【上課用】解密06 解三角形（講義）-【高頻考點(diǎn)解密】 高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義 分層訓(xùn)練（新高考專用）

解密06正、余弦定理及解三角形高考考點(diǎn)命題分析三年高考探源考查頻率利用正、余弦定理解三角形解三角形問題一直是近幾年高考的重點(diǎn)，主要考查以斜三角形為背景求三角形的基本量、面積或判斷三角形的形狀，解三角形與平面向量、不等式、三角函數(shù)性質(zhì)、三角恒等變換交匯命題成為高考的熱點(diǎn)．2021年全國乙卷152020課標(biāo)全國Ⅲ72020課標(biāo)全國Ⅱ172019課標(biāo)全國Ⅱ152018課標(biāo)全國Ⅰ172018課標(biāo)全國Ⅱ62018課標(biāo)全國Ⅲ9★★★★★解三角形與其他知識的交匯問題2021新高考Ⅰ卷192021新高考Ⅱ卷182020課標(biāo)全國Ⅰ162019課標(biāo)全國Ⅰ172019課標(biāo)全國Ⅲ17★★★考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形題組一利用正、余弦定理解三角形☆技巧點(diǎn)撥☆利用正、余弦定理解三角形的關(guān)鍵是利用定理進(jìn)行邊角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地選擇“邊”往“角”化，還是“角”往“邊”化．若想“邊”往“角”化，常利用“a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC”；若想“角”往“邊”化，常利用sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)等．例題11．在中，已知，則角的大小為（）A． B． C． D．1．A【分析】因?yàn)?，由正弦定理，可得，又由余弦定理得，因?yàn)?，可?故選：A.例題2．在中，角、、所對的邊分別為、、，其中，，則的最小值為（）A．9 B．12 C．18 D．20【分析】由題意知，根據(jù)正弦定理，可得，因?yàn)?，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值為18．故選：C．例題3．在中，角的對邊分別是，若，，則（）A． B． C． D．由余弦定理得：，，，又，，，．故選：A．例題4．從①，②的面積，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，若，且________．（1）求；（2）若角的平分線與交于點(diǎn)，，求，．（1）條件選擇見解析，（2）【分析】解：若選①，，又，，，若選②：，，，又，，，，．若選③：，，由正弦定理得，，，．（2）是角的平分線，，，即，，由（1）知，，解得．題組二與不等式有關(guān)的問題例題2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的三邊長分別為a，b，c，且滿足.（1）求角；（2）若，求的取值范圍．因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼胏(a－b)＝a2－b2，所以a2＋c2－b2－bc＝2a2－2b2，即a2＝b2＋c2－bc.因?yàn)閍2＝b2＋c2－2bccosA，所以cosA＝，則A＝.（2）由正弦定理得＝＝2，所以b＝2sinB，c＝2sinC，所以b＋c＝2sinB＋2sinC＝2sinB＋2sin(A＋B)＝2sinB＋2sinAcosB＋2cosAsinB＝3sinB＋cosB＝2sin(B＋)．因?yàn)锽∈，所以B＋∈(，π)．所以sin(B＋)∈(，1]，則b＋c∈(，2]．例題2．在銳角中，角的對邊分別為，已知．（1）求證：．（2）若，求的取值范圍．解：因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，則或，即或（舍去），故.（2）解：因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理可得：，則，所以.例題3．若函數(shù)f（x）=Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）滿足下列條件：f（x）的圖象向左平移π個單位時第一次和原圖象重合；對任意的x∈R都有f（x）≤f（）=2成立．（1）求f（x）的解析式；（2）若銳角△ABC的內(nèi)角B滿足f（B）=1，且∠B的對邊b=1，求△ABC的周長l的取值范圍（1）由題意可得：T==π，解得：ω=2，∵對任意的x∈R都有成立，∴時，f（x）有最大值2，可得：A=2，∵，k∈Z，又∵0≤φ＜π，∴，∴．（2）f（B）=1，∴，而，故，∴，∵△ABC是銳角三角形，∴，，∴，∴△ABC中，由正弦定理可得，∴，∴，∴．題組三三角形形狀的判斷☆技巧點(diǎn)撥☆判斷三角形的形狀有以下幾種思路：（1）轉(zhuǎn)化為三角形的邊來判斷，可簡記為“化角為邊”；（2）轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)（值）來判斷，可簡記為“化邊為角”．提醒：在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免造成漏解.例題1．在中，角、、所對的邊分別為、、若，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．不確定【分析】在中，原等式化為：，由正弦定理得，，即，由余弦定理得：，整理得，則有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，所以的形狀是等腰三角形或直角三角形.故選：C例題2．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則“”是“是等腰三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件在中，由結(jié)合余弦定理得：，整理得：，即，則或，為等腰三角形或直角三角形，即“”不能推出“是等腰三角形”，而為等腰三角形，不能確定哪兩條邊相等，不能保證有成立，所以“”是“是等腰三角形”的既不充分也不必要條件.故選：D例題3．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，則該三角形的形狀是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形∵a2＋b2－c2＝ab，∴，又，∴，由2cosAsinB＝sinC，得∴，即，又，故三角形為等邊三角形.故選：C例題4．已知的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足，且，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為的非等腰三角形 D．頂角為的等腰三角形因?yàn)?，所以，所以，根?jù)正弦定理可得，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，由得，得，得，得，得，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，，所以為頂角為的等腰三角形.故選：D考點(diǎn)二解三角形與其他知識綜合應(yīng)用例題1．已知的三個內(nèi)角分別為為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，動點(diǎn)滿足則動點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心【答案】A【分析】在中，令線段的中點(diǎn)為，由正弦定理，得，由，得即，而，則，于是得與同向共線，而它們有公共起點(diǎn)，即動點(diǎn)的軌跡是射線除點(diǎn)A外),又重心在線段上，動點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心．故選：A.例題2．在△ABC中，，O為△ABC的重心，若，則△ABC外接圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】因?yàn)?，所以，?因?yàn)镺為△ABC的重心，且，所以△ABC為等邊三角形.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以△ABC外接圓的半徑為.故選：B例題3．已知在中，內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，滿足.（1）求；（2）如圖，若，在外取點(diǎn).且，.求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】，由正弦定理得，，即，，，，．（2）因?yàn)?，，∴△ABC是等邊三角形，在中，由余弦定理知，，而，，四邊形的面積，，，，當(dāng)即時，取得最大值，為，故四邊形面積的最大值為．例題4．在中，它的內(nèi)角，，的對邊分別