漫談“雞兔同籠”問(wèn)題

漫談“雞兔同籠”問(wèn)題來(lái)源：小學(xué)數(shù)學(xué)EDU“雞兔同籠”問(wèn)題是中國(guó)古代著名趣題。這個(gè)問(wèn)題最早見(jiàn)于成書(shū)約在1500年前的《孫子算經(jīng)》：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”意思是：有若干只雞兔關(guān)在同一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94只腳。問(wèn)籠中各有幾只雞和兔？由于它奇特有趣，我國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材歷來(lái)都在“典型應(yīng)用題”中教學(xué)這個(gè)問(wèn)題?，F(xiàn)在的新課標(biāo)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)人教版，則把它作為“數(shù)學(xué)廣角”的一個(gè)內(nèi)容。但是也有人認(rèn)為，“雞兔同籠問(wèn)題”純屬虛構(gòu)，沒(méi)有應(yīng)用性；解答該問(wèn)題的“假設(shè)法”也沒(méi)有普遍意義。因此屬于過(guò)時(shí)的落后的數(shù)學(xué)問(wèn)題，沒(méi)有什么價(jià)值。這些觀點(diǎn)正確嗎？本書(shū)將做一點(diǎn)深入的探討。一、雞兔同籠問(wèn)題的解法首先我們以下面的題目為例來(lái)探討一下雞兔同籠問(wèn)題的解法。例1

一些雞和一些兔子關(guān)在同一只籠子里。從上面數(shù)有20個(gè)頭，從下面數(shù)有52條腿。問(wèn)雞兔各有幾只？

1．假設(shè)法這是最常用的解法，解答過(guò)程是：先隨便假設(shè)一個(gè)雞兔的數(shù)目。例如假設(shè)雞有10只，那么兔也有10只。雞兔共有腿：10×2＋10×4＝60（條），多了8條。于是進(jìn)行調(diào)整：把1只兔換成雞可以減少2條腿，要減少8條腿只需將4只兔換成雞即可。這樣就得出雞有14只，兔有6只。還可假設(shè)雞或兔的腿數(shù)為0到20的任一數(shù)目來(lái)解答。2．減腿法這個(gè)方法被認(rèn)為是最簡(jiǎn)單的，書(shū)上沒(méi)有給它命名，為了方便，本書(shū)給它取了這個(gè)名字。解法：讓每只雞和兔都抬起兩條腿，這樣籠子里的腿就減少了40條，而剩下的12條腿全是兔子的，并且每只兔子只有2條腿。所以兔子是6只。用第一種解法，教學(xué)實(shí)踐證明，高年級(jí)的小學(xué)生也有相當(dāng)一部分難以理解。第二種方法的最大問(wèn)題是：你怎么想到它的？如果雞兔問(wèn)題只有這兩種解法，它的價(jià)值確實(shí)要大打折扣。但是事實(shí)并非如此。

3.畫(huà)圖法畫(huà)圖分析：畫(huà)20個(gè)小圈代表20個(gè)頭。先在每個(gè)頭上都畫(huà)2條腿，共得40條腿。還差12條腿。再在一些頭上又添2條腿，添了6個(gè)頭后，恰好添夠12條腿，并且總共湊足52條腿（如圖）。從圖中看出，4條腿的有6個(gè)，2條腿的有14個(gè)。因此，籠中共有6只兔子，14只雞。

這種解法具體形象，具有操作性，符合兒童的認(rèn)知規(guī)律，小學(xué)低年級(jí)學(xué)生也能理解。并且解答的過(guò)程就是假設(shè)法的形象化，因此能為學(xué)習(xí)假設(shè)法打下基礎(chǔ)。4.列表法仍以例1為例，教師列出下面的表：

這個(gè)表只填出頭三列，后面的讓學(xué)生接著填。下面的表是按照最慢的步調(diào)填的，實(shí)際上學(xué)生填幾個(gè)數(shù)后一般就會(huì)跳躍著填，通過(guò)多次嘗試就會(huì)慢慢發(fā)現(xiàn)規(guī)律，改進(jìn)方法，速度就會(huì)快多了。要給充分的時(shí)間讓學(xué)生自主探索。用列表的方法解，一是兒童容易理解，二是能看出雞兔腿數(shù)的變化過(guò)程。這種方法不但能為兒童理解假設(shè)法打下基礎(chǔ)，而且滲透了函數(shù)的思想，對(duì)發(fā)展兒童的數(shù)學(xué)思維大有好處。

這兩種解法大大地提高了雞兔同籠問(wèn)題的數(shù)學(xué)教育功能，使雞兔同籠問(wèn)題成為小學(xué)數(shù)學(xué)的良好教學(xué)內(nèi)容。二、“雞兔同籠”問(wèn)題的變式雞兔同籠問(wèn)題還有大量的變式，這些問(wèn)題看起來(lái)數(shù)量關(guān)系與雞兔同籠問(wèn)題不同，但是還是可以用假設(shè)法來(lái)解。下面舉幾個(gè)例子。例2

雞兔同籠，共有15只頭，雞腿比兔腿多12條。求雞兔各幾只？假設(shè)15只全是雞，那么應(yīng)有腿

2×15＝30（條）這樣，雞腿比兔腿多30條。但實(shí)際上雞腿只比兔腿多12條，因此多假設(shè)了

30－12＝18（條）將1只雞換成兔子，雞腿減少2條，同時(shí)兔腿增加4條，因此雞腿與兔腿之差將減少

4＋2＝6（條）要減少18條，需要將3只雞換成兔子。所以兔子有3只，雞有

15－3＝12（只）例3

雞兔共有168條腿，兔的頭數(shù)是雞的三分之二，問(wèn)雞兔各有多少只？兔與雞的頭數(shù)之比是2︰3。假定兔有2只，雞有3只，那么腿數(shù)是

2×4＋3×2＝14（條）實(shí)際情況是168條，相當(dāng)于假設(shè)14條的

168÷14＝12（倍）所以兔的只數(shù)是2×12即24只；雞的只數(shù)是3×12即36只。例4

雞兔若干只，共有腿220條。若將兔的只數(shù)增加，增加的只數(shù)是雞兔總只數(shù)的十九分之五，那么雞兔的腿數(shù)相等。問(wèn)雞兔各有多少只？由題意知，雞兔的總只數(shù)是19的倍數(shù)。假設(shè)雞兔共有19只，先解答下面的問(wèn)題：雞兔共19只，兔增加5只后，雞、兔的腿數(shù)相等。雞兔各有幾只？“兔增加5只后，雞、兔的腿數(shù)相等”，表明兔腿比雞腿多20條。用假設(shè)法可得雞有16只，兔3只。這樣共有腿44條，是220條的五分之一。將16和3都乘以5，即得雞有80只，兔15只。例5

蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀?，F(xiàn)在有這三種小蟲(chóng)共18只，它們共有118條腿和20對(duì)翅膀，問(wèn)每種小蟲(chóng)各有幾只？這道題條件比較復(fù)雜，為了便于分析，先將條件列表整理如下：蟲(chóng)腿（條）翅（對(duì)）蜘蛛80蜻蜓61蟬61從表中看到，蟬和蜻蜓都是6條腿，因此可以把它們統(tǒng)一起來(lái)，都當(dāng)做“六足蟲(chóng)”，而不考慮翅膀這個(gè)條件。這樣問(wèn)題就簡(jiǎn)化為：八足蟲(chóng)和六足蟲(chóng)共18只，共有腿118條，兩種蟲(chóng)各有幾只？這是典型的雞兔同籠問(wèn)題，用假設(shè)法容易求得，八足蟲(chóng)（蜘蛛）有：

（118－6×18）÷（8－6）＝5（只）六足蟲(chóng)（蜻蜓和蟬）有：

18－5＝13（只）下面再求蜻蜓和蟬各有幾只。這時(shí)問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為：“二翅蟲(chóng)”和“一翅蟲(chóng)”共13只，共有翅膀20對(duì)，兩種蟲(chóng)各有幾只？這又是簡(jiǎn)單的雞兔同籠問(wèn)題，再次使用假設(shè)法得蜻蜓（二翅蟲(chóng)）有7只，蟬（一翅蟲(chóng)）有6只。這些變式表明，雞兔同籠問(wèn)題的內(nèi)容是相當(dāng)豐富的，而這些問(wèn)題都可以用假設(shè)法來(lái)解答。三、“雞兔同籠問(wèn)題”的意義由以上的介紹和分析可以看到，雞兔同籠問(wèn)題有以下意義。1．?dāng)?shù)學(xué)教育意義雞兔同籠問(wèn)題的多種解法分別適用于小學(xué)各年級(jí)的兒童，具有趣味性、操作性和思考性，能培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)興趣，發(fā)展兒童的數(shù)學(xué)思維。2．思維策略意義解答雞兔問(wèn)題的假設(shè)法是一種思維策略，其基本思想是“以退為進(jìn)”，符合華羅庚所說(shuō)的：善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅！因而具有重要的思維價(jià)值和深刻的策略意義。3．?dāng)?shù)學(xué)思想意義中國(guó)古代數(shù)學(xué)最講究實(shí)用，出現(xiàn)“雞兔同籠”這種純屬虛構(gòu)的問(wèn)題，初看起來(lái)似乎頗有些奇怪。然而從上面的例子可以看出，古人虛構(gòu)這個(gè)問(wèn)題的目的乃是為了給出一個(gè)數(shù)量關(guān)系的模型，凡能夠套上這個(gè)模型的問(wèn)題，就都可以用假設(shè)法來(lái)解。也就是說(shuō)，雞兔同籠問(wèn)題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的思想。這一點(diǎn)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中具有重要意義。20世紀(jì)中葉，隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的誕生，建立數(shù)學(xué)模型日漸成為數(shù)學(xué)的主要目標(biāo)之一。1998年，時(shí)任世界數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席的在論述現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)時(shí)說(shuō)：“創(chuàng)建好的模型正如證明深刻的定理一樣有意義。我想，承認(rèn)這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)將會(huì)從中受益?！痹诎l(fā)達(dá)國(guó)家，數(shù)學(xué)模型的思想方法已進(jìn)入中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。美國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材編入了大量的關(guān)于數(shù)學(xué)模式和模型的教學(xué)內(nèi)容。從以上的介紹和分析可以看到，雞兔同籠問(wèn)題作為一種數(shù)學(xué)模型，具有生動(dòng)有趣、易于理解和接受的特點(diǎn)，可以說(shuō)是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的得天獨(dú)厚的資源。類似的還有盈虧術(shù)、百雞術(shù)、求一術(shù)等，恰當(dāng)?shù)乩眠@類的古代問(wèn)題，可以為數(shù)學(xué)模型的教學(xué)獨(dú)辟一條具有民族特色的蹊徑。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生指出，中國(guó)古代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是：從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，經(jīng)過(guò)分析提高，再抽