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導(dǎo)學(xué)案1勾股定理要點一、勾股定理直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2要點詮釋:(1)勾股定理適用前提是直角三角形理解勾股定理的一些變式:c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=(a+b)2-2ab應(yīng)用勾股定理時,注意確定那條是直角三角形的斜邊。在RT三角形中,斜邊未必一定是c,當(dāng)∠A=90°時,a是斜邊,a2=c2+b2;當(dāng)∠B=90°時,b是斜邊,b2=c2+a2。若沒有明確給出直角三角形的兩邊類型(直角邊還是斜邊),要分類討論,以免遺漏。經(jīng)典例題在Rt△ABC中,∠C=90°已知:a=6,b=8,求c。(2)已知:b=5,c=13,求a。(3)已知:a=8,c=17,求b。(4)已知a:b=3:4,c=10,求a。變式1.如圖∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,則AB的長是多少? 變式2.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,D是BC的中點,DE⊥BC,垂足為D,交AB于點E,連接CE,若AE=3,BE=5,則邊AC的長為()A.3 B.4 C.6 D.8能力提升:如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是中線,MN⊥AB,垂足為N,試說明.要點二、勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多,常見的是拼圖的方法,探索勾股定理時同一個圖形的面積用兩種方法表示是關(guān)鍵,由面積之間的等量關(guān)系,結(jié)合圖形進(jìn)行代數(shù)變形可推導(dǎo)出勾股定理。例2.在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為3cm,4cm,則斜邊長為。變式1:已知直角三角形的兩邊長為3、4,則另一條邊長的平方是。變式2:如圖,“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形構(gòu)成的大正方形,若直角三角形的兩邊長分別為3和5,則小正方形的面積為。例3.直角三角形兩直角邊長分別為5和12,則它斜邊上的高為__________。變式:如圖所示,△ABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm,AD是底邊上的高,求①AD的長;②ΔABC的面積.例4.如圖,三個正方形中的兩個的面積S1=25,S2=144,則另一個的面積S3為________變式:如右下圖所示的圖形中,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的邊長為5,則正方形A,B,C,D的面積的和為第4題圖S第4題圖S1S2S3能力提升:如圖,以直角三角形a、b、c為邊,向外作等邊三角形,半圓,等腰直角三角形和正方形,上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2=S3圖形個數(shù)有()A.1 B.2 C.3 D.4要點三、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形,且最長邊c所對的角是直角∠C=90°。要點詮釋:(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形。(2)勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”,是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形。(3)c未必是最長邊,如果a2=b2+c2,那么這個三角形是直角三角形,且∠A=90°。要點四、勾股數(shù)我國古代把直角三角形中較短直角邊稱為勾,較長直角邊稱為股,斜邊稱為弦。滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù)。要點詮釋:(1)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度,如(3、4、5)(6、8、10)(15、20、25)(5、12、13)(7、24、25)(8、15、17)(9、40、41)(12、35、37)等。(2)勾股數(shù)擴大縮小相同的倍數(shù)仍滿足勾股定理。經(jīng)典例題1.有五組數(shù):①25,7,24;②16,20,12;③9,40,41;④4,6,8;⑤32,42,52,以各組數(shù)為邊長,能組成直角三角形的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.42.△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別記為a,b,c,由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是()∠A+∠B=∠CB.∠A:∠B:∠C=3:2:5C.a2=c2?b2D.a:b:c=3:4:63.下列說法正確的有()①△ABC是直角三角形,∠C=90°,則a2+b2=c2②△ABC中,a2+b2≠c2,則△ABC不是直角三角形③若△ABC中,a2-b2=c2,則△ABC是直角三角形④若△ABC是直角三角形,則(a+b)(a-b)=c2。4個B.3個C.2個D.1個4一個三角形的三邊的比是3:4:5,它的周長是36,則它的面積是______5.如圖,在四邊形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°,則∠A+∠C=度。6.小明畫了一個如圖所示的四邊形,其中AB=4,BC=12,CD=13,DA=3,∠A=,你能求出四邊形ABCD的面積嗎?能力提升7.直角三角形中兩個直角邊為a,b,斜邊為c,斜邊上的高為h,證明c+h,a+b,h為三邊構(gòu)成的三角形是直角三角形。要點五、勾股定理的簡單應(yīng)用1.一根長18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中,牙刷露在杯子外面的長度為hcm,則h的取值范圍是。2.如圖,一油桶高0.8m,桶內(nèi)有油,一根木棒長1m,從桶蓋小口斜插入桶內(nèi),一端到桶底,另一端到小口,拍出木棒,量得棒上沒油部分長0.8m,則桶內(nèi)油的高度為
A.0.28m
B.0.64m
C.0.58m
D.0.32m3.如圖,盒內(nèi)長、寬、高分別是6cm、3cm、2cm,盒內(nèi)可放木棒最長的長度是()A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm第1題圖第2題圖第3題圖4.我國古代算書《九章算術(shù)》中第九章第六題是:今有池方一丈(一丈為10尺),葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深葭長各幾何?你讀懂題意了嗎?請回答水深______尺,葭長_____尺.解:根據(jù)題意,設(shè)水深OB=x尺,則葭長OA'=(x+1)尺.可列方程正確的是()
A.x2+52
=(x+1)2B.x2+52
=(x﹣1)2C.x2+(x+1)2
=102D.x2+(x﹣1)2=52老師準(zhǔn)備測量一段河水的深度,他把一根竹竿插到離岸邊1.5m遠(yuǎn)的水底,竹竿露出水面的部分剛好0.5m,把竹竿的頂端拉向岸邊,竿頂和岸邊的水而剛好相齊,請你幫老師計算河水的深度是多少米?第4題圖第5題圖鞏固練習(xí)1.如圖,直線l上有三個正方形a,b,c,若a,c的面積分別為3和4,則b的面積為()A.3B.4C.5D.72.若將直角三角形的兩直角邊同時擴大2倍,則斜邊擴大為原來的()A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.5倍3.在直角三角形中,若兩邊的長分別為4cm,5cm,則第三邊的平方為.4.一個三角形的三邊的比是3:4:5,它的周長是36,則它的面積是.5.直角三角形兩直角邊長分別為5和12,則它斜邊上的高為.6.如圖,AD=13,BD=12,∠C=90°,AC=3,BC=4.則陰影部分的面積等于.S1SS1S2S36題圖
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