概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第七章 假設(shè)檢驗

第七章假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗的基本概念正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗非參數(shù)假設(shè)檢驗7.1假設(shè)檢驗的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的主要任務(wù)是從樣本出發(fā)，對總體的分布作出推斷。作推斷的方法，主要有兩種，一種是上一章講的參數(shù)估計，另一種是假設(shè)檢驗。例7.1某廠生產(chǎn)合金鋼，其抗拉強度X(單位：kg/mm2)可以認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。據(jù)廠方說，抗拉強度的平均值μ=48?，F(xiàn)抽查5件樣品，測得抗拉強度為46.845.048.345.144.7問廠方的說法是否可信？這相當(dāng)于先提出了一個假設(shè)H0：μ=48，然后要求從樣本觀測值出發(fā)，檢驗它是否成立。例7.2為了研究飲酒對工作能力的影響，任選19名工人分成兩組，一組工人工作前飲一杯酒，一組工人工作前不飲酒，讓他們每人做一件同樣的工作，測得他們的完工時間(單位：分鐘)如下：飲酒者30465134484539615867未飲酒者282255453935423820問飲酒對工作能力是否由顯著的影響？兩組工人完成工作的時間，可以分別看作是兩個服從正態(tài)分布的總體X~N(μ1,σ12)和Y~N(μ2,σ22)，如果飲酒對工作能力沒有影響，兩個總體的均值應(yīng)該相等。所以問題相當(dāng)于要求我們根據(jù)實際測得的樣本數(shù)據(jù)，檢驗假設(shè)H0：μ1=μ2是否成立。例7.3某班學(xué)生的一次考試成績?yōu)閤1,x2,…,xn，問學(xué)生的考試成績X是否服從正態(tài)分布？學(xué)生的考試成績可以看作是總體X的樣本觀察值，該例題相當(dāng)于提出這樣一個問題H0：X~N(μ,σ2)然后要求從樣本出發(fā)，檢驗它是否成立。例7.1-7.3有一個共同的特點，就是先提出一個假設(shè)，然后要求從樣本出發(fā)檢驗它是否成立。我們稱這樣的問題為假設(shè)檢驗問題。在假設(shè)檢驗中，提出要求檢驗的假設(shè)，稱為原假設(shè)或零假設(shè)，記為H0，原假設(shè)如果不成立，就要接受另一個假設(shè)，這另一個假設(shè)稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)，記為H1。例7.1中，原假設(shè)是H0：μ=48，備擇假設(shè)H1：μ≠48，例7.2中，H0：μ1=μ2，H1：μ1≠

μ2例7.3中，H0：X~N(μ,σ2)，H1：X不服從正態(tài)分布問題：設(shè)總體X~N(μ,σ2)，已知其中σ=σ0，(X1,X2,…,Xn)是X的樣本，要檢驗H0：μ=μ0，(μ0是一個已知常數(shù))，H1：μ≠

μ01、檢驗方法：總體X~N(μ,σ2)，要檢驗μ是否為μ0，而μ是未知的。我們知道μ的無偏估計是，的大小在一定程度上反映了μ的大小，因此，當(dāng)H0為真時，樣本均值即μ=μ0時，的觀察值與μ0的偏差一般不應(yīng)太大。如果我們就應(yīng)懷疑假設(shè)H0的正確性并拒絕H0，而可歸結(jié)為統(tǒng)計量的大小。當(dāng)H0為真時，統(tǒng)計量過分大，的大小，由此，我們可選定一正數(shù)k，使得當(dāng)時，就拒絕H0，時，則接受H0。稱使成立的樣本值(x1,x2,…,xn)為檢驗的拒絕域，記為W1。稱使成立的樣本值(x1,x2,…,xn)為檢驗的接受域，記為W0。2、檢驗的兩類錯誤當(dāng)H0為真時，作出拒絕H0的判斷，稱這類錯誤為第一類錯誤或棄真錯誤；當(dāng)H0不真時，作出接受H0的判斷，稱這類錯誤為第二類錯誤或取偽錯誤。記α=P{拒絕H0|

H0真}；β=P{接受H0|

H0假}對于給定的一對H0和H1，總可找出許多臨界域W，人們自然希望找到這種臨界域W，使得犯兩類錯誤的概率都很小。奈曼—皮爾遜(Neyman—Pearson)提出了一個原則：“在控制犯第一類錯誤的概率不超過指定值的條件下，盡量使犯第二類錯誤小”，按這種法則做出的檢驗稱為“顯著性檢驗”，稱為顯著性水平或檢驗水平。3、假設(shè)檢驗的步驟(1)提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1；(2)選取合適的統(tǒng)計量(檢驗統(tǒng)計量），當(dāng)H0為真時，其分布是確定的；(3)對給定的顯著性水平α，查分布表，求出臨界值，用它來劃分拒絕域W1和接受域W0；(4)由樣本觀察值計算檢驗統(tǒng)計量的值；(5)由統(tǒng)計量的觀察值，作出拒絕還是接受H0的判斷。Chapter7-1P1889正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗7.2單個正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗對于一個正態(tài)總體均值的檢驗，常見的有以下三種類型：(1)H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0；(2)H0：

，H1：μ>μ0；(3)H0：，H1：μ<μ0；雙邊假設(shè)檢驗單邊假設(shè)檢驗1、總體方差σ2已知，正態(tài)總體的均值檢驗構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量當(dāng)μ=μ0時，統(tǒng)計量U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。對于給定的顯著性水平α，有(1)H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0；檢驗規(guī)則為當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0(2)H0：

,H1：μ>μ0；檢驗規(guī)則為當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0(3)H0：,H1：μ<μ0；檢驗規(guī)則為當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0例7.4設(shè)某產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，已知它的標(biāo)準(zhǔn)差σ=150，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機地抽取26個，測得該項指標(biāo)的平均值為1637。問能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的該項指標(biāo)值為1600(α=0.05)？解(1)提出原假設(shè)：H0：μ=1600，H1：μ≠1600；(2)選取統(tǒng)計量(3)對于給定的顯著性水平α=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(4)計算統(tǒng)計量觀察值(5)結(jié)論接受原假設(shè)H0即不能否定這批產(chǎn)品該項指標(biāo)為1600。

例7.5完成生產(chǎn)線上某件工作的平均時間不少于15.5分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為3分鐘。對隨機抽取的9名職工講授一種新方法，訓(xùn)練期結(jié)束后，9名職工完成此項工作的平均時間為13.5分鐘。這個結(jié)果是否說明用新方法所需時間比用老方法所需時間短？設(shè)α=0.05，并假定完成這件工作的時間服從正態(tài)分布。解（單邊檢驗問題）提出原假設(shè)H0：μ

15.5，H1：μ<15.5；選取統(tǒng)計量查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表對于給定的顯著性水平α=0.05，已知n=9，σ=3，計算統(tǒng)計量觀察值由于所以拒絕原假設(shè)H0，而接受H1，即說明用新方法所需時間比用老方法所需時間短。

2、總體方差σ2未知，正態(tài)總體的均值檢驗由于總體方差σ2未知，故選取統(tǒng)計量當(dāng)μ=μ0時，統(tǒng)計量T服從自由度為n-1的t分布。對于給定的顯著性水平α，有(1)H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0；檢驗規(guī)則為當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0(2)H0：

,H1：μ>μ0；檢驗規(guī)則為(3)H0：,H1：μ<μ0；檢驗規(guī)則為例7.6某地區(qū)青少年犯罪年齡構(gòu)成服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機抽取9名罪犯，其年齡如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24試以95%的概率判斷犯罪青少年的平均年齡是否為18歲。解提出原假設(shè)：H0：μ=18，H1：μ≠18；選取統(tǒng)計量對于給定的顯著性水平α=0.05，查t分布表得由題意，計算得到樣本均值和樣本方差分別為計算統(tǒng)計量觀察值由于所以拒絕原假設(shè)H0，而接受H1，即能以95%的把握推斷該地區(qū)青少年犯罪的平均年齡不是18歲。

例7.7食品罐頭的細(xì)菌含量按規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)必須小于等于62.0，現(xiàn)從一批罐頭中抽取9個，檢驗其細(xì)菌含量，經(jīng)計算得樣本均值為62.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.3。問這批罐頭的質(zhì)量是否完全符合標(biāo)準(zhǔn)(α=0.05)？（設(shè)罐頭的細(xì)菌含量服從正態(tài)分布）

解由題意建立假設(shè)：H0：μ

62.0，H1：μ>62.0；選取統(tǒng)計量對于給定的顯著性水平α=0.05，查t分布表得由題意，計算統(tǒng)計量觀察值由于所以拒絕原假設(shè)H0，而接受H1，即認(rèn)為這批罐頭細(xì)菌含量大于62.0，質(zhì)量不符合標(biāo)準(zhǔn)。

3、正態(tài)總體方差的檢驗常見的正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗有以下三種類型：(1)H0：σ2=σ02，H1：σ2≠σ02

；(2)H0：σ2σ02，H1：σ2>σ02；(3)H0：σ2

σ02，H1：σ2<σ02。雙邊假設(shè)檢驗單邊假設(shè)檢驗選取統(tǒng)計量當(dāng)H0為真時，服從自由度為n-1的χ2分布。對于給定的顯著性水平α，有(1)H0：σ2=σ02，H1：σ2≠σ02

；檢驗規(guī)則為當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0或(2)H0：σ2

σ02，H1：σ2>σ02；檢驗規(guī)則為當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0(3)H0：σ2

σ02，H1：σ2<σ02；檢驗規(guī)則為當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0例7.8一家超市從生產(chǎn)玻璃器皿的廠家訂購了一批玻璃花瓶，要求其折射率的標(biāo)準(zhǔn)差不能超過0.01。貨到后，隨機抽出一個容量為20的花瓶的樣本進行檢查，發(fā)現(xiàn)樣本折射率的標(biāo)準(zhǔn)差為0.015。試問在α=0.01的條件下，該超市應(yīng)該是接受還是拒絕這批玻璃花瓶？解由題意建立假設(shè)：H0：σ2

0.012，H1：σ2>0.012選取統(tǒng)計量對于給定的顯著性水平α=0.01，查χ2分布表得由題意，S=0.015，計算統(tǒng)計量觀察值由于所以拒絕原假設(shè)H0，而接受H1，即認(rèn)為這批玻璃花瓶折射率的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地超過了標(biāo)準(zhǔn)，該超市應(yīng)該拒絕接受這批花瓶。homeworkP1942，4，6，86.3雙正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗對于兩個正態(tài)總體均值的檢驗，常見的有以下三種類型：(1)H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2；(2)H0：μ1=μ2，H1：μ1>μ2；(3)H0：μ1=μ2，H1：μ1<μ2。通常稱為兩個正態(tài)總體均值差的檢驗。1、兩個正態(tài)總體的方差已知設(shè)總體X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22)，X、Y相互獨立，(X1,X2,…,Xn1)和(Y1,Y2,…,Yn2)分別來自總體X、Y的樣本。構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量當(dāng)μ1=μ2時，U~N(0,1)對于給定的顯著性水平α，有(1)H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2；檢驗規(guī)則為當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0(2)H0：μ1=μ2，H1：μ1>μ2；檢驗規(guī)則為(3)H0：μ1=μ2，H1：μ1<μ2，檢驗規(guī)則為當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0例7.9已知某運輸公司等待甲、乙船運公司貨物的時間均服從正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為4.6和4.9天?，F(xiàn)作隨機抽樣，得到了35個等待甲船運公司的時間，其平均時間為14.8天，得到47個乙船運公司貨物的時間，其平均時間為17.8天。試問：等待甲、乙船運公司貨物的時間有無顯著差異？(α=0.05)解設(shè)等待甲公司貨物的時間均值為μ1，等待乙公司貨物的時間均值為μ2。由題意建立假設(shè)H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2；由于兩個總體都服從正態(tài)分布，選取統(tǒng)計量對于給定的顯著性水平α=0.05，查正態(tài)分布表計算統(tǒng)計量觀察值已知由于所以拒絕原假設(shè)H0，而接受H1，即認(rèn)為等待甲、乙船運公司貨物的時間有顯著差異。

2、兩個正態(tài)總體方差未知，但相等由于兩個正態(tài)總體的方差未知但相等，因此構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量

當(dāng)μ1=μ2時，T~t(n1+n2-2)對于給定的顯著性水平α，有(1)H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2；檢驗規(guī)則為當(dāng)拒絕H0當(dāng)接受H0當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0(2)H0：μ1=μ2，H1：μ1>μ2；檢驗規(guī)則為(3)H0：μ1=μ2，H1：μ1<μ2，檢驗規(guī)則為當(dāng)時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0例7.10某企業(yè)經(jīng)理認(rèn)為女性員工每年病假天數(shù)多于男性員工，為此作了一個調(diào)查。從男女員工中隨機抽取了10名，得到病假天數(shù)分別為

女性：371921351640126325男性：244218150910202213已知男女員工的病假天數(shù)均服從正態(tài)分布，且方差相等，試問：女性員工的病假天數(shù)是否多于男性員工？(α=0.05)解設(shè)女性員工的年病假天數(shù)的均值為μ1，男性員工的年病假天數(shù)的均值為μ2；由題意建立假設(shè)

H0：μ1=μ2，H1：μ1>μ2；選取統(tǒng)計量對于給定的顯著性水平α=0.05，查t分布表由題意可計算得統(tǒng)計量觀察值為t=0.8696由于t=0.8696<tα(18)=1.7341，接受H0，即不能認(rèn)為女性員工的年病假天數(shù)多于男性員工。3、兩個正態(tài)總體方差的檢驗對于兩個正態(tài)總體方差的檢驗，常見的有以下三種類型：(1)H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22；(2)H0：σ12=σ22，H1：σ12>σ22；(3)H0：σ12=σ22，H1：σ12<σ22。通常稱為兩個正態(tài)總體方差比的檢驗。設(shè)總體X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22)，X、Y相互獨立，(X1,X2,…,Xn1)和(Y1,Y2,…,Yn2)分別來自總體X、Y的樣本。S12，S22分別為兩個樣本的樣本方差。構(gòu)造統(tǒng)計量當(dāng)H0為真，即σ12=σ22時，F(xiàn)=S12/S22服從自由度分別為n1-1和n2-1的F分布。對于給定的顯著性水平α，有

(1)H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22；的檢驗規(guī)則為當(dāng)或時，拒絕H0當(dāng)時，接受H0(2)H0：σ12=σ22，H1：σ12>σ22；檢驗規(guī)則為當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)時，拒絕H0時，拒絕H0時，接受H0(3)H0：σ12=σ22，H1：σ12<σ22。檢驗規(guī)則為時，接受H0例7.11在例7.10中，我們假定男女員工年病假的天數(shù)服從正態(tài)分布，且方差相等。但從樣本測得的數(shù)據(jù)，計算得S12=18.32，S22=11.22，即兩個樣本方差存在著一定的差異，因而需要檢驗這兩個總體的方差是否真的相等。(α=0.05)解由題意建立假設(shè)H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22；取統(tǒng)計量當(dāng)H0為真，即σ12=σ22時，F(xiàn)~F(n1-1,n2-1)對于給定的顯著性水平α，n1=n2=10，查F