高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 人教

函數(shù)的應(yīng)用（1）曲線的切線.1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.故曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程是:.例1:如圖,已知曲線,求:

(1)點(diǎn)P處的切線的斜率;(2)點(diǎn)P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP（1）點(diǎn)處的切線的斜率等于4.

(2)在點(diǎn)P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0..練習(xí)1：P3433，9P3451，2

.函數(shù)的應(yīng)用（2）函數(shù)的單調(diào)性.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)

>0,那么函數(shù)y=f(x)為在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù);如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)<0,那么函數(shù)y=f(x)為在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).1用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性的結(jié)論:如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù)..2，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)的步驟:(2):求導(dǎo)數(shù)(3)解不等式>0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;解不等式<0得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.（1）先求函數(shù)的定義域.故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(1,3)內(nèi)是減函數(shù).10331yx而我們可以從右邊的函數(shù)的圖象看到上面的結(jié)論是正確的.例2:討論f(x)=x3-6x2+9x-3的單調(diào)性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,當(dāng)或時(shí),f(x)是增函數(shù).令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,當(dāng)時(shí),f(x)是減函數(shù)..解:函數(shù)的定義域是(-1,+∞),f(x)=x/2-ln(1+x)+1由即得x<-1或x>1.注意到函數(shù)的定義域是(-1,+∞),故f(x)的遞增區(qū)間是(1,+∞);由解得-1<x<1,故f(x)的遞減區(qū)間是(-1,1).說(shuō)明:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必定是它的定義域的子區(qū)間,故求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定首先要確定函數(shù)的定義域,在求出使導(dǎo)數(shù)的值為正或負(fù)的x的范圍時(shí),要與定義域求兩者的交集.練習(xí)2:確定下面函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:.練習(xí)2P3454，5P3473，4，7.函數(shù)的應(yīng)用（3）函數(shù)的極值.1，函數(shù)的極值的定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0及其附近有定義,如果f(x0)的值比x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大,我們說(shuō)f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小,我們說(shuō)f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱極值.請(qǐng)注意以下幾點(diǎn):(1)極值是一個(gè)局部概念.由定義,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小..(2)函數(shù)的極值不是唯一的.即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè).(3)極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系.即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值,如下圖所示,x1是極大值點(diǎn),x4是極小值點(diǎn),而f(x4)>f(x1).oaX1X2X3X4baxy.一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時(shí),判別f(x0)是極大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左側(cè)右側(cè)那么,f(x0)是極大值;(2):如果在x0附近的左側(cè)右側(cè)那么,f(x0)是極小值..總結(jié):求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟如下:(1).求導(dǎo)數(shù)(2).求方程的根.(3)檢查在方程根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值..例3:求y=x3/3-4x+4的極值.解:令,解得x1=-2,x2=2.當(dāng)x變化時(shí),,y的變化情況如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y

↗極大值28/3↘極小值-4/3↗因此,當(dāng)x=-2時(shí)有極大值,并且,y極大值=28/3;而,當(dāng)x=2時(shí)有極小值,并且,y極小值=-4/3..練習(xí)3，P3481，2，P3502，4.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（4）函數(shù)的最值.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：①:求y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值(極大值與極小值);②:將函數(shù)y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)作比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.

求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問(wèn)題,是一個(gè)局部概念,而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言,是在整體范圍內(nèi)討論問(wèn)題,是一個(gè)整體性的概念.(2)閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數(shù)的最值..例4:求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值.解:令,解得x=-1,0,1.當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13從上表可知,最大值是13,最小值是4..練習(xí):求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x+14在區(qū)間[-3,4]上的最大值和最小值.答案:最大值為f(4)=142,最小值為f(1)=7.練習(xí)4P3501，6，7，8，

.四、小結(jié)1.求在[a,b]上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的步驟:(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.2