第八章多階抽樣

第八章多階抽樣第一節(jié)多階抽樣概述第二節(jié)一階單元等大小的兩階抽樣第三節(jié)一階單元不等大小的兩階抽樣第一節(jié)多階抽樣概述一、多階抽樣的基本概念根據(jù)實際情況將整個抽樣程序分成若干個階段，一個階段一個階段地進行抽樣，以完成整個抽樣過程，這種抽樣就叫多階抽樣。從總體中隨機抽取一部分一階單元，然后再從被抽中的一階單元內，隨機抽取部分二階單元并對它們進行全面調查，我們把這種抽樣技術稱為兩階抽樣。它是由印度統(tǒng)計學家馬哈拉諾比斯首先提出來的。二、多階抽樣的特點(一)便于組織抽樣;(二)抽樣方式靈活，有利于提高抽樣的估計效率;(三)多階段抽樣對基本調查單元的抽選不是一步到位的;(四)多階段抽樣實質上是分層抽樣與整群抽樣的有機結合;(五)多階抽樣在抽樣時并不需要二階或更低階單元的抽樣框;(六)多階抽樣還可用于“散料”的抽樣，即散料抽樣。第二節(jié)一階單元等大小的兩階抽樣一、二階抽樣(一)有關符號的涵義記為第i個一階單元中第j個二階單元的標志值(或指標值)(i＝1,2,…N；j＝1，2，…，M)。N為總體所含一階單元數(shù)；n為樣本所含一階單元數(shù)；M為每個總體一階單元所含二階單元數(shù)；m為每個樣本一階單元所含二階單元數(shù)；

=n/N為第一階抽樣比；=m/M為第二階抽樣比；

=NM為總體所含二階單元數(shù)；

=nm為樣本所含二階單元數(shù)；為總體中第i個一階單元的標志總量；為樣本中第i個一階單元的標志總量；為總體各一階單元的標志總量；

為樣本各一階單元的標志總量；為總體第i個一階單元內的均值；為樣本第i個一階單元內的均值；為總體各一階單元間的均值；為樣本各一階單元間的均值；為總體各一階單元內均值的平均，即總體中各二階單元的均值；為樣本各一階單元內均值的平均，即樣本中各二階單元的均值

為總體第i個一階單元內的方差；為樣本第i個一階單元內的方差；為總體各一階單元間的方差；為樣本各一階單元間的方差；

為總體各一階單元內方差的平均，即總體各二階單元間的方差；為樣本各一階單元內方差的平均，即樣本各二階單元間的方差。(二)、估計量及其方差由于二階抽樣中，抽樣過程分成兩步，因此，對于總體參數(shù)的估計量求均值和方差時，必須把這兩階抽樣過程所能產(chǎn)生的所有樣本加以平均，即其中，E表示所有樣本的期望值或均值，、分別表示對第一階抽樣求的均值與方差，、分別表示對固定的第一階抽樣中抽得的一組一階單元對第二階抽樣求的均值與方差。對于于三三階階抽抽樣樣可可以以有有類類似似的的公公式式1、總總體體均均值值的的估估計計對于于二二階階抽抽樣樣，，若若兩兩個個階階段段的的抽抽樣樣都都是是簡簡單單隨隨機機的的，，則則其其總總體體均均值值的的無無偏偏估估計計量量為為由于于在在每每個個一一階階單單元元中中的的第第二二階階抽抽樣樣是是相相互互獨獨立立進進行行的的，，所所以以，，在在二二階階段段都都用用不不放放回回方方法法抽抽樣樣時時，，其其總總體體均均值值估估計計量量的的方方差差可可構構造造為為可以證明明其方差差的無偏偏估計量量為其中，為為的的無無偏估計計，不不屬于的的無無偏估計計，的的無偏估估計為式中右邊邊第一部部分相當當于第一一階段抽抽樣的誤誤差，它它只與各各一階單單元間差差異大小小有關；；第二部部分相當當于第二二階段抽抽樣的誤誤差，它它只與各各一階單單元內(即各二階階單元間間)差異有關關。2、總體比比例的估估計若需估計計總體中中具有某某種特性性的二階階單元所所占的比比例，則則令設為為第i個一階單單元中具具有該特特性的二二階單元元所占的的比例，，為為抽到的的第i個一階單單元中具具有該特特性的二二階單元元所占的的比例。。若兩階段段的抽樣樣都是不不放回簡簡單隨機機的，則則總體比比例P的無偏估估計量為為其方差為為方差估計計量為式中3.最佳抽樣樣比的確確定在總費用用一定時時，考慮慮下述簡簡單的線線性費用用函數(shù)若一階級級單元間間的旅費費不占重重要位置置，則上上述費用用函數(shù)被被證明是是適用的的。這里里是是與樣樣本量無無關的固固定費用用，分分別為平平均每調調查一個個一階單單元和二二階單元元的費用用。又方差函函數(shù)式中右邊邊的最后后一項與與n及m的選擇無無關，建建立函數(shù)數(shù)則當費用用固定條條件下，，使方差差極小，，或在方方差固定定條件下下使費用用極小，，等價于于使函數(shù)數(shù)極極小化化。故使使關關于的的偏導數(shù)數(shù)等于零零，則可可求得的的最優(yōu)值值為(其中)當不為整數(shù)數(shù)時，應應取整。。令若,則取;若,則取若或或，，則則取當?shù)牡闹滴粗獣r，可可以用試試點調查查的結果果加以估估計，即即取,則可以按按上述同同樣的思思路求得得的估計計量其中，為為試點調調查中從從每個一一階單元元中抽中中二階單單元的數(shù)數(shù)目。求出后后，將將其代入入估計量量方差的的計算公公式或上上述線性性費用函函數(shù)式中中，即可可求出的的值。。這樣就就可確定定出最佳佳的抽樣樣比和和。。特別地，，當時時，即時時，，二階抽抽樣就化化為對一一階單元元進行的的單級整整群抽樣樣，故其其估計量量的方差差及其估估計量就就轉變?yōu)闉檎撼槌闃庸烙嬘嬃康姆椒讲罴捌淦涔烙?。。?即時時，二階階抽樣就就化為按按比例分分配的分分層隨機機抽樣，，且其層層權相等等，此時時二階抽抽樣估計計量的方方差及其其估計也也就轉變變?yōu)榉謱訉与S機抽抽樣估計計量的方方差及其其估計。。所以，，一般地地二階抽抽樣也可可看作是是把一階階單元作作為層的的不完全全的分層層抽樣。。二、分層層二階抽抽樣設總體分分成L層，第h層有個個一階階單元，，每個一一階單元元均含個個二二階單元元。在第第h層隨機抽抽了個個一階階單元，，又從每每個被抽抽中的一一階單元元中隨機機抽了個個二二階單元元。則的的估計量量為其中(是按二階階單元的的層權)為第h層的樣本本均值。。其方差為為方差估計計量為其中上式乘以以則則得得的的方差及及其方差差估計量量。在分層二二階抽樣樣中，若若即總體中中每個二二階單元元入樣的的概率都都相等，，則樣本本是自加加權時三、三階階抽樣設總體中中含有N個一階單單元，每每個一階階單元又又含M個二階單單元，而而每個二二階單元元中又含含有K個三階單單元，各各階樣本本大小分分別為n、m和k。令(u=1,2,…K)為第i個一階單單元的第第j個二階單單元中，，第u個三階單單元的觀觀測值，，則若三階抽抽樣中，，每階抽抽樣都是是簡單隨隨機的，，則總體體均值的的無偏估估計量為為其方差為為方差的無無偏估計計量為其中第三節(jié)一一階單單元不等等大小的的兩階抽抽樣在兩階抽抽樣中，，各一階階單元所所包含的的二階單單元數(shù)不不等是最最普遍的的現(xiàn)象，，因此對對其樣本本指標和和抽樣方方差的估估算，具具有普遍遍意義，，但較一一階單元元等大小小的估算算復雜很很多。根根據(jù)各個個一階單單元的不不相相等及其其差異程程度是否否懸殊，，在抽樣樣時(即抽取一一階單元元時)就要考慮慮采用等等概抽樣樣或不等等概抽樣樣。一、等概概率抽樣樣在進行兩兩階段抽抽樣時，，不考慮慮各一階階單元權權重(主要用所所含二階階單元數(shù)數(shù)的多少少表示)的不同，，一律予予以同等等被抽中中的機會會，在的的變變異不大大時，既既簡單易易行，且且效果也也好；當當?shù)牡淖儺悜覒沂鈺r，，則會對對抽樣產(chǎn)產(chǎn)生不合合理的影影響。假定總體體由N個一階單單元組成成，第i個一階單單元包含含Mi個二階單單元。從從N個一階單單元中按按簡單隨隨機抽樣樣抽取n個一階單單元，然然后在每每個被抽抽中的一一階單元元中按簡簡單隨機機抽樣抽抽取個個二階階單元。。1、簡單估估計量由于兩階階段的抽抽樣都是是簡單隨隨機的，，因此總總體總和和的無偏偏估計量量為當兩階段段均為不不放回抽抽樣時，，其方差差為方差的無無偏估計計量為其中=n/N為第一階階段抽樣樣比，為第i個一階單單元內的的抽樣比比；，若,即第二階階段的抽抽樣比為為常數(shù)，，則可見，此此時是自加權權的，是是總體體中每個個二階單元元入樣的的概率。。其方差為為方差估計計量為其中若估計總總體均值值，則有有2、比估計計量簡單估計計量雖雖然是是無偏的的，但效效果一般般不好，，方差較較大。因因此也可可利用以以為輔輔助變量量來構造造比估計計量。比估計量量是有偏偏的，其其估計量量的的近似似方差為為方差估計計量為其中:用估估計計由此易得得關于估估計量量的相應應結果就可得到到估計比比例P的公式。。由于二二階單元元總數(shù)通通常是未未知的，，這里給給出比估估計的公公式。在估計的的公式式中，令令3、比例的的估計設表表示第第i個一階單單元的二二階樣本本單元中中具有某某特性的單位占占的比例例，則總總體中具具有該特特性的單單位占的的比例的估計量量其方差估估計量其中二、不等等概率抽抽樣(一)放回的不不等概率率抽樣1、估計量量及其方方差設總體由由N個一階單單元組成成，第i個一階單單元包含含個二階單單元。按按PPz抽樣(與第一階階單元的的大小成成比例的的放回地地逐個獨獨立地抽抽樣)抽取了n個一階單單元，第第i個一階單單元入樣樣的概率率為,，（,為衡量第第i個一階單單元大小小尺度；；若為為確知知，則））。。然后在在被抽中中的一階階單元中中，按簡簡單隨機機抽樣，，抽取個個二二階單元元，。。(1)如果一階階單元被被重復抽抽中，則則原來在在第二階階段抽樣樣中被抽抽中的個個二二階單元元也放回回，按簡簡單隨機機抽樣再再抽個個二階階單元。。在這種種情況下下，總體體總和的的無偏估估計量是是可看作作是從從總體體中中獨獨立抽抽取的的一個個大小小為n的樣本本(對一階階單元元而言言)的樣本本均值值?？煽梢宰C證明：：所以，，是是Y的無偏偏估計計，其其方差差為方差估估計量量是無偏偏的。。(2)當一階階單元元被重重復抽抽中時時，抽抽取二二階單單元的的其它它方法法：①若第第i個一階階單元元被抽抽中次次，，就從從中一一次隨隨機抽抽取個個二二階單單元（（假定定）），，此時時減少②不論論第i個一階階單元元被抽抽中多多少次次，都都只從從中隨隨機抽抽個個二二階單單元，，這時時增加在①、、②兩兩種情情況下下，估估計量量均為為其中為為第i個一階階單元元被抽抽中的的次數(shù)數(shù)。2、估計計量為為自加加權的的條件件前面已已提到到，如如果一一個估估計量量能表表示成成所有有樣本本單元元(在二階階抽樣樣中是是指所所有二二階單單元)的觀測測值之之和乘乘以某某個常常數(shù)，，則該該估計計量稱稱為是是自加加權的的。在ppz抽樣時時，由由得自自加加權的的條件件是此時其中K為常數(shù)數(shù)，是是任任意一一個二二階單單元被被抽中中的概概率，，因而而，上上式表表示任任意一一個二二階