專題02 求三角形面積的范圍與最值-【題型專項突破系列之解三角形】備戰(zhàn)高考數(shù)學大題保分專練(全國通用)(解析版)

專題02解三角形之求三角形面積的范圍與最值一、解答題(共40題)1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，（1）若，求b；（2）求△ABC面積的最大值．【答案】（1）2；（2）3【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理可求b的值；（2）由余弦定理和基本不等式可求bc的最大值，進而可求△ABC面積的最大值．【詳解】解：（1），，由正弦定理，可得．（2），由余弦定理知，，當且僅當取“”；面積的最大值為．2．已知函數(shù).（1）求的最大值和最小正周期T；（2）在中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知，且，求面積的最大值.【答案】（1）最大值為，；（2）.【分析】（1）先將函數(shù)化簡整理，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出最大值與最小正周期；（2）先由，求出；再根據(jù)余弦定理與基本不等式，得到，由三角形面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以當時，取得最大值；最小正周期；（2）因，由（1）得，即，所以；又為三角形內(nèi)角，所以；因為，由余弦定理可得：，即，當且僅當時，取等號；所以；即面積的最大值為.3．已知的內(nèi)角，，的對應邊分別為，，，的面積為，且.（1）若，求；（2）若，求的最大值【答案】（1）（2）【分析】（1）利用面積公式，結(jié)合已知條件，即可容易求得結(jié)果；（2）利用已知條件求得角，結(jié)合余弦定理以及基本不等式，求得的最大值，即可容易求得三角形面積的最大值.【詳解】（1）由題可得，即，從而得.（2）由及得，而，故可得，故，則，即，所以，即，當且僅當時取得等號.所以的面積最大值為.4．已知中，角，，的對邊分別為，，，.（1）若，求的值；（2）若的平分線交于點，且，求的面積的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）解法一：根據(jù)條件、及正弦定理，化為角的等式，再由正弦差角公式，展開化簡即可求得的值；解法二，根據(jù)余弦定理求得、的等量關系，即可再由余弦定理求得，結(jié)合同角三角函數(shù)關系式求得，進而求得的值.（2）根據(jù)及三角形面積公式，代入即可得等式，結(jié)合基本不等式即可求得的最小值，進而得的面積的最小值.【詳解】（1）解法一：由及正弦定理知，則，則，得解法二：∵，∴，則，∴，∴.（2）的平分線交于點，則，∴，則，由，得，當且僅當時等號成立，則.5．如圖所示，五邊形中，，，，.（1）求證：；（2）若，，求面積的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）在中，利用正弦定理求出角即可求出.（2）設，，則，再利用余弦定理以及基本不等式可得，代入三角形的面積公式即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理，故，故或150°，而，故，故，故，則，故；（2）在中，，設，，則，又，即，則，當且僅當時等號成立，故，即面積的最大值為.6．如圖，在四邊形中，，.（1）求的長；（2）求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求解.（2）在中，利用余弦定理以及基本不等式可得，再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）由題可知，.在中，；（2）在中，，可得，又由，有，，故面積的最大值為.7．三角形中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若為的中點，且，求的最大值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理，由題中條件，得到，進而可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題中條件，得到，求得，根據(jù)余弦定理，以及基本不等式，求出，進而可求出三角形面積的最大值.【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理可得，因為角，為三角形內(nèi)角，所以，∴，∴，∴，（2）因為為的中點，且，所以，則，即，又由余弦定理可得，則，所以，當且僅當時，等號成立，∴，∴，即的最大值的.8．的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，代入計算可得角；（2）已知邊和角，余弦定理求的最大值，代入三角形面積公式可求出面積的最大值.【詳解】解：（1），.，即.，..，.（2）由（1）知：，又，，.，，解得..當時，由得，.面積的最大值為.9．中，三內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，為銳角．（1）求的大?。唬?）若為邊上靠近點的三等分點，且，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式以及切化弦的思想化簡可得，進而可得結(jié)果；（2）分別運用余弦定理結(jié)合可得，在中運用余弦定理將用表示，通過基本不等式得出的最大值，進而可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，因為為銳角，，所以，所以，.（2）在中，由余弦定理可得，同理在中，，由于，化簡得：，在中，由，所以，即，即，當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為.10．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角B的大??；（2）設D為邊AC上一點，，，求面積的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】根據(jù)正弦定理進行邊角互化，再由代入可求得，由角的范圍可得答案；由三角形的面積公式化簡可得，再由基本不等式，得，由此可求得面積的最小值.【詳解】解：由正弦定理，得,由得，由，得，，所以，由，得；由知，又，所以，所以，化簡得，由基本不等式，得，即(當且僅當時取等號)．所以面積(當且僅當時取等號)，故面積的最小值為.11．在中，角所對的邊分別為，已知，且．（1）求角；（2）延長至，使得，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為．【分析】（1）由正弦定理得，根據(jù)得，即可求解，再檢驗即可得結(jié)果；（2）利用余弦定理結(jié)合面積公式，運用二次函數(shù)最值公式求解即可．【詳解】解：（1）已知，由正弦定理得，，得所以：，故，整理得，故或．由于，所以滿足條件，故；（2）延長至，使得，所以，由于，所以，所以，當時，的最大值為．12．在中，分別為內(nèi)角所對的邊，若.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由正弦定理統(tǒng)一為角，利用三角恒等變化即可求解；（2）由余弦定理及均值不等式求出，即可求出面積的最值.【詳解】（1）∵由題意可得，，可得（2），由余弦定理，可得，，可得，當且僅當b=c時等號成立，即面積的最大值為.13．在中，角、、所對的邊分別是、、，．（1）求角：（2）若的周長為10，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由，利用三角函數(shù)的基本關系和兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦定理求解；（2）由，結(jié)合余弦定理，再利用基本不等式求得的范圍，再代入三角形面積公式求解．【詳解】（1）由，又，所以，因為,故．（2）由已知可得，消去，可得，得（當且僅當時,取等號）解得（舍）或，故，，則面積的最大值為．14．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于軸對稱.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足，，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由對稱性得到的解析式，要求函數(shù)的遞減區(qū)間，即求的遞增區(qū)間，利用整體角求解即可；（2）由解得，要求面積的最大值，先轉(zhuǎn)化為求的最大值，再結(jié)合余弦定理與重要不等式求積的最值.【詳解】（1）由己知可得，由，解得：，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由，即，所以（舍）或，故，又由余弦定理可得：，即，當且僅當時取到等號，于是有，所以面積的最大值為.15．在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題設條件和利用正弦定理，化簡得到，進而求得的大小.（2）由余弦定理得到，結(jié)合基本不等式，求得，利用面積公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，在中，滿足，利用正弦定理得，即，即，可得，因為，可得，所以，即，又因為，所以.（2）在中，由余弦定理，可得，所以，即，當且僅當時取等號，所以的面積，所以面積的最大值為.16．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若是銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【分析】(I)同角三角函數(shù)基本關系式化簡已知等式可得，解方程可得的值，結(jié)合0<A<π,可求A的值.(Ⅱ)法一；由題設及(I)利用三角形的面積公式得，利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可求c，由題意可求范圍，利用正切函數(shù)的性質(zhì)可求c的范圍，進而可求△ABC面積的取值范圍.法二:可以用余弦定理c用表示a,利用銳角三角形兩邊平方和大于第三邊，可以求得c的范圍，進而即可求解ABC面積的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）由，可得；即，解得；由于，故.（Ⅱ）法一：由題設及（Ⅰ）知的面積.由正弦定理得.由于為銳角三角形，故，，由（Ⅰ）知，所以，故，從而，因此，面積的取值范圍是.法二：可以用余弦定理用表示，利用銳角三角形兩邊平方和大于第三邊，可以求得的范圍.由余弦定理，，即，又因為三角形為銳角三角形，所以，代入可解得，此時也滿足兩邊之和大于第三邊，從而可求得面積的取值范圍是.17．在中，角A，B，C的對邊分別為，，點D在邊AC上，且，.（1）求角B的大小；（2）求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理將化為，再利用三角函數(shù)恒等變換公式可求出角B的大小；（2）由可得，從而得，進而有，化簡后利用基本不等式可求出，從而可求出面積的最大值，或設，則，，在和中利用余弦定理可得，，從而得，在中由余弦定理可得，從而可得，用基本不等式可求出，從而可求出面積的最大值【詳解】解：（1）由及正弦定理，得，又，所以，即，因為，，所以，又，得.（2）方法1：因為點D在邊AC上，且，所以，，即，即，由，可得，即，當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為，當且僅當，即，時等號成立.方法2.設，則，，在中，由余弦定理，得，即；①同理，在中，由余弦定理，得，②由①②消掉，得.③在中，由余弦定理，得，即，④把④代入③，得，由，可得，即，所以面積的最大值為，當且僅當，即，時等號成立.18．在中，角所對的邊分別為（1）若，點在邊上，，求的外接圓的面積；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由已知得，再利用正弦定理得，可得，在中由正弦定理得可得，在中由余弦定理得，設外接圓的半徑為，可得外接圓的面積；（2）由（1）和余弦定理可得，所以，利用基本不等式可得答案.【詳解】（1）由得：，由正弦定理得，因為，所以，因為，所以，又，所以，，在中，由正弦定理得，所以，因為，所以，在中，，由余弦定理得：設外接圓的半徑為，由可得：，所以外接圓的面積.（2）由（1）可知，又，由余弦定理可得：，即，因為，所以，從而（當且僅當時取等號），所以面積，從而面積的最大值為.19．如圖，在平面四邊形ABCD中，為正三角形，．（1）若的面積為，求AB的值；（2）當?shù)闹禐槎嗌贂r，四邊形ABCD的面積最大？【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用面積公式可求，再結(jié)合余弦定理可求求AB的值；（2）先利用余弦定理求，結(jié)合面積公式可求四邊形ABCD的面積，利用輔助角公式化簡前者何時取面積的最大值.【詳解】（1）因為的面積為，所以，又，所以，即，當為銳角時，，在中，由余弦定理得，，所以；當為鈍角時，，在中，由余弦定理得，，所以；（2）由（1）知，，，因為為正三角形，所以，故四邊形ABCD的面積為，因為，所以當，即時，四邊形ABCD的面積最大．20．已知平面四邊形內(nèi)接于圓（1）若，求所對的圓弧AD的長；（2）求四邊形面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）連接，可得，在中,由的余弦定理可解出，在中利用正弦定理可得圓的半徑，則可得到弦長AD對應的圓心角，利用，即可得出所對的圓弧AD的長.（2）在中，由的余弦定理可得，再由計算即可的得出四邊形面積的最大值.【詳解】（1）連接又，在中由余弦定理，，即又的外接圓半徑為正三角形，所對的圓?。?）在中，由余弦定理即．又當且僅當時等號成立所以四邊形面積的最大值為．21．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若的外接圓的直徑為，且銳角滿足，求面積的最大值.【答案】（1），；（2）最大值為.【分析】（1）化簡得到正弦型函數(shù)，把看成一個整體，畫出的圖像，得到圖像的增區(qū)間，反解出的范圍即可.（2）根據(jù)正弦定理，；根據(jù)，可以解出；根據(jù)，只需要解出的取值范圍即可.而，代入已知條件化簡，再利用三角函數(shù)可求得最大值.【詳解】（1）令，解得單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2），解得.又令外接圓半徑為，則，所以，又因為，所以(當且僅當)所以，所以面積最大值為.22．已知銳角中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求的值；（2）若，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由題中條件，結(jié)合三角恒等變換得到，再由為銳角三角形，即可求出角；（2）根據(jù)正弦定理，先得到，，再由三角形面積公式得到，利用三角恒等變換將其化簡整理，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出取值范圍.【詳解】（1）由得，即，因為為銳角三角形，，所以，則.（2）因為，由正弦定理可得，則，，所以面積，因為為銳角三角形且，所以，則，所以，因此.23．的內(nèi)角、，的對邊分別為、、，，．（1）求角的大??；（2）求外接圓面積的最小值．【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）利用誘導公式結(jié)合二倍角的降冪公式可求得，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）求得，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最小值，進而可求得結(jié)果.【詳解】（1）因為，則，所以，即，故，因為，則，所以，或，解得或；（2）設外接圓半徑為，由正弦定理可得，所以外接圓面積.①當時，由余弦定理可得：因為，所以，因此外接圓面積的最小值．②當時，由勾股定理可得，因此外接圓面積的最小值．綜上所述，外接圓面積的最小值為或.24．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B的大??；（2）如圖，在AC邊的右側(cè)取點D，使得，若，求當為何值時，四邊形ABCD的面積最大，并求其最大值．【答案】（1）；（2）當時，四邊形ABCD的面積取得最大值．【分析】（1）利用正弦定理邊化角，然后求解出的值，則的大小可求；（2）設，利用余弦定理表示出，再分別表示出，將四邊形的面積表示為的函數(shù)，利用輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)求解出面積的最大值以及對應的大小.【詳解】（1）在△ABC中，由正弦定理得，所以，所以．因為，所以．又，故．（2）由（1）知，且，所以△ABC為等邊三角形．設，則在△ACD中，由余弦定理得，所以，四邊形ABCD的面積．因為，所以．當，即時，．所以當時，四邊形ABCD的面積取得最大值．25．在平面四邊形中，，，.（1）求的長；（2）求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由利用二倍角公式解方程可得的值，再在中，用余弦定理可求得的長；（2）在中運用余弦定理，結(jié)合基本不等式可得的最大值，進而可得面積的最大值及四邊形面積的最大值.【詳解】（1）由，得，解得，，在中，由余弦定理得，故；（2）在中，由余弦定理得，即，當且僅當時，等號成立，故，又，故面積的最大值為.26．在中，角所對的邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若，求的面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理進行邊角互化，將邊化為角，然后運用兩角和正弦公式逆用進行化簡，即可求出角的大??；（2）運用余弦定理和不等式計算出的最值，然后運用三角形面積公式即可求出面積最大值.【詳解】（1）已知，則由正弦定理可得，即，即，即，，，又，則（2）由余弦定理可得，即，即，當且僅當時，等號成立，，的面積為.的面積的最大值為.27．在中，內(nèi)角所對邊分別為，若.（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）先用同角三角函數(shù)的平方關系將式子進行化簡，進而用正弦定理進行角化邊，最后用余弦定理解得答案；（2）用面積公式，結(jié)合正弦定理即可得到答案.（1）∵，∴，∴，由正弦定理得，又由余弦定理得，∴，由于，所以.（2）∵是銳角三角形，得到.由正弦定理可知，，由三角形面積公式有：又因故故取值范圍是28．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若的周長為，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）在中，利用余弦定理化角為邊，可得，再結(jié)合，即得解；（2）由余弦定理以及可得，再利用面積公式即得解（1）由余弦定理，得，即，則，所以又，所以．（2）由題意，，根據(jù)余弦定理，得，則，所以，當且僅當時取“＝”．所以，面積，故面積的最大值為．29．在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若邊上的中線，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦的二倍角公式及降冪公式可得，再利用正弦定理邊化角求解即可.（2）利用向量的中線公式得平方后化簡得，即可求面積的最大值.【詳解】（1）依題意有.∴，，∴，又解得，，∴.（2），，即∴，當且僅當時成立.故面積的最大值為30．在中，設所對的邊分別為，，，.（1）求的值；（2）已知分別在邊上，且，求面積的最大值.【答案】（1），；（2）最大值.【分析】（1）首先求出，再利用正弦定理求出，即可得解；（2）由，求出，再由正弦定理求出，即可得到，再由利用基本不等式計算可得；【詳解】解：（1）因為，，所以，，由正弦定理，可化為，即解得，所以，；（2），，解得.因為，所以，的面積，當且僅當時，取得最大值.31．如圖，在平面五邊形中，，，．

（1）求的值；（2）求面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）在中，由正弦定理求出，進而可以解；（2）先用余弦定理求出，再用面積公式即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得所以因為所以為銳角，所以.所以，所以.（2）在中，由余弦定理得，即，當且僅當時等號成立，所以.所以.32．的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，設.（1）若，求；（2）若，求的面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和正弦定理，求得，結(jié)合余弦定理，即可求解；（2）由（1）和余弦定理，求得，利用面積公式得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理，可得，即即，因為，所以，可得，又因為，可得，由余弦定理，得，因為，所以.（2）由（1）知，由余弦定理，得，所以的面積，當時，取得最大值.33．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求角A的大??；（2）若點D是BC的中點，且，求△ABC的面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理的角化邊公式化簡得到，結(jié)合余弦定理解出角的大??；（2）利用兩邊平方得到,再利用基本不等式得出最大值.【詳解】（1）由題意得（2）,當且僅當時，等號成立.故△ABC的面積的最大值是34．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知.（1）求角C；（2）若，且為銳角三角形，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理角花邊可得，由余弦定理可得，即可得解；（2）因為是銳角三角形，由（1）知，得到，，，即可得解.【詳解】（1）由正弦定理得，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）因為是銳角三角形，由（1）知，得到，∴，∴.正弦定理得，，.三角形面積公式有：.又因，故，∴.故的取值范圍是.35．中，的面積為.（1）求（2）若為的中點，分別為邊上的點（不包括端點），且，求面積的最小值.【答案】（1）;（2）【分析】（1）利用求出，再利用余弦定理求即可；（2）設，在中，利用正弦定理表示出，在中，利用正弦定理表示出，再將的面積表示出來，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求其最小值.【詳解】解：（1）因為所以，又，所以，由余弦定理得：，所以；（2）設，則，在中，由正弦定理得：，即，所以，在中，由正弦定理得：，由（1）可得，則，所以，所以，當時，，故的面積的最小值為.36．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，S為的面積，．（1）證明：；（2）若，且為銳角三角形，求S的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用三角形面積公式表示S，結(jié)合余弦定理和正弦定理，建立三角函數(shù)等式，證明結(jié)論，即可．（2）結(jié)合三角形ABC為銳角三角形，判定tanC的范圍，利用tanC表示面積，結(jié)合S的單調(diào)性，計算范圍，即可．【詳解】(1)證明：由，即，，，，，，，，，，，，，B，，．(2)解：，，．且，，，為銳角三角形，，，，為增函數(shù)，．37．如圖，在中，角的對邊分別為,.（1）求角的大??；（2）若為外一點，，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)正弦定理將條件轉(zhuǎn)化為角的關系再利用三角形內(nèi)角關系、誘導公式及兩角和正弦公