數(shù)值分析11線性方程組條件

《數(shù)值分析》10線性方程組的條件數(shù)問(wèn)題的病態(tài)性

已經(jīng)對(duì)算法的優(yōu)與劣之分有所認(rèn)識(shí),然而問(wèn)題也有好和壞之別。例1考慮正切函數(shù)的計(jì)算對(duì)一個(gè)數(shù)值問(wèn)題本身,如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)(即誤差),引起輸出數(shù)據(jù)(即問(wèn)題解)相對(duì)誤差很大,這就是病態(tài)問(wèn)題。函數(shù)值計(jì)算的病態(tài)性例2線性方程組它的精確解是u*=[1,1,1,1]T?，F(xiàn)僅對(duì)方程的右端作一個(gè)微小的變化,它的精確解是v*=[9.2,-12.6,4.5,-1.1]T。現(xiàn)僅對(duì)系數(shù)矩陣元素作微小的改變它的精確解是w*=[-81,137,-34,22]T。注意上述的解都是精確解與數(shù)值算法并無(wú)關(guān)系。上述未經(jīng)擾動(dòng)的矩陣是對(duì)稱的,它的行列式是1,它的逆矩陣為

線性方程組的矩陣和右端項(xiàng)中的系數(shù)很少是精確的。有些方程組來(lái)自于實(shí)驗(yàn),因此這些系數(shù)都受觀測(cè)誤差影響。另一些方程組的系數(shù)雖由公式計(jì)算出,但這些公式的計(jì)算本身包含舍入誤差。因此,我們必須考慮一個(gè)基本的問(wèn)題。即,如果在線性方程組的系數(shù)受到擾動(dòng),那么計(jì)算結(jié)果會(huì)改變多少？換句話說(shuō),對(duì)于Ax=b,我們?nèi)绾斡?jì)量x關(guān)于A和b變化的靈敏度呢？矩陣的條件數(shù)(Condition

number)

方程組

Ax=b,右端項(xiàng)

b

有一擾動(dòng)引起方程組解

x的擾動(dòng)。設(shè)

x是方程組

Ax=b

的解,則有化簡(jiǎn)得由

Ax=b

得

所以條件數(shù):設(shè)A是可逆矩陣,||.||是與某種向量范數(shù)相容的矩陣范數(shù),稱cond(A)=||A

||·||A-1||為線性方程組相應(yīng)于該范數(shù)的條件數(shù)。相對(duì)誤差放大因子當(dāng)條件數(shù)很大時(shí),方程組

Ax=b是病態(tài)問(wèn)題。

條件數(shù)提供了判斷刻畫線性方程組的好壞的定量指標(biāo)。當(dāng)條件數(shù)較小時(shí),方程組

Ax=b是良態(tài)問(wèn)題;Matlab命令:cond(X,P),其中P=1,2,‘inf’和‘fro’。例3計(jì)算A

矩陣2范數(shù)意義下的條件數(shù)39206>>1

測(cè)試病態(tài)程度:給

一個(gè)擾動(dòng)其相對(duì)誤差此時(shí)精確解2.0102>200%Hilbert矩陣fori=1:10A=hilb(i);c(i)=cond(A);endfigure,plot(c)n23456C(Hn)1.92e+15.24e+21.55e+44.76e+51.49e+7范德蒙(Vandermonde)矩陣%Vandermonde矩陣條件數(shù):fori=1:10c(i)=cond(vander(1:i));endplot(1:10,c')Demon=50A=hilb(n);b=ones(n,1);x0=zeros(n,1);nmax=1000;tol=10^(-5);omega=1.2;[x1,his1,iter1]=GS(A,b,x0,nmax,tol);[x2,his2,iter2]=sor(A,b,x0,nmax,tol,omega);figure,plot(log10(his1),'r')holdon,plot(log10(his2),'b')如果說(shuō)條件數(shù)大是病因，那么病癥是什么呢？引理

矩陣的條件數(shù)(Condition

number)

方程組

Ax=b,矩陣A

有擾動(dòng)