漫談“雞兔同籠”問題

漫談“雞兔同籠”問題來源：小學數(shù)學EDU“雞兔同籠”問題是中國古代著名趣題。這個問題最早見于成書約在1500年前的《孫子算經(jīng)》：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”意思是：有若干只雞兔關在同一個籠子里，從上面數(shù)有35個頭，從下面數(shù)有94只腳。問籠中各有幾只雞和兔？由于它奇特有趣，我國的小學數(shù)學教材歷來都在“典型應用題”中教學這個問題?，F(xiàn)在的新課標小學數(shù)學教科書人教版，則把它作為“數(shù)學廣角”的一個內容。但是也有人認為，“雞兔同籠問題”純屬虛構，沒有應用性；解答該問題的“假設法”也沒有普遍意義。因此屬于過時的落后的數(shù)學問題，沒有什么價值。這些觀點正確嗎？本書將做一點深入的探討。一、雞兔同籠問題的解法首先我們以下面的題目為例來探討一下雞兔同籠問題的解法。例1

一些雞和一些兔子關在同一只籠子里。從上面數(shù)有20個頭，從下面數(shù)有52條腿。問雞兔各有幾只？

1．假設法這是最常用的解法，解答過程是：先隨便假設一個雞兔的數(shù)目。例如假設雞有10只，那么兔也有10只。雞兔共有腿：10×2＋10×4＝60（條），多了8條。于是進行調整：把1只兔換成雞可以減少2條腿，要減少8條腿只需將4只兔換成雞即可。這樣就得出雞有14只，兔有6只。還可假設雞或兔的腿數(shù)為0到20的任一數(shù)目來解答。2．減腿法這個方法被認為是最簡單的，書上沒有給它命名，為了方便，本書給它取了這個名字。解法：讓每只雞和兔都抬起兩條腿，這樣籠子里的腿就減少了40條，而剩下的12條腿全是兔子的，并且每只兔子只有2條腿。所以兔子是6只。用第一種解法，教學實踐證明，高年級的小學生也有相當一部分難以理解。第二種方法的最大問題是：你怎么想到它的？如果雞兔問題只有這兩種解法，它的價值確實要大打折扣。但是事實并非如此。

3.畫圖法畫圖分析：畫20個小圈代表20個頭。先在每個頭上都畫2條腿，共得40條腿。還差12條腿。再在一些頭上又添2條腿，添了6個頭后，恰好添夠12條腿，并且總共湊足52條腿（如圖）。從圖中看出，4條腿的有6個，2條腿的有14個。因此，籠中共有6只兔子，14只雞。

這種解法具體形象，具有操作性，符合兒童的認知規(guī)律，小學低年級學生也能理解。并且解答的過程就是假設法的形象化，因此能為學習假設法打下基礎。4.列表法仍以例1為例，教師列出下面的表：

這個表只填出頭三列，后面的讓學生接著填。下面的表是按照最慢的步調填的，實際上學生填幾個數(shù)后一般就會跳躍著填，通過多次嘗試就會慢慢發(fā)現(xiàn)規(guī)律，改進方法，速度就會快多了。要給充分的時間讓學生自主探索。用列表的方法解，一是兒童容易理解，二是能看出雞兔腿數(shù)的變化過程。這種方法不但能為兒童理解假設法打下基礎，而且滲透了函數(shù)的思想，對發(fā)展兒童的數(shù)學思維大有好處。

這兩種解法大大地提高了雞兔同籠問題的數(shù)學教育功能，使雞兔同籠問題成為小學數(shù)學的良好教學內容。二、“雞兔同籠”問題的變式雞兔同籠問題還有大量的變式，這些問題看起來數(shù)量關系與雞兔同籠問題不同，但是還是可以用假設法來解。下面舉幾個例子。例2

雞兔同籠，共有15只頭，雞腿比兔腿多12條。求雞兔各幾只？假設15只全是雞，那么應有腿

2×15＝30（條）這樣，雞腿比兔腿多30條。但實際上雞腿只比兔腿多12條，因此多假設了

30－12＝18（條）將1只雞換成兔子，雞腿減少2條，同時兔腿增加4條，因此雞腿與兔腿之差將減少

4＋2＝6（條）要減少18條，需要將3只雞換成兔子。所以兔子有3只，雞有

15－3＝12（只）例3

雞兔共有168條腿，兔的頭數(shù)是雞的三分之二，問雞兔各有多少只？兔與雞的頭數(shù)之比是2︰3。假定兔有2只，雞有3只，那么腿數(shù)是

2×4＋3×2＝14（條）實際情況是168條，相當于假設14條的

168÷14＝12（倍）所以兔的只數(shù)是2×12即24只；雞的只數(shù)是3×12即36只。例4

雞兔若干只，共有腿220條。若將兔的只數(shù)增加，增加的只數(shù)是雞兔總只數(shù)的十九分之五，那么雞兔的腿數(shù)相等。問雞兔各有多少只？由題意知，雞兔的總只數(shù)是19的倍數(shù)。假設雞兔共有19只，先解答下面的問題：雞兔共19只，兔增加5只后，雞、兔的腿數(shù)相等。雞兔各有幾只？“兔增加5只后，雞、兔的腿數(shù)相等”，表明兔腿比雞腿多20條。用假設法可得雞有16只，兔3只。這樣共有腿44條，是220條的五分之一。將16和3都乘以5，即得雞有80只，兔15只。例5

蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀?，F(xiàn)在有這三種小蟲共18只，它們共有118條腿和20對翅膀，問每種小蟲各有幾只？這道題條件比較復雜，為了便于分析，先將條件列表整理如下：蟲腿（條）翅（對）蜘蛛80蜻蜓61蟬61從表中看到，蟬和蜻蜓都是6條腿，因此可以把它們統(tǒng)一起來，都當做“六足蟲”，而不考慮翅膀這個條件。這樣問題就簡化為：八足蟲和六足蟲共18只，共有腿118條，兩種蟲各有幾只？這是典型的雞兔同籠問題，用假設法容易求得，八足蟲（蜘蛛）有：

（118－6×18）÷（8－6）＝5（只）六足蟲（蜻蜓和蟬）有：

18－5＝13（只）下面再求蜻蜓和蟬各有幾只。這時問題又轉化為：“二翅蟲”和“一翅蟲”共13只，共有翅膀20對，兩種蟲各有幾只？這又是簡單的雞兔同籠問題，再次使用假設法得蜻蜓（二翅蟲）有7只，蟬（一翅蟲）有6只。這些變式表明，雞兔同籠問題的內容是相當豐富的，而這些問題都可以用假設法來解答。三、“雞兔同籠問題”的意義由以上的介紹和分析可以看到，雞兔同籠問題有以下意義。1．數(shù)學教育意義雞兔同籠問題的多種解法分別適用于小學各年級的兒童，具有趣味性、操作性和思考性，能培養(yǎng)兒童的數(shù)學興趣，發(fā)展兒童的數(shù)學思維。2．思維策略意義解答雞兔問題的假設法是一種思維策略，其基本思想是“以退為進”，符合華羅庚所說的：善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅！因而具有重要的思維價值和深刻的策略意義。3．數(shù)學思想意義中國古代數(shù)學最講究實用，出現(xiàn)“雞兔同籠”這種純屬虛構的問題，初看起來似乎頗有些奇怪。然而從上面的例子可以看出，古人虛構這個問題的目的乃是為了給出一個數(shù)量關系的模型，凡能夠套上這個模型的問題，就都可以用假設法來解。也就是說，雞兔同籠問題體現(xiàn)了數(shù)學模型的思想。這一點在現(xiàn)代數(shù)學中具有重要意義。20世紀中葉，隨著現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展和電子計算機的誕生，建立數(shù)學模型日漸成為數(shù)學的主要目標之一。1998年，時任世界數(shù)學聯(lián)盟主席的在論述現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展趨勢時說：“創(chuàng)建好的模型正如證明深刻的定理一樣有意義。我想，承認這一點，數(shù)學將會從中受益?！痹诎l(fā)達國家，數(shù)學模型的思想方法已進入中小學數(shù)學教學。美國的小學數(shù)學教材編入了大量的關于數(shù)學模式和模型的教學內容。從以上的介紹和分析可以看到，雞兔同籠問題作為一種數(shù)學模型，具有生動有趣、易于理解和接受的特點，可以說是我國數(shù)學教育的得天獨厚的資源。類似的還有盈虧術、百雞術、求一術等，恰當?shù)乩眠@類的古代問題，可以為數(shù)學模型的教學獨辟一條具有民族特色的蹊徑。我國著名數(shù)學家吳文俊先生指出，中國古代數(shù)學的特點是：從實際問題出發(fā)，經(jīng)過分析提高，再抽