2023年高考北京理科數(shù)學(xué)試卷

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔北京卷理〕一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分，在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.〔2023北京卷理〕假設(shè)集合，或，那么=〔〕A.B.C.D.【答案】：A【解析】：，應(yīng)選A．【考點(diǎn)】：集合的根本運(yùn)算【難度】：易2.〔2023北京卷理〕假設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】：B【解析】：，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得：，應(yīng)選B．【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算【難度】：易3.〔2023北京卷理〕執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的值為〔〕A.2B.C.D.【答案】：C【解析】：時(shí)，成立，第一次進(jìn)入循環(huán)，成立，第二次進(jìn)入循環(huán),，成立，第三次進(jìn)入循環(huán)，否，輸出，應(yīng)選C．【考點(diǎn)】：程序框圖【難度】：易4.〔2023北京卷理〕假設(shè)，滿足那么的最大值為〔〕A.1B.3C.5D.9【答案】：D【解析】：如圖，畫出可行域，表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，應(yīng)選D．【考點(diǎn)】：二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃【難度】：易5.〔2023北京卷理〕函數(shù)，那么〔〕 A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】：A【解析】：，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù),是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)應(yīng)選A．【考點(diǎn)】：函數(shù)奇偶性+單調(diào)性【難度】：易6.〔2023北京卷理〕設(shè)，為非零向量，那么“存在負(fù)數(shù)，使得〞是“的〔〕A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】：A【解析】：假設(shè)，使，即兩向量反向，夾角是，那么，反過來，假設(shè)，那么兩向量的夾角為，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)，使得，所以是充分不必要條件，應(yīng)選A．【考點(diǎn)】：向量、不等式、邏輯運(yùn)算【難度】：易7.〔2023北京卷理〕某四棱錐的三視圖如下圖，那么該四棱錐的最長棱的長度為〔〕A.B.C.D.2【答案】：B【解析】：幾何體是四棱錐，如圖，紅色線為三視圖復(fù)原后的幾何體，最長的棱長為正方體的對(duì)角線，，應(yīng)選B．【考點(diǎn)】：三視圖【難度】：易8．〔2023年北京理〕根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限約為，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為．那么以下各數(shù)中與最接近的是〔〕〔參考數(shù)據(jù)：〕A.B.C.D.【答案】：D【解析】：設(shè)，兩邊取對(duì)數(shù)，，所以，即最接近，應(yīng)選D．【考點(diǎn)】：對(duì)數(shù)運(yùn)算【難度】：中二、填空題：共6小題，每題5分，共30分．9．〔2023年北京理〕假設(shè)雙曲線的離心率為，那么實(shí)數(shù)．【答案】：【解析】：根據(jù)題意得且，解得【考點(diǎn)】：雙曲線離心率【難度】：易10．〔2023年北京理〕假設(shè)等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，那么=．【答案】：1【解析】：由題意可知：．【考點(diǎn)】：等差數(shù)列+等比數(shù)列【難度】：易11．(2023年北京理)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么的最小值為______．【答案】：1【解析】：由題意可知，所以．【考點(diǎn)】：極坐標(biāo)【難度】：中12．(2023年北京理)在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱．假設(shè)，=．【答案】：【解析】：【考點(diǎn)】：三角函數(shù)定義+差角公式【難度】：易13．(2023年北京理)能夠說明“設(shè)，，是任意實(shí)數(shù)．假設(shè)，那么〞是假命題的一組整數(shù)，，的值依次為_______．【答案】：，，【解析】：取分別為不滿足，故此命題為假命題〔此題答案不唯一〕【考點(diǎn)】：簡易邏輯命題真假判斷【難度】：易14．(2023年北京理)三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如下圖，其中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為第名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為第名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，，，．①記為第名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，那么，，中最大的是_________．②記為第名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，那么，，中最大的是_________．【答案】：；．【解析】：作圖可得中點(diǎn)縱坐標(biāo)比，中點(diǎn)縱坐標(biāo)大，所以第一位選，分別作，，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，，，比擬直線，，斜率，可得最大，所以選．【考點(diǎn)】：實(shí)際應(yīng)用，極坐標(biāo)，對(duì)稱【難度】：中三、解答題共6小題，共80分。解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．〔本小題13分〕在中，，．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假設(shè)，求的面積．【答案】：〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】：〔Ⅰ〕在△ABC中，因?yàn)椋?，所以由正弦定理得．〔Ⅱ〕因?yàn)椋?，由，所以．由余弦定理得，解得或〔舍〕．所以△ABC的面積．【考點(diǎn)】：正弦定理+余弦定理+三角形面積公式【難度】：易16．〔本小題14分〕如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面⊥平面，點(diǎn)在線段上，平面，，．〔Ⅰ〕求證：為的中點(diǎn)；〔Ⅱ〕求二面角的大?。弧并蟆城笾本€與平面所成角的正弦值．【答案】：〔Ⅰ〕見解析〔Ⅱ〕〔Ⅲ〕【解析】：〔Ⅰ〕設(shè)交點(diǎn)為，連接．因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以．因?yàn)槭钦叫危詾榈闹悬c(diǎn)，在中，知為的中點(diǎn)．〔Ⅱ〕取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)?，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)槭钦叫?，所以．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，那么，，，，．設(shè)平面的法向量為，那么，即．令，那么，．于是．平面的法向量為，所以．由題知二面角為銳角，所以它的大小為．〔Ⅲ〕由題意知，，．設(shè)直線與平面所成角為，那么．所以直線與平面所成角的正弦值為．【考點(diǎn)】：立體幾何+空間向量〔二面角、正弦值〕【難度】：易17．〔本小題13分〕為了研究一種新藥的療效，選名患者隨機(jī)分成兩組，每組各名，一組服藥，另一組不服藥．一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)和的數(shù)據(jù)，并制成以下圖，其中表示服藥者，表示未服藥者．〔Ⅰ〕從服藥的名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)的值小于的概率；〔Ⅱ〕從圖中四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)的值大于的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；〔Ⅲ〕【答案】：〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕〔Ⅲ〕大于【解析】：〔Ⅰ〕由圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)的值小于60的概率為．〔Ⅱ〕由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C．所以的所有可能取值為0,1,2．．所以的分布列為012故的期望．〔Ⅲ〕在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差．【考點(diǎn)】：分布列+數(shù)學(xué)期望+概率【難度】：易18．〔本小題14分〕拋物線：過點(diǎn)．過點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸的垂線分別與直線，交于點(diǎn)，，其中為原點(diǎn)．〔Ⅰ〕求拋物線的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；〔Ⅱ〕求證：為線段的中點(diǎn)．【答案】：〔Ⅰ〕焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為〔Ⅱ〕見解析【解析】：〔Ⅰ〕由拋物線C：過點(diǎn)，得．所以拋物線的方程為．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．〔Ⅱ〕當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時(shí)，顯然與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)不滿足題意，所以直線的斜率存在且不為0．設(shè)為點(diǎn)，過的直線方程為〔〕，設(shè)，，顯然，，均不為0．由，得．考慮，由題意，所以．那么，①．②由題意可得，橫坐標(biāo)相等且同為，因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．假設(shè)要證明為的中點(diǎn)，只需證，即證，即證，將代入上式，即證，即證③將①②代入③得，化簡有恒成立，所以恒成立．故A為線段BM的中點(diǎn)．【考點(diǎn)】：橢圓的性質(zhì)+直線與橢圓的關(guān)系【難度】：中19．〔本小題13分〕函數(shù)．〔Ⅰ〕求曲線在點(diǎn)處的切線方程；〔Ⅱ〕求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】〔1〕〔2〕最大值為，最小值為【解析】〔Ⅰ〕因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為．〔Ⅱ〕設(shè)，那么．當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以對(duì)任意有，即．所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為．【考點(diǎn)】：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算+導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用【難度】：中20．〔本小題13分〕設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．〔Ⅰ〕假設(shè)，，求的值，并證明是等差數(shù)列；〔Ⅱ〕證明：或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．【答案】見解析【解析】〔Ⅰ〕易知，，且，，所以，．下面證明：對(duì)任意且，都有．當(dāng)且時(shí)，∵且∴．因此對(duì)任意且，，那么．又∵，故對(duì)均成立，從而是等差數(shù)列〔Ⅱ〕設(shè)數(shù)列和的公差分別為，下面我們考慮的取值．對(duì)，，，考慮其中任意項(xiàng)且，下面分，，三種情況進(jìn)行討論．〔1〕假設(shè)，那么①假設(shè)，那么那么對(duì)于給定的正整數(shù)而言，此時(shí)，故是等差數(shù)列②，那么那么對(duì)于給定的正整數(shù)而言，此時(shí)，故是等差數(shù)列此時(shí)取，那么是等差數(shù)列，命題成立．〔2〕假設(shè)，那么此時(shí)為一個(gè)關(guān)于的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù)．故必存在，使得當(dāng)時(shí)，那