高三數(shù)學(xué)1.2 簡易邏輯及充要條件

要點梳理1.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞（1）命題中的“___”、“___”、“___”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.§1.2簡易邏輯及充要條件基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)或且非.（2）用來判斷復(fù)合命題的真假的真值表：pq真真假假___真____假____假真假假真_______________真假假真真假___假_____真_____假假假真真假____真_____真____真真假真假真真假假真真假假.2.四種命題及其關(guān)系（1）四種命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題__________否命題___________逆否命題___________若q,則p.（2）四種命題間的逆否關(guān)系.(3)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們有_____的真假性;②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性___________.3.充分條件與必要條件(1)如果pq,則p是q的________,q是p的________;(2)如果pq,qp,則p是q的__________.相同沒有關(guān)系充分條件必要條件充要條件.基礎(chǔ)自測1.下列語句是命題的是（）①求證是無理數(shù)；②x2+4x+4≥0；③你是高一的學(xué)生嗎？④一個正數(shù)不是素數(shù)就是合數(shù)；⑤若x∈R，則x2+4x+7>0.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.③④⑤.解析①③不是命題，①是祈使句，③是疑問句.而②④⑤是命題，其中④是假命題，如正數(shù)既不是素數(shù)也不是合數(shù)，②⑤是真命題，x2+4x+4=(x+2)2≥0恒成立，x2+4x+7=(x+2)2+3>0恒成立.答案

C

.2.命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是（）A.“若x<y，則x2<y2”B.“若x>y,則x2>y2”C.“若x≤y，則x2≤y2”D.“若x≥y,則x2≥y2”C.3.(2009·江西文,1)下列命題是真命題的為（）A.B.若x2=1,則x=1C.若x=y,則

D.若x<y,則x2<y2

解析得x=y,A正確，B、C、D錯誤.A.4.如果命題“(p或q)”為假命題，則（）A.p,q均為真命題B.p,q均為假命題C.p,q中至少有一個為真命題D.p，q中至多有一個為真命題

解析由題意知p或q為真命題，∴p、q中至少有一個為真命題，故選C.C.5.(2009·四川文,7)已知a,b,c,d為實數(shù),且c>d,則“a>b”是“a-c>b-d”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析∵c>d,∴-c<-d,a>b,∴a-c與b-d的大小無法比較；當(dāng)a-c>b-d成立時，假設(shè)a≤b,-c<-d,∴a-c<b-d,與題設(shè)矛盾，∴a>b.綜上可知，“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充分條件.B.題型一命題的關(guān)系及命題真假的判斷【例1】分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.（1）面積相等的兩個三角形是全等三角形.（2）若q<1,則方程x2+2x+q=0有實根.（3）若x2+y2=0，則實數(shù)x、y全為零.→→題型分類深度剖析寫成“若p，則q”的形式寫出逆命題、否命題、逆否命題判斷真假思維啟迪.解（1）逆命題：全等三角形的面積相等,真命題.否命題：面積不相等的兩個三角形不是全等三角形，真命題.逆否命題：兩個不全等的三角形的面積不相等，假命題.(2)逆命題：若方程x2+2x+q=0有實根,則q<1,假命題.否命題：若q≥1,則方程x2+2x+q=0無實根，假命題.逆否命題:若方程x2+2x+q=0無實根,則q≥1,真命題..(3)逆命題:若實數(shù)x,y全為零,則x2+y2=0,真命題.否命題:若x2+y2≠0,則實數(shù)x,y不全為零,真命題.逆否命題:若實數(shù)x,y不全為零,則x2+y2≠0,真命題.(1)在寫一個命題的逆命題、否命題、逆否命題時，首先要看這個命題是否有大前提.若有大前提，必須保留其大前提，大前提不能動.（2）原命題和其逆否命題等價.探究提高.知能遷移1寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假.（1）若m,n都是奇數(shù)，則m+n是奇數(shù).（2）若x+y=5,則x=3且y=2.

解

（1）逆命題:“若m+n是奇數(shù)，則m,n都是奇數(shù)”，假命題.否命題：“若m、n不都是奇數(shù),則m+n不是奇數(shù)”,假命題.逆否命題：“若m+n不是奇數(shù),則m,n不都是奇數(shù)”,假命題.（2）逆命題：“若x=3且y=2，則x+y=5”,真命題.否命題：“若x+y≠5，則x≠3或y≠2”，真命題.逆否命題：“若x≠3或y≠2，則x+y≠5”,假命題..題型二充要條件的判斷【例2】指出下列命題中，p是q的什么條件（在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選出一種作答).(1)在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB;(2)對于實數(shù)x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B;(4)已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0，

q：(x-1)(y-2)=0.首先分清條件和結(jié)論，然后根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷.思維啟迪.解

（1）在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因為A與B不可能互補（因為三角形三個內(nèi)角和為180°),所以只有A=B.故p是q的充要條件.(2)易知,p:x+y=8,q:x=2且y=6,顯然qp,但p

q,即q是p的充分不必要條件,根據(jù)原命題和逆否命題的等價性知,p是q的充分不必要條件.(3)顯然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分條件.(4)條件p:x=1且y=2,條件q:x=1或y=2,所以pq但qp,故p是q的充分不必要條件..探究提高判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析:一是由條件p能否推得條件q,二是由條件q能否推得條件p.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題,除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題..知能遷移2

（2009·安徽理，4）下列選項中,p是

q的必要不充分條件的是（）A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>dB.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的圖象不過第二象限C.p:x=1，q:x2=xD.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在（0,+∞）上為增函數(shù).解析

a>b,c>da+c>b+d，而a+c>b+d卻不一定推出a>b,c>d.故A中p是q的必要不充分條件.B中,當(dāng)a>1,b>1時，函數(shù)f(x)=ax-b不過第二象限,當(dāng)f(x)=ax-b不過第二象限時，有a>1,b≥1.故B中p是q的充分不必要條件.C中，因為x=1時有x2=x，但x2=x時不一定有x=1，故C中p是q的充分不必要條件.D中p是q的充要條件.答案

A.題型三用“或”、“且”、“非”聯(lián)結(jié)簡單命題并判斷其真假【例3】寫出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”、“p”形式的復(fù)合命題，并判斷真假.（1）p:1是質(zhì)數(shù)；q：1是方程x2+2x-3=0的根；（2）p:平行四邊形的對角線相等；q：平行四邊形的對角線互相垂直；（3）p：0∈；q：{x|x2-3x-5<0}R；（4）p：5≤5；q：27不是質(zhì)數(shù).

(1)利用“或”、“且”、“非”把兩個命題聯(lián)結(jié)成新命題；(2)根據(jù)命題p和命題q的真假判斷復(fù)合命題的真假.思維啟迪.解（1）p為假命題，q為真命題.p或q:1是質(zhì)數(shù)或是方程x2+2x-3=0的根.真命題.p且q:1既是質(zhì)數(shù)又是方程x2+2x-3=0的根.假命題.

p:1不是質(zhì)數(shù).真命題.（2）p為假命題，q為假命題.p或q:平行四邊形的對角線相等或互相垂直.假命題.p且q:平行四邊形的對角線相等且互相垂直.假命題.

p:有些平行四邊形的對角線不相等.真命題.（3）∵0，∴p為假命題，.∴q為真命題.∴p或q：0∈或{x|x2-3x-5<0}

R,真命題，p且q：0∈且{x|x2-3x-5<0}

R,假命題，

p：0，真命題.(4)顯然p：5≤5為真命題，q：27不是質(zhì)數(shù)為真命題,∴p或q：5≤5或27不是質(zhì)數(shù)，真命題，p且q：5≤5且27不是質(zhì)數(shù)，真命題，

p：5>5，假命題.“p或q”、“p且q”、“p”形式命題真假的判斷步驟：（1）確定命題的構(gòu)成形式；（2）判斷其中命題p、q的真假；（3）確定“p或q”、“p且q”、“p”形式命題的真假.探究提高.知能遷移3寫出由下列各組命題構(gòu)成的“p且q”“p或q”“p”形式的復(fù)合命題，并判斷真假.(1)p:6<6,q:6=6.(2)p：函數(shù)y=x2+x+2的圖象與x軸沒有公共點.

q:方程x2+x+2=0沒有實根.

解（1）p且q：6<6且6=6，假命題.

p或q：6<6或6=6，真命題.

p：6≥6，真命題.（2）p且q：函數(shù)y=x2+x+2的圖象與x軸沒有公共點，且方程x2+x+2=0沒有實根，真命題.

p或q：函數(shù)y=x2+x+2的圖象與x軸沒有公共點，或方程x2+x+2=0沒有實根，真命題.

p：函數(shù)y=x2+x+2的圖象與x軸有公共點，假命題..題型四充要條件的證明【例4】（12分）求證方程ax2+2x+1=0有且只有一個負(fù)數(shù)根的充要條件為a≤0或a=1.（1）注意討論a的不同取值情況；（2）利用根的判別式求a的取值范圍.

解題示范證明充分性：當(dāng)a=0時，方程變?yōu)?x+1=0，其根為方程只有一負(fù)根.［2分］當(dāng)a=1時，方程為x2+2x+1=0，其根為x=-1,方程只有一負(fù)根.［4分］當(dāng)a<0時,Δ=4(1-a)>0，方程有兩個不相等的根，思維啟迪.證明充分性：當(dāng)a=0時，方程變?yōu)?x+1=0，其根為方程只有一負(fù)根.［2分］當(dāng)a=1時，方程為x2+2x+1=0，其根為x=-1,方程只有一負(fù)根.［4分］當(dāng)a<0時,Δ=4(1-a)>0，方程有兩個不相等的根，.且<0，方程有一正一負(fù)根.［6分］必要性：若方程ax2+2x+1=0有且僅有一負(fù)根.當(dāng)a=0時，適合條件.［8分］當(dāng)a≠0時，方程ax2+2x+1=0有實根，則Δ=4-4a≥0，∴a≤1，當(dāng)a=1時，方程有一負(fù)根x=-1.［10分］若方程有且僅有一負(fù)根，綜上方程ax2+2x+1=0有且僅有一負(fù)根的充要條件為a≤0或a=1.［12分］.探究提高（1）條件已知證明結(jié)論成立是充分性.結(jié)論已知推出條件成立是必要性；（2）證明分為兩個環(huán)節(jié)，一是充分性;二是必要性.證明時，不要認(rèn)為它是推理過程的“雙向書寫”,而應(yīng)該進(jìn)行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次證明；（3）證明時易出現(xiàn)必要性與充分性混淆的情形，這就要分清哪是條件，哪是結(jié)論..知能遷移4求證方程x2+ax+1=0的兩實根的平方和大于3的必要條件是|a|>這個條件是其充分條件嗎？為什么？

證明設(shè)x2+ax+1=0的兩實根為x1,x2,則平方和大于3的等價條件是∴|a|>這個條件是必要條件但不是充分條件..思想方法感悟提高1.當(dāng)一個命題有大前提而要寫出其它三種命題時,必須保留大前提，也就是大前提不動；對于由多個并列條件組成的命題，在寫其它三種命題時，應(yīng)把其中一個（或n個）作為大前提.2.數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題,但命題與定理是有區(qū)別的；命題有真假之分，而定理都是真的.方法與技巧.3.命題的充要關(guān)系的判斷方法(1)定義法：直接判斷若“p則q”，“若q則p”的真假.(2)等價法：即利用

的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題,一般運用等價法.(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷:若AB,則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B,則A是B的充要條件..4.一些常用正面敘述的詞語及它的否定詞語列表如下：正面詞語等于(=)大于(>)小于(<)是都是否定詞語不等于（≠）不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面詞語至多有一個至少有一個任意的所有的一定…否定詞語至少有兩個一個也沒有某個某些一定不…

.

1.否命題是既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論.要注意區(qū)別.2.判斷p與q之間的關(guān)系時,要注意p與q之間關(guān)系的方向性,充分條件與必要條件方向正好相反,不要混淆.3.p或q為真命題，只需p、q有一個為真即可，p且q為真命題，必須p、q同時為真.失誤與防范.

一、選擇題1.（2009·重慶文，2）命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是（）A.“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B.“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C.“若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D.“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”

B定時檢測.2.（2009·浙江理，2）已知a,b是實數(shù)，則“a>0且

b>0”是“a+b>0且ab>0”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析當(dāng)a>0且b>0時，一定有a+b>0且ab>0.反之，當(dāng)a+b>0且ab>0時，一定有a>0,b>0.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要條件.C.3.（2008·廣東文，8）命題“若函數(shù)f(x)=logax

(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則loga2<0”的逆否命題是()A.若loga2≥0，則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B.若loga2<0，則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)C.若loga2≥0，則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D.若loga2<0,則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù).解析由互為逆否命題的關(guān)系可知,原命題的逆否命題為：若loga2≥0，則函數(shù)f（x）=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù).答案

A.4.已知A={x||x-1|≥1,x∈R}，B={x|log2x>1,x∈R}，則x∈A是x∈B的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析

A={x|x≥2或x≤0}，B={x|x>2}，

x∈Ax∈B，但x∈Bx∈A.B.5.（2008·廣東理，6）已知命題p：所有有理數(shù)都是實數(shù)；命題q：正數(shù)的對數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是 （）A.（p）或qB.p且qC.(p)且(q)D.(p)或(q)

解析不難判斷命題p為真命題，命題q為假命題，從而上述敘述中只有（p）或(q)為真命題.D.6.（2009·北京文，6）的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析

這說明外還可以取其他的值.所以的充分而不必要條件.A.二、填空題7.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命題，則x

的取值范圍是______.

解析

x［2，5］且x{x|x<1或x>4}是真命題.由

得1≤x<2.[1,2).8.設(shè)p:|4x-3|≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充分不必要條件,則實數(shù)a的取值范圍是________.

解析

p:≤x≤1,q：a≤x≤a+1,易知p是q的真子集，.9.(2009·江蘇,12)設(shè)和為不重合的兩個平面，給出下列命題：①若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；②