(nèi)”這一事件的概率；表示“在寬度一定作隨機變動的隨機區(qū)間內(nèi)包含被測量真值”這一事件的概率。第二十二頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日定義區(qū)間為測量結(jié)果的置信區(qū)間，也稱為置信限λ為置信區(qū)間半長，也稱為誤差限概率為測量經(jīng)過在置信區(qū)間內(nèi)的置信概率。危險率：第二十三頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日置信區(qū)間與置信概率共同表明了測量結(jié)果的置信度，即測量結(jié)果的可信程度。對于同一測量結(jié)果，置信區(qū)間不同，其置信概率是不同的。置信區(qū)間越寬，置信概率越大；反之亦然。第二十四頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日一列等精度測量的結(jié)果可以表達為在一定的置信概率之下，以測定值子樣平均值為中心，以置信區(qū)間半長為誤差限的量測量結(jié)果＝子樣平均值±置信區(qū)間半長（置信概率P＝？）第二十五頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日例題1：

在等精度測量條件下對某透平機械的轉(zhuǎn)速進行了20次測量，獲得如下的一列測定值（單位：r/min）

4753.14757.54752.74752.84752.14749.24750.64751.04753.94751.24750.34753.34752.14751.24752.34748.44752.54754.74650.04751.0

試求該透平機轉(zhuǎn)速（設(shè)測量結(jié)果的置信概率P＝95％）。第二十六頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日第二十七頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日在實際測量工作中，并非任何場合下都能對被測量進行多次測量，而多為單次測量。如果知道了在某種測量條件下測量的精密度參數(shù)，而且在同樣的測量條件下取得單次測量的測定值，那么單次測量情況下測量結(jié)果的表達式為：測量結(jié)果＝單次測定值±置信區(qū)間半長（置信概率P＝？）第二十八頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日例題2：

對例1所述的透平機轉(zhuǎn)速測量，設(shè)測量條件不變，單次測量的測定值為4753.1r/min，求該透平機轉(zhuǎn)速（測量結(jié)果的置信概率P＝95％）。第二十九頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

在同樣的置信概率下，用單次測定值表示測量結(jié)果比用多次測量所獲得的測定值子樣平均值表示的誤差大。第三十頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日四、測量結(jié)果的誤差評價標準誤差若測量結(jié)果用單次測定值表示，誤差限采用標準誤差，則

測量結(jié)果＝單次測定值x±標準誤差（P=68.3%）若測量結(jié)果用測定值子樣平均值表示，誤差限采用標準誤差，則

測量結(jié)果＝子樣平均值x±標準誤差（P=68.3%）第三十一頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日極限誤差測量列標準誤差的三倍，定義為測量列的極限誤差子樣平均值的極限誤差與測量列極限誤差的關(guān)系是第三十二頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日五、小子樣誤差分析與t分布

當(dāng)測量次數(shù)很少時，子樣平均值的標準誤差很不準確，并且子樣容量愈小，這種情況就愈嚴重。為了在σ未知的情況下，根據(jù)子樣平均值估計被測量真值，就須考慮一個統(tǒng)計量。它的分布只取決于子樣容量n，而與σ無關(guān)。這時需引入統(tǒng)計量t。

第三十三頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日定義t為t不服從正態(tài)分布，而服從t分布，其概率密度函數(shù)為 式中，是特殊函數(shù)，v是正整數(shù)，稱為t分布的自由度。

第三十四頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日當(dāng)進行n次獨立測量時，由于t受平均值的約束，服從自由度為n－1的t分布，所以ν＝n－1。t分布與母體均方根誤差σ無關(guān)，只與子樣容量n有關(guān)。第三十五頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日第三十六頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

表中列有在各種自由度和置信概率下，滿足式的tp值。它表明自由度為v的t分布在區(qū)間[－tp，tp]內(nèi)的概率為P。假設(shè)一列等精度獨立測定值x1，x2，…，xn服從正態(tài)分布，真值和均方根誤差均未知。根據(jù)這一列測定值可求得算術(shù)平均值及其均方根誤差的估計值：

第三十七頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日由于服從自由度v=n－1的t分布，所以可用上式做以下的概率描述或測量結(jié)果可表示為：

測量結(jié)果第三十八頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日例3

用光學(xué)高溫計測量某金屬鑄液的溫度，得到如下5個測量數(shù)據(jù)（℃）：975，1005，988，993，987

設(shè)金屬鑄液溫度穩(wěn)定，測溫隨機誤差屬于正態(tài)分布。試求鑄液的實際溫度（取P＝95％）。第三十九頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日解：根據(jù)P＝95％和v＝4，查表得tp＝2.78，則測量結(jié)果為第四十頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日若上例用正態(tài)分布求取給定置信概率下得置信溫度區(qū)間是[980.6,999.0]，這要比由t分布求得得區(qū)間小。這表明，在測量次數(shù)較少的情況下，用正態(tài)分布計算誤差限，往往會得到“太好”的結(jié)果，夸大了測量結(jié)果的精密度。因此，對小子樣的誤差分析，應(yīng)采用t分布處理。第四十一頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日第三節(jié)間接測量誤差分析與處理在間接測量中，測量誤差是各個測量值誤差的函數(shù)。因此，研究間接測量的誤差也就是研究函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差有下列三個基本內(nèi)容：已知函數(shù)關(guān)系和各個測量值的誤差，求函數(shù)即間接測量值的誤差。已知函數(shù)關(guān)系和規(guī)定的函數(shù)總誤差，要求分配各個測量值的誤差。確定最佳的測量條件，即使函數(shù)誤差達到最小值時的測量條件。

第四十二頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日一、誤差傳布原理設(shè)間接測量值y是直接測量值x1，x2，…，xm的函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系的一般形式可表示為y=f（x1，x2，…，xm）假定對x1，x2，…，xm各進行了n次測量，那么每個xi都有自己的一列測定值xi1，xi2，…，xin，其相應(yīng)的隨機誤差為，，…，。第四十三頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日若將測量x1，x2，…，xm時所獲得的第一個測定值代入函數(shù)關(guān)系式，可求得間接測量值的第一個測定值y1，即y1=f（x11，x21，…，xm1）由于測定值x11，x21，…，xm1與真值之間存在隨機誤差，所以y1與真值之間也必定有誤差，記為δy1。由誤差的定義，上式可寫為

Y+δy1=f（X1+δ11,X2+δ21,…,Xm+δm1

）

第四十四頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

若較小，且諸Xi是彼此獨立的量，將上式按泰勒公式展開，并取其誤差的一階項作為一次近似，略去一切高階誤差項，那么上式可近似寫成第四十五頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

同樣地，將測量x1，x2，…，xn時所獲得的第二、第三，直至第n個測定值分別代入函數(shù)關(guān)系式，可得

……第四十六頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

將上述各式相加并除以n，可求得間接測量值的算術(shù)平均值，也就是Y的最優(yōu)概值

第四十七頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

式中，正好是測量xm時所得一列測定值的算術(shù)平均值的隨機誤差，記為，所以

第四十八頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

另一方面，將直接測量x1，x2，…，xm所獲得的測定值的算術(shù)平均值，,…代入函數(shù)關(guān)系式，并將其在x1，x2，…，xm的鄰域內(nèi)用泰勒公式展開，可有

第四十九頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

將上兩式進行比較，可得

由此可得出結(jié)論Ⅰ：間接測量值的最佳估計值可以由與其有關(guān)的各直接測量值的算術(shù)平均值代入函數(shù)關(guān)系式求得。

第五十頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

并且可以知道，直接測量值x1，x2，…，xm第j次測量獲得的測定值的誤差，，…，與其相應(yīng)的間接測量值Y的誤差之間關(guān)系應(yīng)為

第五十一頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

假定的分布服從正態(tài)分布（只有當(dāng)y與x1，x2，…，xn之間存在線性關(guān)系時，這種假設(shè)才成立，否則只是近似成立），那么可求得y的標準誤差

第五十二頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日其中第五十三頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

根據(jù)隨機誤差的性質(zhì)，若直接測量值xi彼此獨立，則當(dāng)測量次數(shù)無限增加時，必有（i≠k）

所以第五十四頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

則而正好是第i個直接測量值xi的標準誤差的平方，因此可得出間接測量值的標準誤差與諸直接測量值的標準誤差之間如下的關(guān)系：第五十五頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

式中，稱為誤差傳遞系數(shù)，稱為自變量xi的部分誤差，記為Di。由此可得出結(jié)論Ⅱ：間接測量值的標準誤差是各獨立直接測量值的標準誤差和函數(shù)對該直接測量值偏導(dǎo)數(shù)乘積的平方和的平方根。

第五十六頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

以上兩個結(jié)論是誤差傳布原理的基本內(nèi)容，是解決間接測量誤差分析與處理問題的基本依據(jù)。它們還可以推廣到描述間接測量值算術(shù)平均值的標準誤差和各直接測量值算術(shù)平均值的標準誤差之間的關(guān)系第五十七頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

有時，測量結(jié)果的誤差用相對誤差的形式描述更合適。如果以間接測量值的算術(shù)平均值作為約定值，那么間接測量值y的實際相對誤差為式中，是直接測量值xi的實際相對誤差

第五十八頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

最后，應(yīng)指出以下兩點：

1．上述各公式是建立在對每一獨立的直接測量值xi進行多次等精度獨立測量的基礎(chǔ)上的，否則，上述公式嚴格地說將不成立。

2．對于間接測量值與各直接測量值之間呈非線性函數(shù)關(guān)系的情況，上述公式只是近似的，只有當(dāng)計算y的誤差允許作線性近似時才能使用。

第五十九頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日二、函數(shù)誤差的分配

在間接測量中，當(dāng)給定了函數(shù)y的誤差，再反過來求各個自變量的部分部分誤差的允許值，以保證達到對已知函數(shù)的誤差要求，這就是函數(shù)誤差的分配。誤差分配是再保證函數(shù)誤差再要求的范圍內(nèi)，根據(jù)各個自變量的誤差來選擇相應(yīng)的適當(dāng)儀表。

第六十頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

1．按等作用原則分配誤差 等作用原則認為各個部分誤差對函數(shù)誤差的影響相等，即

由此可得如果各個測量值誤差滿足上式，則所得的函數(shù)誤差不會超過允許的給定值。第六十一頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

2．按可能性調(diào)整 因為計算得到的各個局部誤差都相等，這對于其中有的測量值，要保證其誤差不超出允許范圍較為容易實現(xiàn)，而對有的測量值就難以滿足要求，因此按等作用原則分配誤差可能會出現(xiàn)不合理的情況。 同時當(dāng)各個部分誤差一定時，相應(yīng)測量值的誤差與其傳遞函數(shù)成反比。所以盡管各個部分誤差相等，但相應(yīng)的測量值并不相等，有時可能相差很大。第六十二頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

由于存在以上情況，對等作用原則分配的誤差，必須根據(jù)具體情況進行調(diào)整，對難以實現(xiàn)的誤差項適當(dāng)擴大，對容易實現(xiàn)的誤差項盡可能縮小，而對其余項不予調(diào)整。第六十三頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

3．驗算調(diào)整后的總誤差 誤差調(diào)整后，應(yīng)按誤差分配公式計算總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項進行補償。若發(fā)現(xiàn)實際總誤差較小，還可以適當(dāng)擴大難以實現(xiàn)的誤差項。第六十四頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日例4

已知銅電阻阻值與溫度的關(guān)系為Rt=R20[1+a20(t-20)]，20℃時銅電阻阻值R20＝6±0.018Ω，a20＝0.004±0.00004℃－1，求銅電阻在30℃時的電阻值及其誤差。第六十五頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日第五節(jié)粗大誤差粗大誤差是指不能用測量客觀條件解釋為合理的那些突出誤差，它明顯地歪曲了測量結(jié)果。含有粗大誤差的測定值稱為壞值，應(yīng)予以剔除。第六十六頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日產(chǎn)生粗大誤差的原因：測量者的主觀原因客觀外界條件的原因第六十七頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日一、拉伊特準則拉伊特準則(3σ準則)：如果測量列中某一測定值殘差vi的絕對值大于該測量列標準誤差的3倍，那么可認為該測量列中有粗大誤差存在，且該測定值為壞值。壞值剔除后，應(yīng)重新計算新測量列的算術(shù)平均值及標準誤差，并再次進行檢驗看余下的數(shù)據(jù)中是否還含有壞值。第六十八頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日拉伊特準則是判定粗大誤差存在的一種最簡單的方法。拉伊特準則是在重復(fù)測量次數(shù)n趨于無窮大的前提下建立的，當(dāng)n有限時，尤其是當(dāng)n很小時（如n≤10），此準則就不可靠。第六十九頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日二、格拉布斯準則

對某一被測量進行多次等精度獨立測量，獲得一列測定值x1，x2，…，xn。為了檢查測定值中是否含有粗大誤差，將xi由小到大按順序排列為 第七十頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日格拉布斯按照數(shù)理統(tǒng)計理論導(dǎo)出了統(tǒng)計量的分布，取定危險率a，可求得臨界值g0(n,a)，而第七十一頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日第七十二頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

這樣，得到了判定粗大誤差的格拉布斯準則：若測量列中最大測定值或最小測定值的殘差有滿足者，則可認為含有殘差vi的測定值是壞值，因此該測定值按危險率a應(yīng)該剔除。第七十三頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日用格拉布斯準則判定測量列中是否含有粗大誤差的壞值時，選擇不同的危險率可能得到不同的結(jié)果。危險率的含義是按本準則判定為異常數(shù)據(jù)，而實際上并不是，從而犯錯誤的概率。危險率就是誤剔除的概率。第七十四頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日例5

測某一介質(zhì)溫度15次，得到以下一列測定值數(shù)據(jù)（℃）：

20.42，20.43，20.40，20.43，20.42，

20.43，20.39，20.30，20.40，20.43，

20.42，20.41，20.39，20.39，20.40

試判斷其中有無含有粗大誤差的壞值。第七十五頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日解：(1)按大小順序?qū)y定值重新排列20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41，20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43(2)計算子樣平均值和測量列標準誤差第七十六頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日(3)選取a＝5％，查表得g0(15,5％)＝2.41(4)計算最大與最小測定值的殘差，并用格拉布斯準則判定因故x(1)＝20.30在a＝5％下被判定為壞值而剔除。第七十七頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日(5)剔除含有粗大誤差的壞值后，重新計算余下測定值的算術(shù)平均值和標準誤差，查表求新的臨界值，再進行判定。故余下的測定值中已無粗大誤差的壞值。第七十八頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

系統(tǒng)誤差與隨機誤差在性質(zhì)上是不同的，它的出現(xiàn)具有一定的規(guī)律性，不能像隨機誤差那樣依靠統(tǒng)計的方法來處理，只能采取具體問題具體分析的方法，通過仔細的校驗和精心的試驗才能發(fā)現(xiàn)與消除。第六節(jié)系統(tǒng)誤差的分析與處理第七十九頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

設(shè)有一列測定值x1，x2，…，xn，若測定值xi中含有系統(tǒng)誤差θi，消除系統(tǒng)誤差之后其值為x‘i，則xi=x’i+θi，其算術(shù)平均值為

式中，是消除系統(tǒng)誤差之后的一列測定值的算術(shù)平均值。

一、系統(tǒng)誤差的性質(zhì)第八十頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

測定值xi的殘差式中，v'i是消除系統(tǒng)誤差之后的測定值的殘差。第八十一頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日由此，可以得到系統(tǒng)誤差的兩點性質(zhì)：（1）對恒值系統(tǒng)誤差，由于，所以vi=v‘i。由殘差計算出的測量列的均方根誤差式中，是消除系統(tǒng)誤差后測量列的均方根誤差。σ‘第八十二頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

因此，得到系統(tǒng)誤差的性質(zhì)之一：恒值系統(tǒng)誤差的存在，只影響測量結(jié)果的準確度，不影響測量的精密度參數(shù)。如果測定值子樣容量足夠大，含有恒值系統(tǒng)誤差的測定值仍服從正態(tài)分布。第八十三頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

(2)對變值系統(tǒng)誤差，一般有，所以vi≠v'i，σ≠σ'。因此，得到系統(tǒng)誤差的第二個性質(zhì)：變值系統(tǒng)誤差的存在，不僅影響測量結(jié)果的準確度，而且會影響測量的精密度參數(shù)。

第八十四頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日二、系統(tǒng)誤差處理的一般原則

1．在測量之前，應(yīng)該盡可能預(yù)見到產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源，設(shè)法消除之。或者使其影響減少到可以接收的程度。

系統(tǒng)誤差的來源一般可以歸納為以下幾個方面：由于測量設(shè)備、試驗裝置不完善，或安裝、調(diào)整，使用不得當(dāng)而引起的誤差。由于外界環(huán)境因素的影響而引起的誤差。由于測量方法不正確，或者測量方法所賴以存在的理論本身不完善而引起的誤差。

第八十五頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

2．在實際測量時，盡可能地采用有效的測量方法，消除或減弱系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響。

（1）對置法：消除恒值系統(tǒng)誤差常用的方法。這種方法的實質(zhì)是交換某些測量條件，使得引起恒值系統(tǒng)誤差的原因以相反的方向影響測量結(jié)果，從而中和其影響。

第八十六頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

例如，在兩臂為l1,l2的天平上稱重，先將被測重量x放在左邊，標準砝碼P放在右邊，調(diào)平衡后，有第八十七頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

若l1與l2不嚴格相等，則取x＝P必引入恒值系統(tǒng)誤差，此時，若將x、P交換位置，由于l1≠l2，P需換為P‘才能與x平衡，即于是可取這樣可消除因天平臂長不等而引入的恒值系統(tǒng)誤差。第八十八頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

（2）對稱觀測法：消除線性變化的累進系統(tǒng)誤差最有效的方法。 若在測量過程中存在某種隨時間呈線性變化的系統(tǒng)誤差，則可以通過對稱觀測法來消除。它就是將測量以某一時刻為中心對稱地安排，取各對稱點兩次測定值的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，即可達到消除線性變化的累進系統(tǒng)誤差的目的。

第八十九頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日由于許多系統(tǒng)誤差都隨時間變化，而且在短時間內(nèi)可認為是線性變化。因此，如果條件許可均宜采用對稱觀測法。第九十頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

（3）半周期偶數(shù)觀測法：可以很好地消除周期性變化的系統(tǒng)誤差。 周期性系統(tǒng)誤差可表示為其中α為常數(shù)，t為決定周期性誤差的量，T為周期性系統(tǒng)誤差的變化周期。第九十一頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

當(dāng)t=t0時，周期性誤差θ0為 當(dāng)時，而?？梢姡瑴y得一個數(shù)據(jù)后，相隔t的半個周期再測一個數(shù)據(jù)，取二者的平均值，即可消去周期性系統(tǒng)誤差。第九十二頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

3．在測量之后，通過對測定值進行數(shù)據(jù)處理，檢查是否存在尚未被注意到的變值系統(tǒng)誤差。

4．最后，要設(shè)法估計出未被消除而殘留下來的系統(tǒng)誤差對最終測量結(jié)果的影響。

第九十三頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日三、系統(tǒng)誤差存在與否的檢驗一般情況下，人們不能直接通過對等精度測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理來判斷恒值系統(tǒng)誤差的存在，除非改變恒值系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的測量條件；但對于變值系統(tǒng)誤差，有可能通過對等精度測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理來判定變值系統(tǒng)誤差的存在。第九十四頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日在容量相當(dāng)大的測量列中，如果存在著非正態(tài)分布的變值系統(tǒng)誤差，那么測定值的分布將偏離正態(tài)，檢驗測定值分布的正態(tài)性，將揭露出變值系統(tǒng)誤差的存在。在實際測量中，往往不必作煩冗細致的正態(tài)分布檢驗，可以借助于考察測定值殘差的變化情況和利用某些較為簡捷的判據(jù)來檢驗變值系統(tǒng)誤差的存在。第九十五頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

1．根據(jù)測定值殘差的變化判定變值系統(tǒng)誤差的存在若對某一被測量進行多次等精度測量，獲得一系列測定值x1，x2，…，xn，各測定值的殘差表示為

第九十六頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

如果測定值中系統(tǒng)誤差比隨機誤差大，那么，殘差vi的符號將主要由項的符號來決定。因此，如果將殘差按照測量的先后順序排列起來。這些殘差的符號變化將反映出的符號變化，進而反映出θi的符號變化。由于變值系統(tǒng)誤差θi的變化具有某種規(guī)律，因而殘差vi的變化也具有大致相同的規(guī)律性。第九十七頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日由此可得：

準則Ⅰ：將測量列中諸測定值按測量的先后順序排定，若殘差的大小有規(guī)律地向一個方向變化，由正到負或者相反，則測量列中會有累進的系統(tǒng)誤差。

準則Ⅱ：將測量列中諸測定值按測量的先后順序排定，若殘差的符號呈有規(guī)律的交替變化，則測量列中含有周期性的系統(tǒng)誤差。第九十八頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日例6

對某恒溫箱內(nèi)的溫度進行了10次測量，一次獲得如下測定值（℃）：

20.06，20.07，20.06，20.08，20.1020.12，20.14，20.18，20.18，20.21

試判定該測量列中是否存在變值系統(tǒng)誤差。第九十九頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日解：計算各測定值的殘差，并按先后順序排列如下：-0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09

可見，殘差由負變正，其數(shù)值逐漸增大，故測量列中存在累進系統(tǒng)誤差。第一百頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

2．利用判據(jù)來判定變值系統(tǒng)誤差的存在根據(jù)殘差變化情況來判定變值系統(tǒng)誤差的存在，只有在測定值所含系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況下才是有效的。否則，殘差的變化情況并不能作為變值系統(tǒng)誤差存在與否的依據(jù)。為此，還需要進一步依靠統(tǒng)計的方法來判別。下面給出幾個變值系統(tǒng)誤差存在與否的判據(jù)。這些判據(jù)的實質(zhì)是以檢驗分布是否偏離正態(tài)為基礎(chǔ)的。

第一百零一頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

判據(jù)1：對某一被測量進行多次等精度測量，獲得一列測定值x1，x2，…，xn，各測定值的殘差依次為v1，v2，…，vn。把前面k個殘差和后面（n－k）個殘差分別求和（當(dāng)n為偶數(shù)時，取k=n/2；當(dāng)n為奇數(shù)時，取k=(n+1)/2），并取其差值

若差值D顯著地異于零，則測量列中含有累進的系統(tǒng)誤差。第一百零二頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

判據(jù)2：對某一被測量進行多次等精度測量，獲得一列測定值x1，x2，…，xn，各測定值的真誤差依次為δ1，δ2，…，δn。設(shè)，若，則可認為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。其中σ是該測量列的均方根誤差。判據(jù)2是以獨立真誤差的正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。在實際計算中，可以用殘差vi來代替δi。第一百零三頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日例7

試用判據(jù)1、2來判定例6中的測量列是否含有系統(tǒng)誤差。第一百零四頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日解：計算得到各測定值的殘差：-0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09第一百零五頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日用判據(jù)1檢驗因為可見，│D│顯著地異于零，故可認為測量列中含有累進系統(tǒng)誤差。這與準則1判定的結(jié)論相同。第一百零六頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日當(dāng)測量次數(shù)無窮大時，只要D≠0，一般就可認為測量列中含有累進系統(tǒng)誤差。當(dāng)測量次數(shù)n有限時，D≠0不能說明累進誤差的存在，一般采用│D│>│vmax│作為判定測量列中累進系統(tǒng)誤差存在的依據(jù)。第一百零七頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日用判據(jù)2檢驗因為故可判定測量列內(nèi)含有周期性系統(tǒng)誤差。這一結(jié)果在例6中未曾得到。這說明，在判定一個測量列中是否會有變值系統(tǒng)誤差時，聯(lián)合運用上述判定變值系統(tǒng)誤差存在與否的準則和判據(jù)是有益的。第一百零八頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日3.利用數(shù)據(jù)比較判定任意兩組數(shù)據(jù)間系統(tǒng)誤差的存在設(shè)對某一被測量進行m組測量，其測量結(jié)果為任意兩組測量數(shù)據(jù)之間不存在系統(tǒng)誤差的條件是第一百零九頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日第六節(jié)測量結(jié)果的不確定度

一、測量不確定度定義及其構(gòu)成由于測量誤差的存在而對被測量值不能確定的程度稱為測量不確定度，在數(shù)值上為：由一個測量列得到的測量結(jié)果中，如在其算術(shù)平均值中，已按已知的系統(tǒng)誤差進行了修正，則它與被測量的真值之間的差，存在某一估算的間隔（區(qū)間）范圍。這個范圍的上限與修正過的平均值的差，或修正過的平均值與這個范圍的下限之差，即為測量的不確定度。通常這兩個差是相等的，但并非總是相等。第一百一十頁，共一百二十一頁，2022年，8月28日

測量不確定度包括兩個部分：第一部分涉及隨機的誤差，稱隨機分量或A類分量；另一部分涉及未掌握的系統(tǒng)誤差，稱系統(tǒng)分量或B類分量