考點05 誘導公式及恒等變換（解析版）

19/19考點05誘導公式及恒等變換三角函數的誘導公式1.公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinαsinα－sinαcosαcosα余弦cosαcosα－cosα－cosαsinα－sinα正切tanα－tanα－tanαtanα口訣函數名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限2.記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限①“奇”與“偶”指的是k·eq\f(π,2)＋α中的整數k是奇數還是偶數．②“變”與“不變”是指函數名稱的變化，若k是奇數，則正、余弦互變；若k為偶數，則函數名稱不變③“符號看象限”指的是在k·eq\f(π,2)＋α中，將α看成銳角時k·eq\f(π,2)＋α所在的象限．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式1.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ“同名相乘，符號反”2.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ“異名相乘，符號同”3.tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)“上同號，下1異號相乘”三．二倍角公式（1）sin2α＝2sinαcosα?12sin2α＝sinα（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)考點一誘導公式之化簡【例1】（1）（2021·重慶·西南大學附中高三階段練習）（）A． B． C． D．（2）（2021·重慶南開中學高三階段練習）已知，則（）A． B．1 C． D．5【答案】（1）D（2）D【解析】（1）由三角函數的誘導公式，可得：.故選：D.（2）由題意，則．故選：D﹒【變式訓練】1．（2021·北京市第八中學怡海分校高三階段練習）已知角的終邊經過，求=___________【答案】【解析】∵角的終邊經過，且，所以，從而.故答案為：2．（2021·寧夏·吳忠中學高三階段練習（文））若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，所以，∴，故選：B．3．（2021·河北·大名縣第一中學高三階段練習）已知，，則的值為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由及可知，所以.所以故選：A.4．（2021·江蘇如皋·高三期中）已知角的終邊與直線垂直，的值為___________.【答案】【解析】直線的斜率為，角的終邊的斜率為2，∴，.故答案為：考點二兩角和差與二倍角【例2】（2021·全國·）化簡：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【解析】（1）.（2）由，∴.（3）.（4）.（5）.（6）.【變式訓練】1．（2021·天津薊州·高三期中）已知，則___________.【答案】【解析】.故答案為：.2．（2021·河南）計算：（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】依題意，故選：B3．（2021·云南）已知，則()A． B． C． D．3【答案】A【解析】∵，∴，，∴，故選：A．4.（2021·河南）化簡函數=___________.【答案】【解析】，5．（2021·全國·）化簡：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．考點三角的拼湊【例3-1】（2021·全國·高一課時練習）已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據題意，.故選：B.【例3-2】（2021·湖南·沅江市第一中學高三階段練習）若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，.故選：C.【例3-3】（2021·福建·福州三中模擬預測）已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，則，故.故選：A【例3-4】（2021·全國·模擬預測）已知，為第二象限角，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為為第二象限角，所以，又因為，所以，所以，所以，故選：A.【例3-5】（2021·吉林·高三階段練習（文））若，均為銳角，，，則（）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】，均為銳角，，則，，故為鈍角，..故選：B【變式訓練】1．（2021·廣東·普寧市華僑中學高三期中）已知，則__________．【答案】【解析】，故答案為：2．（2021·海南華僑中學高三階段練習）設α為銳角，若cos＝－，則sin的值為（）A．－ B． C．－ D．【答案】D【解析】因為，所以，所以.故選：D.3．（2021·福建·莆田第二十五中學高三期中）已知，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選：B考點四恒等變化【例4-1】（2021·湖南師大附中高三階段練習）若，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵，∴故選：C.【例4-2】（2021·云南·昆明一中）___________.【答案】【解析】.故答案為：【變式訓練】1．（2021·河南宋基信陽實驗中學）__________.【答案】4【解析】.故答案為：4．2．（2021·云南·昆明一中））______．【答案】【解析】因為．故答案為：3．（2021·廣東·高三階段練習）已知，則____________．【答案】【解析】，設，則，，代入上式得，﹒故答案為：﹒4．（2021·全國·高二課時練習）求的值【答案】【解析】.1．（2021·廣西玉林）若，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴.故選：C.2．（2021·云南師大附中）若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A.3．（2021·江蘇南京·高三階段練習）已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，，故選：A.4．（2021·四川攀枝花）已知角的終邊經過點，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設，，.故選：B5．（2021·河南·高三階段練習（理））已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選：B.6．（2021·甘肅·靜寧縣第一中學高一階段練習（文））若，則（）A． B． C．4 D．【答案】D【解析】因為.所以，故選：D.7．（2021·重慶一中高三階段練習）已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D.8．（2021·四川·東辰國際學校三模（文））已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】故選：D.9．（2021·四川·射洪中學）已知角的終邊經過點，則=___________.【答案】【解析】因角的終邊經過點，則該點到原點的距離，于是得，所以.故答案為：10．（2021·上海長寧·一模）在直角坐標系中，角的始邊為正半軸，頂點為坐標原點，若角的終邊經過點，則____________【答案】【解析】.故答案為：11．（2021·黑龍江·哈爾濱三中）______.【答案】【解析】，利用兩角和的正弦公式可得：，故答案為：.12．（2021·浙江·無高三階段練習）已知角的終邊在直線上，則___________；___________.【答案】【解析】由直線的斜率為，則，又.故答案為：.13．（2021·湖南·高三階段練習）若銳角滿足，則________，________.【答案】45【解析】因為，所以或4，又為銳角，所以，所以.故答案為：4，514．（2021·北京四中高三期中）已知為第三象限角，且，則__________；________.【答案】【解析】因為為第三象限角，且，所以，則；.故答案為：，15．（2021·江蘇·南京市第一中學高三期中）已知，則__________.【答案】【解析】因為，所以，即，所以.故答案為：.16．（2021·山東菏澤·高三期中）已知角的終邊經過點，則的值是___________.【答案】【解析】解：已知角的終邊經過點，根據三角形的定義可知，根據三角函數定義：，所以，.故答案為：.17（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知，則___________.【答案】0【解析】因為，故可得，則.故答案為：.18．（2021·河南）已知，，則___________.【答案】【解析】由已知可得，.故答案為：.19．（2021·山東聊城一中高三期中）已知函數的圖象恒過點定點，若角終邊經過點，則___________.【答案】【解析】因為函數的圖象恒過定點，所以函數的圖象恒過定點，.因為角終邊經過點，由三角函數的定義可得：.所以.故答案為：.20．（2021·四川）已知，則________．【答案】【解析】因為，由誘導公式得：所以．，．故答案為：1．（2021·云南師大附中）已知，則（）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因為，故可得：.原式.故選：B.2．（2021·四川瀘州）已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，則.故選：D.3．（2021·湖北·高三階段練習）若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】將兩邊平方可得，則，.故選：A4．（2021·陜西金臺·高三階段練習（文））（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B.5．（2021·全國·高三階段練習）已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，即，所以故選：B6．（2021·全國·模擬預測）已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，于是，又，所以，所以.故選：B7．（2021·山東）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊上有一點，則的值為（）A．或 B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，，故選：B8．（2021·四川遂寧）=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】原式=.故選：D.9．（2021·遼寧·模擬預測）已知角的頂點在原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點，則（）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】由正切函數的定義得．故選：A10．（2021·江蘇鹽城·高三期中）已知，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，又，，，，解得：，，，，，，.故選：B.11．（2021·河北保定·高三階段練習）如圖，某時鐘顯示的時刻為，此時時針與分針的夾角為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圖可知，則.故選：D12．（2021·寧夏·中衛(wèi)一中）已知，為銳角，且，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】：依題意，為銳角，tan，，又，為銳角，得，，；，得：，因此，，故選：C.13．（2021·黑龍江·鐵人中學高三階段練習（文））若，則___________.【答案】【解析】.故答案為：.14．（2021·安徽·合肥市第八中學高三階段練習（文））若，則_________．【答案】【解析】，令，則，即.故答案為：15．（2021·廣東·高三