天大高數(shù)第十章習(xí)題課

1第一類(對(duì)弧長(zhǎng))第二類(對(duì)坐標(biāo))兩類之間的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)形式物理意義計(jì)算方法相似處不同處曲線積分L指曲線AB1.都是化曲線積分為定積分計(jì)算。2.都要把曲線表示式代入被積函數(shù)。積分下限<

上限L方向：從AB積分下限為起點(diǎn)A的t值上限為終點(diǎn)B的t值此處下限是

,上限是....2第一類(對(duì)面積)第二類(對(duì)坐標(biāo))兩類之間的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)形式物理意義計(jì)算方法曲面積分指空間曲面為有向曲面...“一代二換三投影”“一代二投三定號(hào)”3（解決平面的曲線積分與二重積分的聯(lián)系問(wèn)題）3.格林公式LDDLl(逆)(順)則有其中L是

D

的整個(gè)正向邊界曲線.若：特殊情況(D是復(fù)連通的)下，格林公式成為：注：(逆)(逆)44.平面曲線積分的四個(gè)等價(jià)命題.曲線積分和曲面積分的應(yīng)用:填空.....⌒⌒6一、曲線積分的計(jì)算法1.基本方法曲線積分第一類(對(duì)弧長(zhǎng))第二類(對(duì)坐標(biāo))(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終7(1)利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算;(2)利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件;(3)利用Green公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用Stokes公式;(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.2.基本技巧8oxyA(-1,0)B(0,1)C(1,2)解類型：I型曲線積分其中，...解:化為參數(shù)方程則它在第一象限部分為利用對(duì)稱性,得提示:解:,圓的形心在原點(diǎn),故利用形心公式oxy14A(1,1)B(2,4)C(1,4)解類型：II型曲線積分方法I：

直接計(jì)算.1..⌒⌒也可以用下面的方法：oxy14A(1,1)B(2,4)C(1,4)D解類型：II型曲線積分

貼補(bǔ)，用格林公式.1.

先x..⌒方法II：提示:故提示:解:添加輔助線如圖,利用格林公式.解方法：21xyoL用格林公式..0t2C..解:令則有可見(jiàn),在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān).思考:積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意,本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān)！內(nèi)容小結(jié)2425第一類曲線積分和第二類曲線積分的關(guān)系特殊情形282930解...(1)(2)..證:令則可知存在原函數(shù)或判別:求解步驟:方法1湊微分法;方法2利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件.1.求原函數(shù)

u(x,y)2.由du=0知通解為

u(x,y)=C.全微分方程解:因?yàn)楣蔬@是全微分方程.則有因此方程的通解為法1法2此全微分方程的通解為,則有兩邊對(duì)y求導(dǎo)得④⑤由④得與⑤比較得因此方程的通解為解:∴這是一個(gè)全微分方程.用湊微分法求通解.將方程改寫(xiě)為即故原方程的通解為或提示:第四節(jié)提示:二、曲面積分的計(jì)算法1.基本方法曲面積分第一類(對(duì)面積)第二類(對(duì)坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分(1)選擇積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負(fù)第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面思考題1)二重積分是哪一類積分?答:

第一類曲面積分的特例.2)設(shè)曲面問(wèn)下列等式是否成立?

不對(duì)!

對(duì)坐標(biāo)的積分與的側(cè)有關(guān)2.基本技巧(1)利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化解:

在xOy

面上的投影為

故oxyz解類型：II型曲面積分由第一卦限和第二卦限中的錐面1和2構(gòu)成.其上側(cè)在yOz平面的投影為負(fù)；其上側(cè)在yOz平面的投影為正.hyzohz=yDyzDyz圖形？.12...也可以用下面的方法：oxyz解類型：II型曲面積分需貼補(bǔ)側(cè)面（右側(cè)）和半圓頂面半圓（下側(cè)）.hhDxy圖形？.方法II:

貼補(bǔ)，用高斯公式..半圓利用高斯公式計(jì)算二類曲面積分注意：１．加的面不要太多．２．所得三重積分易算．解:提示:

然后用高斯公式.53解:

取足夠小的正數(shù),

作曲面則第二項(xiàng)添加輔助面,再用高斯公式,注意曲面的方向!得56解57根據(jù)對(duì)稱性可知解:利用對(duì)稱性用重心公式利用對(duì)稱性可知解:利用重心公式解分析:

若將曲面分為前后(或左右)兩片,則計(jì)算較繁.則解:

取曲面面積元素解:取

則思考: