北師大版八年級(jí)上冊(cè)第一章勾股定理　導(dǎo)學(xué)案（無答案）

導(dǎo)學(xué)案1勾股定理要點(diǎn)一、勾股定理直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2＝c2要點(diǎn)詮釋：(1)勾股定理適用前提是直角三角形理解勾股定理的一些變式：c2=a2+b2，a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab應(yīng)用勾股定理時(shí)，注意確定那條是直角三角形的斜邊。在RT三角形中，斜邊未必一定是c，當(dāng)∠A=90°時(shí)，a是斜邊，a2=c2+b2；當(dāng)∠B=90°時(shí)，b是斜邊，b2=c2+a2。若沒有明確給出直角三角形的兩邊類型（直角邊還是斜邊），要分類討論，以免遺漏。經(jīng)典例題在Rt△ABC中，∠C=90°已知：a=6，b=8，求c。（2）已知：b=5，c=13，求a。（3）已知：a=8，c=17，求b。（4）已知a：b=3：4，c=10，求a。變式1.如圖∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，則AB的長(zhǎng)是多少? 變式2．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，連接CE，若AE＝3，BE＝5，則邊AC的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．6 D．8能力提升：如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中線，MN⊥AB，垂足為N，試說明．要點(diǎn)二、勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法，探索勾股定理時(shí)同一個(gè)圖形的面積用兩種方法表示是關(guān)鍵，由面積之間的等量關(guān)系，結(jié)合圖形進(jìn)行代數(shù)變形可推導(dǎo)出勾股定理。例2.在直角三角形中，若兩直角邊的長(zhǎng)分別為3cm，4cm，則斜邊長(zhǎng)為。變式1：已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3、4，則另一條邊長(zhǎng)的平方是。變式2：如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形構(gòu)成的大正方形，若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則小正方形的面積為。例3.直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則它斜邊上的高為__________。變式：如圖所示，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD是底邊上的高，求①AD的長(zhǎng)；②ΔABC的面積．例4.如圖，三個(gè)正方形中的兩個(gè)的面積S1＝25，S2＝144，則另一個(gè)的面積S3為________變式：如右下圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為5，則正方形A，B，C，D的面積的和為第4題圖S第4題圖S1S2S3能力提升:如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3圖形個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4要點(diǎn)三、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且最長(zhǎng)邊c所對(duì)的角是直角∠C=90°。要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形。（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形。（3）c未必是最長(zhǎng)邊，如果a2=b2+c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且∠A=90°。要點(diǎn)四、勾股數(shù)我國(guó)古代把直角三角形中較短直角邊稱為勾，較長(zhǎng)直角邊稱為股，斜邊稱為弦。滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。要點(diǎn)詮釋：（1）記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如（3、4、5）（6、8、10）（15、20、25）（5、12、13）（7、24、25）（8、15、17）（9、40、41）（12、35、37）等。（2）勾股數(shù)擴(kuò)大縮小相同的倍數(shù)仍滿足勾股定理。經(jīng)典例題1.有五組數(shù)：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32，42，52，以各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42.△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=3：2：5C.a2=c2?b2D.a：b：c=3：4：63.下列說法正確的有（）①△ABC是直角三角形，∠C=90°，則a2+b2=c2②△ABC中，a2+b2≠c2，則△ABC不是直角三角形③若△ABC中，a2-b2=c2，則△ABC是直角三角形④若△ABC是直角三角形，則(a+b)(a-b)=c2。4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)4一個(gè)三角形的三邊的比是3：4：5，它的周長(zhǎng)是36，則它的面積是______5.如圖，在四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，則∠A+∠C=度。6.小明畫了一個(gè)如圖所示的四邊形，其中AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，∠A=，你能求出四邊形ABCD的面積嗎？能力提升7.直角三角形中兩個(gè)直角邊為a，b，斜邊為c，斜邊上的高為h，證明c+h，a+b，h為三邊構(gòu)成的三角形是直角三角形。要點(diǎn)五、勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用1．一根長(zhǎng)18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長(zhǎng)度為hcm，則h的取值范圍是。2．如圖，一油桶高0.8m，桶內(nèi)有油，一根木棒長(zhǎng)1m，從桶蓋小口斜插入桶內(nèi)，一端到桶底，另一端到小口，拍出木棒，量得棒上沒油部分長(zhǎng)0.8m，則桶內(nèi)油的高度為

A.0.28m

B.0.64m

C.0.58m

D.0.32m3．如圖，盒內(nèi)長(zhǎng)、寬、高分別是6cm、3cm、2cm，盒內(nèi)可放木棒最長(zhǎng)的長(zhǎng)度是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm第1題圖第2題圖第3題圖4.我國(guó)古代算書《九章算術(shù)》中第九章第六題是：今有池方一丈(一丈為10尺)，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深葭長(zhǎng)各幾何？你讀懂題意了嗎？請(qǐng)回答水深______尺，葭長(zhǎng)_____尺．解：根據(jù)題意，設(shè)水深OB＝x尺，則葭長(zhǎng)OA'＝（x+1）尺．可列方程正確的是（）

A．x2+52

＝（x+1）2B．x2+52

＝（x﹣1）2C．x2+（x+1）2

＝102D．x2+（x﹣1）2＝52老師準(zhǔn)備測(cè)量一段河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊1.5m遠(yuǎn)的水底，竹竿露出水面的部分剛好0.5m，把竹竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊的水而剛好相齊，請(qǐng)你幫老師計(jì)算河水的深度是多少米？第4題圖第5題圖鞏固練習(xí)1.如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為3和4，則b的面積為（）A.3B.4C.5D.72.若將直角三角形的兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大2倍，則斜邊擴(kuò)大為原來的（）A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍3.在直角三角形中，若兩邊的長(zhǎng)分別為4cm，5cm，則第三邊的平方為.4.一個(gè)三角形的三邊的比是3：4：5，它的周長(zhǎng)是36，則它的面積是.5.直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則它斜邊上的高為.6.如圖，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4．則陰影部分的面積等于.S1SS1S2S36題圖