利用正余弦定理解三角形題型全歸納-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

利用正余弦定理解三角形題型全歸納題型一、利用正、余弦定理求邊長(zhǎng)例題1、（2021?迎江區(qū)校級(jí)三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，且b≠c，若sinB＝2sinA．（1）求b的值；【解答】（1）因?yàn)閟inB＝2sinA，由正弦定理知，所以b＝2a，由余弦定理知，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得2a2﹣7a+6＝0，解得a＝2或，當(dāng)時(shí)，b＝2a＝3＝c，與題意矛盾；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝2a＝4≠c，符合題意，∴b＝4．【解題技法】1、必備公式：正弦定理、余弦定理公式、三角函數(shù)和差角公式；2、題型要求：在等式條件中，等號(hào)兩邊的每一項(xiàng)都存在角的正弦值、邊或邊與正弦值的積的形式；3、利用“邊化角”，即把a(bǔ),b,c化為sinA,sinB,sinC的形式，或者利用“角化邊”即把sinA,sinB,sinC化為a,b,c的形式。然后再考慮用余弦定理、三角形面積公式、或者三角函數(shù)和差角公式求解即可。變式訓(xùn)練1、（2021?和平區(qū)模擬）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若bsinA＝2csinB，且b＝3，．（1）求a的長(zhǎng)；【解答】（1）由正弦定理，及bsinA＝2csinB，可得ab＝2bc，即a＝2c．由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，∴9＝a2+a2﹣a2×，解得a＝3．變式訓(xùn)練2、（2021?上饒三模）已知在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且＝．（1）求b的值；【解答】（1）因?yàn)椋?，所以利用余弦定理可?＝，整理可得＝，所以解得b＝．變式訓(xùn)練3、（2021?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知（﹣cosA）c＝acosC．（1）求；【解答】（1）因?yàn)椋ī乧osA）c＝acosC，所以由正弦定理可得sinC﹣cosAsinC＝sinAcosC，即sinC＝sinCcosA+sinAcosC＝sin（A+C），而sin（A+C）＝sinB，所以c＝b，故＝．變式訓(xùn)練4、（2021?泰安模擬）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知asinB＝（bsinB﹣bcosB）cosC，b＝3，B≠．（1）若a＝5，求c；【解答】（1）因?yàn)閍sinB＝（bsinB﹣bcosB）cosC，所以sinAsinB＝（sinBsinB﹣sinBcosB）cosC，因?yàn)閟inB≠0，所以sinA＝（sinB﹣cosB）cosC，所以sinBcosC+cosBsinC＝sinBcosC﹣cosBcosC，整理可得cosB（sinC+cosC）＝0，因?yàn)锽≠，所以cosB≠0，可得tanC＝﹣，可得C＝，由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得c2＝25+9﹣2×＝49，所以c＝7．題型二、利用正、余弦定理求角度例題2、（2021?四川模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（2b+c）cosA+acosC＝0．（1）求角A的大??；【解答】（1）由（2b+c）cosA+acosC＝0，根據(jù)正弦定理有（2sinB+sinC）cosA+sinAcosC＝0．所以2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC＝0，所以2sinBcosA+sin（C+A）＝0，即2sinBcosA+sinB＝0．因?yàn)?＜B＜π，所以sinB≠0，所以，因?yàn)?＜A＜π，所以．【解題技法】在解三角形中，常用公式：sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC；第一步：先考慮用正弦定理，嘗試“角化邊”或者“邊化角”；第二步：再考慮用余弦定理，注意能化為整式計(jì)算的盡量化為整式計(jì)算；第三步：當(dāng)心“符號(hào)”，內(nèi)角為鈍角時(shí)，余弦值為負(fù)，內(nèi)角為銳角時(shí)，余弦值為正，變式訓(xùn)練1、（2021?孟津縣校級(jí)模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足2acosA＝bcosC+ccosB．（1）求A；【解答】（1）由2acosA＝bcosC+ccosB得2sinAcosA＝sinBcosC+sinCcosB，即2sinAcosA＝sin（B+C）＝sinA，所以cosA＝，即A＝；變式訓(xùn)練2、（2021?麒麟?yún)^(qū)校級(jí)模擬）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．（1）求A；【解答】（1）cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0，可得cosA（sinCcosB+sinBcosC）+sin2A＝0，即cosAsin（B+C）+sin2A＝0，即cosAsinA+sin2A＝0，因?yàn)閟inA≠0，所以cosA＝﹣sinA，即tanA＝﹣，因?yàn)锳∈（0，π），所以A＝．變式訓(xùn)練3、（2021?拉薩二模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足cosC＝．（1）求角B；【解答】（1）∵，∴2bcosC＝2a﹣C，由正弦定理可得，2sinBcosC＝2sinA﹣sinC，即2sinBcosC＝2sin（B+C）﹣sinC，化簡(jiǎn)可得，sinC＝2sinCcosB，又∵sinC≠0，∴cosB＝，∵B∈（0，π），∴．變式訓(xùn)練4、（2021?新疆模擬）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求角C的大??；【解答】（1）由正弦定理得，即，又0°＜C＜180°，所以C＝30°．題型三、結(jié)合二倍角公式解三角形例題3、（2021?上饒模擬）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c且滿足cos2A﹣5cos（B+C）﹣2＝0．（1）求角A的大?。窘獯稹浚?）因?yàn)閏os2A﹣5cos（B+C）﹣2＝0，所以2cos2A﹣1﹣5（﹣cosA）﹣2＝0，整理可得2cos2A+5cosA﹣3＝0，所以解得cosA＝，或﹣3（舍去），因?yàn)锳∈（0，π），所以A＝．【解題技法】1、必備公式：三角函數(shù)二倍角公式（升冪公式）2、題型要求：條件中有sin2A或者cos2A類型的條件，先考慮用二倍角公式化簡(jiǎn)；第一步：把條件中的sin2A或者cos2A用公式展開，再合并化簡(jiǎn)；第二步：若化簡(jiǎn)后，存在一個(gè)未知值且有二次項(xiàng)，則作為一元二次方程求解；第三步：若化簡(jiǎn)后，存在兩個(gè)未知值，則求其化值另作它用。變式訓(xùn)練1、（2021?香洲區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知6sinCcosA＝7sin2A，且5a＝3b．（1）求C；【解答】（1）∵6sinCcosA＝7sin2A，得6sinCcosA＝14sinAcosA，∴cosA＝0或3sinC＝7sinA，∵5a＝3b，∴a＜b，所以A≠90°，cosA≠0，∴3sinC＝7sinA，所以，又∵5a＝3b，得，代入，得，因?yàn)?°＜C＜180°，所以C＝120°．變式訓(xùn)練2、（2021?江西模擬）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cos2A＝1+3cos（B+C）．（1）求角A的值；【解答】（1）∵cos2A＝1+3cos（B+C），又∵cos2A＝2cos2A﹣1，cos（B+C）＝﹣cosA，∴2cos2A+3cosA﹣2＝0，即（cosA+2）（2cosA﹣1）＝0，∴，．變式訓(xùn)練3、（2021?九江三模）△ABC中，三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，A為銳角．（1）求A的大??；【解答】（1）因?yàn)椋傻?sin2＝?，所以2sincos＝sinA＝，因?yàn)锳為銳角，所以A＝．例題4、（2021?雞冠區(qū)校級(jí)三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊依次為a，b，c，．（1）求角C；【解答】（1）因?yàn)?，所以sin2（）﹣cos2C＝，所以cos2﹣cos2C＝，所以﹣cos2C＝，即cosC＝2cos2C，所以cosC＝0，或cosC＝，因?yàn)镃∈（0，π），所以C＝，或．【解題技法】第一步：利用二倍角公式進(jìn)行降冪化簡(jiǎn)；第二步：若存在邊角形式，可以考慮正弦定理與余弦定理；第三步：在化簡(jiǎn)過(guò)程中遵守未知量宜少不宜多，遇切化弦，遇角判斷符號(hào)。變式訓(xùn)練1、（2021?金華模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a且．（1）求角C的大??；【解答】（1）∵，在△ABC中，A+B+C＝π，∴2cos2＝sinC+1，∴cosC＝sinC，∴tanC＝∵C∈（0，π），∴C＝．變式訓(xùn)練2、（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ccos2+bsin2＝．（1）求C；【解答】（1）∵ccos2+bsin2＝，∴c+b＝，即ccosB+b（1﹣cosC）＝a，由正弦定理可得sinCcosB+sinB（1﹣cosC）＝sinA＝sinBcosC+cosBsinC，化簡(jiǎn)可得sinB＝2sinBcosC，又B∈（0，π），sinB≠0，則cosC＝，故C＝．變式訓(xùn)練3、（2021?全國(guó)Ⅱ卷模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知3cosC＝2cos2．（1）求sinC；【解答】（1）∵3cosC＝2cos2．又∵2cos2＝1+cosC，∴3cosC＝1+cosC，∴，∵C∈（0，π），∴．變式訓(xùn)練4、（2021?聊城三模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，（1）求角B的大??；【解答】（1）∵A+B+C＝π，∴，由，得，即10×＝7﹣（2cos2B﹣1），化簡(jiǎn)得2cos2B+5cosB﹣3＝0，解得或cosB＝﹣3（舍），∵0＜B＜π，∴．變式訓(xùn)練5、（2021?煙臺(tái)三模）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且滿足．（1）求A；【解答】（1）因?yàn)?，所?（1+cosA）﹣cos2(π﹣A)＝,即2cosA+1﹣(2cos2A﹣1)＝,整理可得：4cos2A﹣4cosA+3＝0,解得：cosA＝或cosA＝﹣3(舍），在△ABC中可得A＝；變式訓(xùn)練6、（2021春?安徽期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．且．（1）求角A的大小；【解答】（1）因?yàn)椋?a?，整理可得2b+c＝2acosC，所以2b+c＝2a?，整理可得b2+c2﹣a2＝﹣bc，所以cosA＝＝＝﹣，因?yàn)锳∈（0，π），所以A＝．變式訓(xùn)練7、（2017?新課標(biāo)Ⅱ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cosB；【解答】（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sinB＝4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，∴cosB＝；變式訓(xùn)練8、（2020?新課標(biāo)Ⅱ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2（+A）+cosA＝．（1）求A；【解答】（1）∵cos2（+A）+cosA＝sin2A+cosA＝1﹣cos2A+cosA＝，∴cos2A﹣cosA+＝0，解得cosA＝，∵A∈（0，π），∴A＝；題型四、平面四邊形類型例題5、（2021?蘇州模擬）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°．∠CBD＝30°，（1）求三角形ABD的面積；【解答】（1）因?yàn)锽C＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°，∠CBD＝30°，可得∠BDC＝90°，∠ABD＝60°，∠BDA＝45°，在△BCD中，由正弦定理＝，可得＝，可得BD＝，在△ABD中，由正弦定理＝，可得＝，可得AB＝＝，所以S△ABD＝AB?BD?sin∠ABD＝××＝．【解題技法】第一步：在平面四邊形中，尋找三角形，把已知條件標(biāo)在各個(gè)三角形中；第二步：利用三角形內(nèi)角和定理、外角和定理、三角形邊角關(guān)系（直角三角形邊勾股定理、特殊三角形的邊比例關(guān)系）求出邊或角；第三步：在各個(gè)三角形中利用正弦定理求解，有未知量的設(shè)出未知數(shù)。變式訓(xùn)練1、（2018?新課標(biāo)Ⅰ）在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；【解答】（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．變式訓(xùn)練2、（2021?新高考Ⅰ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知b2＝ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC．（1）證明：BD＝b；【解答】（1）證明：由正弦定理知，，∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，∵b2＝ac，∴b?2Rsin∠ABC＝a?2Rsin∠ACB，即bsin∠ABC＝asinC，∵BDsin∠ABC＝asinC，∴BD＝b；變式訓(xùn)練3、（2021?洛陽(yáng)模擬）在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AD＝2，BD＝4．（1）求cos∠ABD；【解答】（1）在△ABD中，由正弦定理可得，∵∠A＝60°，AD＝2，BD＝4，∴，∵BD＞AD，∴∠ABD＜60°，∴＝．變式訓(xùn)練4、（2021?諸暨市模擬）如圖，已知平面四邊形ABCD中，AB＝CD＝1．，，（1）求△ABD的面積；【解答】（1）由已知利用正弦定理可得，∴，∴，例題6、（2021?遼寧模擬）如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AB＝4，AD＝，AC＝6．（1）求△ABC的面積；【解答】（1）設(shè)BD＝CD＝x，在△ABD中，利用余弦定理，在△ACD中，利用余弦定理，所以，cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，整理得，解得x＝4或﹣4（舍去），故cosC＝，所以，故．【解題技法】第一步：多審題，熟條件；第二步：標(biāo)條件，找三角形；第三步：在三角形內(nèi)利用余弦定理求解；第四步：根據(jù)題意判斷取值。變式訓(xùn)練1、（2021春?孝感期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠DAB＝∠CBD＝90°，．BD＝2AB＝2，（1）求AC的長(zhǎng)；【解答】（1）因?yàn)锽D＝2，AB＝1，∠DAB＝90°可得cos∠ABD＝＝，可得∠ABD＝60°，又∠CBD＝90°，可得∠ABC＝60°+90°＝150°，在△ABC中，由余弦定理得：則AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC＝1+3﹣2×（﹣）＝7，所以AC＝；變式訓(xùn)練2、（2021?浙江模擬）如圖，在△ABC中，AB＝6，，點(diǎn)D在BC邊上，AD＝4，∠ADB為銳角．，（1）求DC；【解答】（1）在△ABD中，由余弦定理，∴BD＝5或BD＝4．當(dāng)BD＝4時(shí)，，則，不合題意，舍去；當(dāng)BD＝5時(shí)，，則，符合題意．∴BD＝5．在△ABC中，，∴BC＝12或BC＝﹣3（舍）．∴DC＝BC﹣BD＝7．變式訓(xùn)練3、（2021?河南