高中數(shù)學(xué)高考52第八章 立體幾何與空間向量 8 8 立體幾何中的向量方法(二)-求空間角和距離

§8.8立體幾何中的向量方法(二)——求空間角和距離第八章立體幾何與空間向量NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)題型分類深度剖析課時(shí)作業(yè)1基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)PARTONE1.兩條異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則知識梳理ZHISHISHULI

l1與l2所成的角θa與b的夾角β范圍[0，π]求法cosθ＝_____2.直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝

.3.求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝

.(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝

，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).|cos〈n1，n2〉|1.利用空間向量如何求線段長度？【概念方法微思考】2.如何求空間點(diǎn)面之間的距離？題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(

)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(

)(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.(

)基礎(chǔ)自測JICHUZICE12345×××√(5)若二面角α－a－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量n1，n2所成角為θ，則二面角α－a－β的大小是π－θ.(

)12345×題組二教材改編2.[P104T2]已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為A.45° B.135°C.45°或135° D.90°12345∴兩平面所成二面角為45°或180°－45°＝135°.√1234512345∠C1AD為AC1與平面ABB1A1所成的角，123454.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為12345題組三易錯(cuò)自糾√12345解析以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BC＝CA＝CC1＝2，則可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，12345123455.已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝

，則l與α所成的角為_____.∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.30°2題型分類深度剖析PARTTWO題型一求異面直線所成的角師生共研例1

如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)證明：平面AEC⊥平面AFC；證明如圖所示，連接BD，設(shè)BD∩AC＝G，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB＝1.由∠ABC＝120°，由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.從而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，AC，F(xiàn)G?平面AFC，所以EG⊥平面AFC.因?yàn)镋G?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，則AM與BN所成角的余弦值為√解析如圖所示，取AC的中點(diǎn)D，以D為原點(diǎn)，BD，DC，DM所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，題型二求直線與平面所成的角例2

(2018·全國Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF.師生共研(1)證明：平面PEF⊥平面ABFD；證明由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF?平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.解如圖，作PH⊥EF，垂足為H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.設(shè)DP與平面ABFD所成的角為θ，思維升華(1)證明：PO⊥平面ABC；跟蹤訓(xùn)練2

(2018·全國Ⅱ)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝

，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn).證明因?yàn)镻A＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，如圖，連接OB.所以△ABC為等腰直角三角形，由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.因?yàn)镺P⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC?平面ABC，所以PO⊥平面ABC.(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M－PA－C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.解由(1)知OP，OB，OC兩兩垂直，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖所示.設(shè)平面PAM的法向量為n＝(x，y，z).題型三求二面角師生共研例3

(2018·達(dá)州模擬)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝2，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四邊形ACEF是菱形，∠CAF＝60°.(1)求證：BF⊥AE；∵BC＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，即BC⊥AC，又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面ACEF，而AE?平面ACEF，∴AE⊥BC，連接CF，∵四邊形ACEF為菱形，∴AE⊥FC，又∵BC∩CF＝C，BC，CF?平面BCF，∴AE⊥平面BCF，∵BF?平面BCF，∴BF⊥AE.(2)求二面角B－EF－D的平面角的正切值.解

取EF的中點(diǎn)M，連接MC，∵四邊形ACEF是菱形，且∠CAF＝60°，∴由平面幾何易知MC⊥AC，又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，CM?平面ACEF，∴MC⊥平面ABCD.設(shè)平面BEF和平面DEF的一個(gè)法向量分別為n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，不妨令b1＝3，則n1＝(0，3，2)，同理可求得n2＝(0，3，－1)，設(shè)二面角B－EF－D的大小為θ，由圖易知θ為銳角，思維升華利用向量法求二面角的大小的關(guān)鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：①求平面的垂線的方向向量；②利用法向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積為零，列方程組求解.(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；證明由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM?平面CMD，故BC⊥DM.所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，BC，CM?平面BMC，所以DM⊥平面BMC.又DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)當(dāng)三棱錐M－ABC體積最大時(shí)，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值.當(dāng)三棱錐M－ABC體積最大時(shí)，M為

的中點(diǎn).由題設(shè)得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，設(shè)n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，可取n＝(1，0，2)，例

(12分)如圖，四棱錐S－ABCD中，△ABD為正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CS＝2，∠BSD＝90°.答題模版DATIMUBAN利用空間向量求空間角(1)求證：AC⊥平面SBD；證明設(shè)AC∩BD＝O，連接SO，如圖①，因?yàn)锳B＝AD，CB＝CD，所以AC是BD的垂直平分線，即O為BD的中點(diǎn)，且AC⊥BD. [1分]在△BCD中，因?yàn)镃B＝CD＝2，∠BCD＝120°，在Rt△SBD中，因?yàn)椤螧SD＝90°，O為BD的中點(diǎn)，所以SO2＋CO2＝CS2，所以SO⊥AC. [4分]因?yàn)锽D∩SO＝O，BD，SO?平面SBD，所以AC⊥平面SBD. [5分](2)若SC⊥BD，求二面角A－SB－C的余弦值.解方法一過點(diǎn)O作OK⊥SB于點(diǎn)K，連接AK，CK，如圖②，由(1)知AC⊥平面SBD，所以AO⊥SB.因?yàn)镺K∩AO＝O，OK，AO?平面AOK，所以SB⊥平面AOK. [6分]因?yàn)锳K?平面AOK，所以AK⊥SB.同理可證CK⊥SB. [7分]所以∠AKC是二面角A－SB－C的平面角.因?yàn)镾C⊥BD，由(1)知AC⊥BD，且AC∩SC＝C，AC，SC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.而SO?平面SAC，所以SO⊥BD.方法二因?yàn)镾C⊥BD，由(1)知，AC⊥BD，且AC∩SC＝C，AC，SC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.而SO?平面SAC，所以SO⊥BD. [6分]由(1)知，AC⊥平面SBD，SO?平面SBD，所以SO⊥AC.因?yàn)锳C∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，所以SO⊥平面ABCD. [7分]設(shè)平面SAB的法向量n＝(x1，y1，z1)，因?yàn)槎娼茿－SB－C是鈍角，答題模板

利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)；第三步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)，并轉(zhuǎn)化為所求角.3課時(shí)作業(yè)PARTTHREE12345678910111213141516基礎(chǔ)保分練1.已知兩平面的法向量分別為m＝(1，－1，0)，n＝(0，1，－1)，則兩平面所成的二面角為A.60° B.120°C.60°或120° D.90°√即〈m，n〉＝120°.∴兩平面所成二面角為120°或180°－120°＝60°.123456789101112131415162.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為√12345678910111213141516解析設(shè)CA＝2，則C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為12345678910111213141516√12345678910111213141516解析以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長為1，設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1＝(1，y，z)，12345678910111213141516∴n1＝(1，2，2).∵平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝(0，0，1)，123456789101112131415164.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AC與B1D所成角的大小為√12345678910111213141516解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，則A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).123456789101112131415165.(2018·上饒模擬)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝AA1＝2，則異面直線AB1與CA1所成角的余弦值為√12345678910111213141516解析以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂線為x軸，以AC所在直線為y軸，以AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線AB1和A1C所成的角為θ，12345678910111213141516√12345678910111213141516由圖可知，二面角C－AB－O為銳角，123456789101112131415167.在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點(diǎn)，AB＝AC＝1，PA＝2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為_____.12345678910111213141516解析以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由AB＝AC＝1，PA＝2，設(shè)平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516取z＝1，則n＝(2，0，1)，設(shè)直線PA與平面DEF所成的角為θ，1234567891011121314151612345678910111213141516∴AE⊥ED，即AE，DE，EF兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝EF＝CD＝2，則E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(xiàn)(0，2，0)，C(0，2，1)，123456789101112131415169.如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是____.60°12345678910111213141516解析以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，BB1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB＝BC＝AA1＝2，則C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(xiàn)(0，0，1)，12345678910111213141516∵異面直線所成角的范圍是(0°，90°]，∴EF和BC1所成的角為60°.1234567891011121314151610.(2019·福州質(zhì)檢)已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值為_____.12345678910111213141516解析方法一延長FE，CB相交于點(diǎn)G，連接AG，如圖所示.設(shè)正方體的棱長為3，則GB＝BC＝3，作BH⊥AG于點(diǎn)H，連接EH，則∠EHB為所求銳二面角的平面角.12345678910111213141516方法二如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516令y＝1，z＝－3，x＝－1，則n＝(－1，1，－3)，取平面ABC的法向量為m＝(0，0，－1)，設(shè)平面AEF與平面ABC所成的銳二面角為θ，12345678910111213141516(1)證明：B1Q⊥A1C；12345678910111213141516證明如圖所示，連接AC1與A1C交于M點(diǎn)，連接MQ.∵四邊形A1ACC1是正方形，∴M是AC1的中點(diǎn)，又Q是A1B的中點(diǎn)，又∵B1C1∥BC且BC＝2B1C1，∴MQ∥B1C1，MQ＝B1C1，∴四邊形B1C1MQ是平行四邊形，∴B1Q∥C1M，∵C1M⊥A1C，∴B1Q⊥A1C.12345678910111213141516(2)求直線AC與平面A1BB1所成角的正弦值.12345678910111213141516解∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，CC1⊥AC，CC1?平面A1ACC1，∴CC1⊥平面ABC.如圖所示，以C為原點(diǎn)，CB，CC1所在直線分別為y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，令A(yù)C＝BC＝2B1C1＝2，12345678910111213141516設(shè)平面A1BB1的法向量為n＝(x，y，z)，設(shè)直線AC與平面A1BB1所成的角為α，12345678910111213141516(1)證明：平面BEF⊥平面PEC；12345678910111213141516證明在Rt△ABE中，由AB＝AE＝1，得∠AEB＝45°，同理在Rt△CDE中，由CD＝DE＝2，得∠DEC＝45°，所以∠BEC＝90°，即BE⊥EC.所以PE2＋AE2＝PA2，即PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BE.又因?yàn)镃E∩PE＝E，CE，PE?平面PEC，所以BE⊥平面PEC，所以平面BEF⊥平面PEC.12345678910111213141516(2)求二面角A－BF－C的余弦值.12345678910111213141516解由(1)知EB，EC，EP兩兩垂直，故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線EB，EC，EP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則12345678910111213141516設(shè)平面ABF的法向量為m＝(x1，y1，z1)，設(shè)平面BFC的法向量為n＝(x2，y2，z2)，12345678910111213141516記二面角A－BF－C為θ(由圖知應(yīng)為鈍角)，12345678910111213141516技能提升練12345678910111213141516解析因?yàn)镾A⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.∵AB＝4，SA＝3，∴B(0，4，0)，S(0，0，3).設(shè)BC＝m，則C(m，4，0)，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(1)證明：無論λ取何值，總有AM⊥平面PNQ；證明連接A1Q.12345678910111213141516∵AA1＝AC＝1，M，Q分別是CC1，AC的中點(diǎn)，∴Rt△AA1Q≌Rt△CAM，∴∠MAC＝∠QA1A，∴∠MAC＋∠AQA1＝∠QA1A＋∠AQA1＝90°，∴AM⊥A1Q.∵N，Q分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴NQ∥AB.又AB⊥AC，∴NQ⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∴NQ⊥AA1.又AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面ACC1A1，∴NQ⊥平面ACC1A1，∴NQ⊥AM.由NQ∥AB和AB∥A1B1可得NQ∥A1B1，∴N，Q，A1，P四點(diǎn)共面，∴A1Q?平面PNQ.∵NQ∩A1Q＝Q，NQ，A1Q?平面PNQ，∴AM⊥平面PNQ，∴無論λ取何值，總有AM⊥平面PNQ.12345678910111213141516(2)是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC的夾角為60°？若存在，試確定點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由.1234567891011121314151612345678910111213141516解如圖，