第五版 數(shù)字電路 第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法§2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)1/12/20231《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》概念：2.1概述1、邏輯：2、二值邏輯：3、邏輯代數(shù)：4、邏輯變量：5、邏輯運(yùn)算：描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法工具，又稱為布爾代數(shù)、開關(guān)代數(shù)。它是分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的數(shù)學(xué)工具。在邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量。邏輯變量只能有兩種可能的取值0或1。注意：這里的0、1不是表示數(shù)值大小，而是表示兩種不同的邏輯狀態(tài)。邏輯變量以及常量之間邏輯狀態(tài)的推理運(yùn)算。不是數(shù)量之間的運(yùn)算。事物間的因果關(guān)系.只有兩種對(duì)立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系稱為二值邏輯。1/12/20232《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法§2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)1/12/20233《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》

與（AND）或（OR）

非（NOT）以A=1表示開關(guān)A合上，A=0表示開關(guān)A斷開；

B=1表示開關(guān)B合上，B=0表示開關(guān)B斷開；

以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；

三種電路的因果關(guān)系不同：2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算1/12/20234《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》一、基本邏輯運(yùn)算：2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算三種基本邏輯運(yùn)算1、與(AND)“·”開關(guān)A開關(guān)B燈Y斷開斷開滅斷開閉合滅閉合斷開滅閉合閉合亮ABY000010100111真值表

電路功能表(一)基本邏輯關(guān)系舉例Y＝Ａ·Ｂ與運(yùn)算的運(yùn)算法則：1/12/20235《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》3、非(NOT)變量右上角的“’”或變量上面加“－”2、或(OR)“＋”ABY000011101111AY0110真值表

真值表

Y＝Ａ＋Ｂ或運(yùn)算的運(yùn)算法則：或運(yùn)算的運(yùn)算法則：1/12/20236《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》1、“與邏輯”符號(hào)：（三）基本邏輯運(yùn)算（二）基本邏輯關(guān)系Ｙ＝Ａ?Ｂ

1、與邏輯關(guān)系當(dāng)決定事物的全部條件都具備，結(jié)果才發(fā)生，這種因果關(guān)系就叫做邏輯與，也叫邏輯相乘。

1/12/20237《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》（三）基本邏輯運(yùn)算（二）基本邏輯關(guān)系2、“或邏輯”符號(hào)：

Y=A+B

1、與邏輯關(guān)系當(dāng)決定事物的全部條件都具備，結(jié)果才發(fā)生，這種因果關(guān)系就叫做邏輯與，也叫邏輯相乘。

2、或邏輯關(guān)系

在決定事物結(jié)果的諸條件中只要任何一個(gè)滿足，結(jié)果就會(huì)發(fā)生，這種因果關(guān)系叫做邏輯或，也叫邏輯相加。1/12/20238《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》（三）基本邏輯運(yùn)算（二）基本邏輯關(guān)系3、“非邏輯”符號(hào)：

1、與邏輯關(guān)系當(dāng)決定事物的全部條件都具備，結(jié)果才發(fā)生，這種因果關(guān)系就叫做邏輯與，也叫邏輯相乘。

2、或邏輯關(guān)系

在決定事物結(jié)果的諸條件中只要任何一個(gè)滿足，結(jié)果就會(huì)發(fā)生，這種因果關(guān)系叫做邏輯或，也叫邏輯相加。

3、非邏輯關(guān)系只要條件具備了，結(jié)果就不會(huì)發(fā)生，而條件不具備時(shí)，結(jié)果一定發(fā)生。這種因果關(guān)系叫做邏輯非，也叫做求反運(yùn)算或邏輯否定。

1/12/20239《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》二、常用邏輯運(yùn)算：1、與非運(yùn)算：2、或非運(yùn)算：3、與或非運(yùn)算：4、異或運(yùn)算：5、同或運(yùn)算：Y＝Y(jié)＝Y(jié)＝Y(jié)＝＝Y(jié)＝A⊙B＝表達(dá)式：1/12/202310《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》異或運(yùn)算定義：A⊙B＝

異或運(yùn)算公式：②多變量異或關(guān)系：在多變量異或運(yùn)算中，如果變量為1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，異或運(yùn)算結(jié)果為1；如果變量為1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，異或運(yùn)算結(jié)果為0。①常量與變量之間：

＝＝A＝0＝1異或運(yùn)算：A、B取值相異時(shí)其值為1，相同時(shí)其值為0.同或運(yùn)算：是異或運(yùn)算的反，A⊙B=

1/12/202311《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算圖形符號(hào)與非 或非 與或非1/12/202312《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算圖形符號(hào)異或 同或1/12/202313《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法§2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)1/12/202314《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》

2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式

一.基本公式序號(hào)公式序號(hào)公式變量與常量的運(yùn)算規(guī)則0-1律

1A·1＝A2A+0＝A3A·0＝04A+1＝1交換律5A·B＝B·A6A+B＝B+A結(jié)合律7（A·B）·C＝A·（B·C）8（A+B）+C＝A+（B+C）分配律9A·（B+C）＝A·B+A·C10A+B·C＝（A+B）·（A+C）互補(bǔ)律1112重疊律13A·A＝A14A+A＝A德·摩根定理（反演律）1516還原律

17181/12/202315《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》二、常用公式1

A+A·B＝

公式的含義：在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與項(xiàng)是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則另一個(gè)與項(xiàng)是多余的（吸收律）。

含義：在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與項(xiàng)的非是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則這個(gè)因子是多余的。432AA·BA+BA

含義：在一個(gè)表達(dá)式中，如果一個(gè)或項(xiàng)的非是另一個(gè)或項(xiàng)的一個(gè)因子，則這個(gè)因子是多余的。

含義：在一個(gè)表達(dá)式中，如果一個(gè)變量和包含這個(gè)變量的和相乘，其結(jié)果等于這個(gè)變量。1/12/202316《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》二、常用公式

含義：在一個(gè)與或表達(dá)式中，一個(gè)與項(xiàng)包含了一個(gè)變量的原變量，而另一個(gè)與項(xiàng)包含了這個(gè)變量的反變量，則這兩項(xiàng)其余因子的乘積構(gòu)成的第三項(xiàng)是多余的（又稱為冗余定理）。756AA

含義：在或與表達(dá)式中，若兩個(gè)或項(xiàng)中分別包含了一個(gè)變量的原變量和反變量，而其余因子又相同，則可合并成一項(xiàng)，保留其相同的因子。8

含義：在一個(gè)或與表達(dá)式中，一個(gè)或項(xiàng)包含了一個(gè)變量的原變量，而另一個(gè)或項(xiàng)包含了這個(gè)變量的反變量，則這兩項(xiàng)其余因子的和構(gòu)成的第三項(xiàng)是多余的。

含義：在與或表達(dá)式中，若兩個(gè)與項(xiàng)中分別包含了一個(gè)變量的原變量和反變量，而其余因子又相同，則可合并成一項(xiàng)，保留其相同的因子。1/12/202317《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》如何驗(yàn)證公式的正確性真值表化簡(jiǎn)公式卡諾圖例：真值表驗(yàn)證摩根定理100011101110100000011011AB1/12/202318《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法§2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)1/12/202319《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》2.4邏輯代數(shù)的基本定理一、代入定理：在任何邏輯等式中，如果等式兩邊所有出現(xiàn)某一變量的地方，都代之以一個(gè)函數(shù)，則等式仍然成立。反演規(guī)則為求取已知的邏輯式的反邏輯式提供了方便，但需注意兩點(diǎn)：

1、仍需遵守“先括號(hào)，然后乘，最后加”的運(yùn)算優(yōu)先次序;2、不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。德·摩根定理是反演規(guī)則的一個(gè)特例，故又稱為反演律。二、反演定理：對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)表達(dá)式Y(jié)，如果將Y中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”；“0”換成“1”，“1”換成“0”；原變量變反變量，反變量變?cè)兞?，那么所得表達(dá)式就是Y的反函數(shù)。1/12/202320《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》三、對(duì)偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等，這就是對(duì)偶定理。對(duì)偶式：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將式中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”；“1”換成“0”，“0”換成“1”；而變量保持不變，原表達(dá)式的運(yùn)算優(yōu)先順序也不變，那么得到的這個(gè)新表達(dá)式稱為Y的對(duì)偶式Y(jié)D。例：Y(A、B、C)其反函數(shù)為或1/12/202321《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法§2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)1/12/202322《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》

2.5邏輯函數(shù)及其表示方法

邏輯函數(shù)Y=F(A,B,C,······)

------若以邏輯變量為輸入，運(yùn)算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。這種輸入/輸出之間的函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)。注：在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值0/1。1/12/202323《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》一、邏輯函數(shù)的表示法：邏輯函數(shù)式、邏輯真值表、邏輯圖、波形圖、卡諾圖和硬件描述語(yǔ)言等。（一）邏輯函數(shù)式由邏輯變量、常量和運(yùn)算符所構(gòu)成的式子。將輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系寫成與、或、非等運(yùn)算的組合式。1/12/202324《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》（二）邏輯真值表把變量的各種可能取值與相應(yīng)的函數(shù)值，以表格形式一一列舉出來(lái)，這種表格就叫真值表。輸入變量ABC····輸出Y1Y2

····遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對(duì)應(yīng)的取值1/12/202325《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》1、列寫方法：每個(gè)變量均有0、1兩種取值。n個(gè)變量共有2n種不同取值組合，將它們按順序（一般按二進(jìn)制遞增順序）排列起來(lái)，同時(shí)在相應(yīng)位置上寫上函數(shù)的值，便可得到邏輯函數(shù)的真值表。2、特點(diǎn)：直觀明了；把實(shí)際邏輯問題抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)形式時(shí)，使用真值表最方便。（當(dāng)變量比較多時(shí)，在真值表中可只列出使函數(shù)值為1的輸入變量取值）（二）邏輯真值表1/12/202326《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》（三）邏輯圖用代表邏輯運(yùn)算的邏輯門符號(hào)所構(gòu)成的邏輯關(guān)系圖形，叫邏輯圖。在工作中，用邏輯圖來(lái)了解某個(gè)數(shù)字系統(tǒng)或者數(shù)控裝置的邏輯功能；另外，在制作數(shù)字設(shè)備時(shí)，首先也要通過邏輯設(shè)計(jì)，畫出邏輯圖，然后再把邏輯圖變成實(shí)際電路。（五）波形圖反映輸入與輸出變量對(duì)應(yīng)取值，隨時(shí)間按照一定規(guī)律變化的圖形，就叫波形圖。也稱時(shí)間圖。（四）卡諾圖

將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰地排列起來(lái)，所得到的圖形叫做n變量最小項(xiàng)的卡諾圖。卡諾圖變量取值必須按循環(huán)碼的順序排列。特點(diǎn)：用幾何相鄰性形象直觀地表示了函數(shù)各個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上的相鄰性，便于用來(lái)求邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與或式。適用于表示和化簡(jiǎn)變量個(gè)數(shù)比較少的邏輯函數(shù)。1/12/202327《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》舉例11111110110101000011001000010000YABC1/12/202328《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》二、各種表示方法的轉(zhuǎn)換（一）由真值表到邏輯圖的轉(zhuǎn)換：

1、一般步驟：(1)根據(jù)真值表寫出函數(shù)的與或表達(dá)式或者畫出函數(shù)的卡諾圖。A、找出真值表中使邏輯函數(shù)Y=1的那些輸入變量取值的組合；B、每組輸入變量取值的組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫入原變量，取值為0的寫入反變量；C、將這些乘積項(xiàng)相加，即得邏輯函數(shù)式。(2)用公式法或者圖形法進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。(3)根據(jù)表達(dá)式畫邏輯圖，有時(shí)還要對(duì)與或表達(dá)式做適當(dāng)變換才能畫出所需要的邏輯圖。用邏輯圖形符號(hào)代替邏輯函數(shù)式中的邏輯符號(hào)并按運(yùn)算優(yōu)先順序連接他們，輸出端得到所求邏輯函數(shù)式。1/12/202329《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》≥1A1&B1&C1&Y&解：根據(jù)題意列出真值表：

A

B

C

Y

000×001101010110100110101100111

1寫表達(dá)式：化簡(jiǎn)得：畫邏輯圖：例：輸出變量Y是輸入變量A、B、C的函數(shù)，A、B、C取值中有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，Y＝1，

否則Y＝0，而且輸入變量取值不會(huì)出現(xiàn)全為0的情況，畫出對(duì)應(yīng)的邏輯圖。2、例題：≥11111/12/202330《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》（二）由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換:

一般步驟：(1)從輸入到輸出或從輸出到輸入，用逐級(jí)推導(dǎo)的方法，寫出輸出變量（函數(shù)）的邏輯表達(dá)式;(2)進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出函數(shù)的最簡(jiǎn)與或式；(3)將變量各種可能取值代入與或式中進(jìn)行運(yùn)算，列出函數(shù)的真值表1/12/202331《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》邏輯圖邏輯函數(shù)式真值表例：011110101000YAB1/12/202332《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》波形圖真值表邏輯函數(shù)式例：波形如圖所示

ABY111010001100YAB1/12/202333《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》三、邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：邏輯函數(shù)表達(dá)式兩種基本形式:“積之和”表達(dá)式“和之積”表達(dá)式所謂“積之和”，是指一個(gè)函數(shù)表達(dá)式中包含著若干個(gè)“積”項(xiàng)，每個(gè)“積”項(xiàng)中可有一個(gè)或多個(gè)以原變量或反變量形式出現(xiàn)的字母，所有這些“積”項(xiàng)的“和”就表示一函數(shù)。（與或表達(dá)式）所謂“和之積”，是指一個(gè)函數(shù)表達(dá)式中包含著若干個(gè)“和”項(xiàng)，每個(gè)“和”項(xiàng)中有任意個(gè)以原變量或反變量形式出現(xiàn)的字母，所有這些“和”項(xiàng)的“積”就表示一個(gè)函數(shù)。（或與表達(dá)式）1/12/202334《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》

――邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積的形式任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可化為最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式。（一）兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

1、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式

2、標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式

――邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和的形式一個(gè)函數(shù)完全由最小項(xiàng)所組成的標(biāo)準(zhǔn)形式。1/12/202335《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》最小項(xiàng)的概念：

對(duì)應(yīng)取值在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且這幾個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱乘積項(xiàng)m為該組變量的最小項(xiàng)。把與最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與之相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是該最小項(xiàng)的編號(hào)。（原變量取值1，反變量取值0）最小項(xiàng)：（1）概念：（2）性質(zhì)：

（3）編號(hào)：

A、每一個(gè)最小項(xiàng)都有一組也只有一組使其值為1的對(duì)應(yīng)變量取值；B、全體最小項(xiàng)之和為1；C、任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0；D、具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并成一項(xiàng)并消去一對(duì)因子。(兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子不同)析：011對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)m33編號(hào)

n個(gè)變量有2n個(gè)最小項(xiàng)例：用符號(hào)“∑”表示累計(jì)的邏輯“加”運(yùn)算1/12/202336《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》三變量最小項(xiàng)的編號(hào)表

最小項(xiàng)最小項(xiàng)為1的變量取值A(chǔ)BC對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)編號(hào)00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m71/12/202337《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》（原變量取值0，反變量取值1）

如M0＝A＋B＋C最大項(xiàng)：（1）概念：

（2）性質(zhì)：

（3）編號(hào)：最大項(xiàng)的概念：

在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個(gè)變量之和，而且這幾個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項(xiàng)。A、在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最大項(xiàng)，而且只有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0；B、全體最大項(xiàng)之積為0；C、任意兩個(gè)最大項(xiàng)的之和為1；D、只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和。用符號(hào)“∏”表示累計(jì)的邏輯“乘”運(yùn)算1/12/202338《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》三變量最大項(xiàng)的編號(hào)表最大項(xiàng)最大項(xiàng)為0的變量取值A(chǔ)BC對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)編號(hào)00000101001110010111011101234567M0M1M2M3M4M5M6M71/12/202339《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》任意邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式，方法：邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)之和形式：轉(zhuǎn)換成最大項(xiàng)之積形式：利用可以把任何一個(gè)邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式――標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式（唯一）。如果已知邏輯函數(shù)為Y＝∑mi

時(shí)，則將Y化為最大項(xiàng)之積的形式為：1、代數(shù)轉(zhuǎn)換法利用化最大項(xiàng)之積的形式(標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式)。1/12/202340《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》解：

例

將下列邏輯函數(shù)表達(dá)式變換成“最小項(xiàng)之和”的形式：=m3+m5+m7+m6=∑m（3,5,6,7）第一步，將函數(shù)表達(dá)式變換成“與或”表達(dá)式第二步，利用將“與或”表達(dá)式中與項(xiàng)擴(kuò)展成最小項(xiàng)1/12/202341《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》

2、真值表轉(zhuǎn)換法轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)之和(標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式)：轉(zhuǎn)換成最大項(xiàng)之積(標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式)：只要在真值表中，挑出那些使函數(shù)值為1的變量取值，變量為1的寫成原變量，為0的寫成反變量，這樣對(duì)應(yīng)于函數(shù)值為1的每一種取值，都可以寫出一個(gè)乘積項(xiàng)，只要把這些乘積項(xiàng)相加所得即為~。在函數(shù)F的真值表中有n組變量，其取值使函數(shù)F的值為0，那么函數(shù)F的“最大項(xiàng)之積”形式由這n組變量取值對(duì)應(yīng)的n個(gè)最大項(xiàng)組成。1/12/202342《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法§2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)1/12/202343《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》

邏輯電路所用門的數(shù)量少

2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法函數(shù)的簡(jiǎn)化依據(jù)每個(gè)門的輸入端個(gè)數(shù)少邏輯電路構(gòu)成級(jí)數(shù)少

邏輯電路保證能可靠地工作降低成本提高電路的工作速度和可靠性邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法1/12/202344《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》最簡(jiǎn)表達(dá)式1、最簡(jiǎn)與或式：2、最簡(jiǎn)與非――與非式：3、最簡(jiǎn)或與式：4、最簡(jiǎn)或非――或非式：5、最簡(jiǎn)與或非式：乘積項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少，每個(gè)乘積項(xiàng)中相乘的變量個(gè)數(shù)也最少的與或表達(dá)式。非號(hào)最少，每個(gè)非號(hào)下面相乘的變量個(gè)數(shù)也最少的與非—與非式。括號(hào)個(gè)數(shù)最少，每個(gè)括號(hào)中相加的變量個(gè)數(shù)也最少的或與式。非號(hào)最少，非號(hào)下相加的變量個(gè)數(shù)也最少或非—或非式。在非號(hào)下面相加的乘積項(xiàng)個(gè)數(shù)最少，每個(gè)乘積項(xiàng)中相乘變量個(gè)數(shù)也最少的與或非式。1/12/202345《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》求出函數(shù)的最簡(jiǎn)與或式，用摩根定理進(jìn)行適當(dāng)變換，可獲得其它幾種最簡(jiǎn)式：兩次取反摩根定理去反

反函數(shù)最簡(jiǎn)與或式取反摩根定理去反反函數(shù)最簡(jiǎn)與或式取反

摩根定理兩次取反摩根定理去反最簡(jiǎn)或非－或非式最簡(jiǎn)或與式最簡(jiǎn)與或非式最簡(jiǎn)與非－與非式最簡(jiǎn)與或式在各種邏輯函數(shù)表達(dá)式中，最常用的是與或表達(dá)式。判別與或表達(dá)式是否最簡(jiǎn)條件是：(1)乘積項(xiàng)(與項(xiàng))最少；

(2)每個(gè)乘積項(xiàng)中變量最少。1/12/202346《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》與或表達(dá)式的化簡(jiǎn)

原理：反復(fù)使用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去函數(shù)式中多余的乘積項(xiàng)和多余的因子，以求得函數(shù)式的最簡(jiǎn)形式。最簡(jiǎn)式的標(biāo)準(zhǔn)利用公式或1、并項(xiàng)法：2、吸收法：3、消因子法：4、消項(xiàng)法：5、配項(xiàng)法：利用公式利用公式A+AB＝A利用公式公式化簡(jiǎn)法卡諾圖化簡(jiǎn)法公式化簡(jiǎn)法首先是式中乘積項(xiàng)最少乘積項(xiàng)中含的變量少與門的輸入端個(gè)數(shù)少實(shí)現(xiàn)電路的與門少下級(jí)或門輸入端個(gè)數(shù)少利用公式1/12/202347《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》例、將函數(shù)化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式:解:利用德·摩根定理利用吸收法利用消因子法利用吸收法利用消項(xiàng)法1/12/202348《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》例、將函數(shù)化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式:解:利用德·摩根定理利用德·摩根定理利用常用公式利用分配律利用分配律1/12/202349《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法：

1、卡諾圖概念：

將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰的排列起來(lái)，所得到的圖形叫做n變量最小項(xiàng)的卡諾圖。

(1)幾何相鄰：包括幾種情況：相接、相對(duì)

(2)邏輯相鄰：兩個(gè)最小項(xiàng)，除了一個(gè)變量形式不同外，其余都相同,這兩個(gè)最小項(xiàng)就叫邏輯相鄰.(在邏輯上相鄰的最小項(xiàng)是可以合并的)卡諾圖化簡(jiǎn)法

2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法1/12/202350《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》2、變量卡諾圖的畫法：

(2)卡諾圖行列兩側(cè)標(biāo)注的0和1表示使對(duì)應(yīng)方格內(nèi)最小項(xiàng)為1的變量值。同時(shí)這些0和1組成的二進(jìn)制數(shù)大小就是對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)的編號(hào)，且?guī)缀蜗噜彽淖钚№?xiàng)具有邏輯相鄰性。因此，變量的取值按循環(huán)碼排列，而不是二進(jìn)制數(shù)的順序排列。一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法：(1)變量卡諾圖一般都畫成正方形或矩形。n個(gè)變量，小方格數(shù)為2n個(gè)(最小項(xiàng)總數(shù))

如二變量卡諾圖，由4個(gè)方格組成，每個(gè)方格代表一個(gè)最小項(xiàng)。圖中每一列和每一行上的1和0分別代表變量A和B的值：寫著0的一行代表，而寫著1的一行表示A；同樣，0代表，而1表示B。1/12/202351《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》m3m2m1m0AB0101m6m7m5m2m3m1m0m4ABC0001111001二變量卡諾圖三變量卡諾圖四變量卡諾圖五變量卡諾圖1/12/202352《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》例：畫出函數(shù)Y＝的卡諾圖。解：Y的變量是A、B、C、D，先畫出四變量卡諾圖：按（2）法，“與項(xiàng)”對(duì)應(yīng)圖中所示卡諾圖中AB＝10這一行四個(gè)方格，“與項(xiàng)”ACD對(duì)應(yīng)CD＝11這一列與A＝1第三、四兩行交蓋的面積的兩個(gè)方格,類推其它兩個(gè)與項(xiàng)，在這些方格中分別填入1，便得到函數(shù)Y的卡諾圖。

(2)對(duì)于函數(shù)的一般的與或表達(dá)式，也可直接將其填在卡諾圖中。方法：找出表達(dá)式中“與項(xiàng)”同卡諾圖面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在“與項(xiàng)”所覆蓋面積里的方格上填1，便得到函數(shù)的卡諾圖。

(3)已知邏輯函數(shù)的真值表，則只要將真值表中每組變量取值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值填入相應(yīng)的最小項(xiàng)方格中，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。

(1)已知邏輯函數(shù)表達(dá)式，把函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式，然后在卡諾圖中與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置填1，在其余位置上填上0或不填。3、邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示11110100100100100001111000011110CDAB1/12/202353《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》二、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)1、化簡(jiǎn)步驟：（1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；（2）合并邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)(對(duì)卡諾圖中的1方格畫卡諾圈)；（3）選擇乘積項(xiàng)寫出最簡(jiǎn)與或式：利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法稱為卡諾圖化簡(jiǎn)法或圖形化簡(jiǎn)法。1/12/202354《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》

(1)合并最小項(xiàng)規(guī)則：在n變量卡諾圖中，若有2k個(gè)“1”格相鄰，它們可以圈在一起加以合并，合并時(shí)可消去k個(gè)不同的變量，合并后結(jié)果僅包含這些1項(xiàng)(最小項(xiàng))的公共變量。若k=n則合并時(shí)可消去全部變量，結(jié)果為1。2、卡諾圖上最小項(xiàng)的合并卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理是根據(jù)邏輯代數(shù)定理：

(2)在用卡諾圖化簡(jiǎn)過程中，最關(guān)健的是畫卡諾圈這一步，畫圈應(yīng)注意：

A、卡諾圈越大越好，但必為2k個(gè)方格；B、每個(gè)圈至少包含一個(gè)新的最小項(xiàng)(新的“1”格)，否則這個(gè)圈是多余的；C、卡諾圈的個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能少；(一個(gè)圈與一個(gè)與項(xiàng)對(duì)應(yīng))D、必需把組成函數(shù)的全部最小項(xiàng)圈完。（“1”要圈完）

(3)選取的原則：A、每個(gè)乘積項(xiàng)所含的因子應(yīng)該最少；B、選用的乘積項(xiàng)的總數(shù)應(yīng)該最少；C、包含函數(shù)的全部最小項(xiàng)。1/12/202355《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》卡諾圖中相鄰小方格畫圈

2k個(gè)“1”格相鄰，它們可以圈在一起加以合并，合并時(shí)可消去k個(gè)不同的變量：①任何一個(gè)標(biāo)“1”的小方格畫一個(gè)圈，不消除變量。②任何兩個(gè)標(biāo)“1”的小方格畫一個(gè)圈，消除一個(gè)變量。③任何四個(gè)標(biāo)“1”的小方格畫一個(gè)圈，消除兩個(gè)變量。④任何八個(gè)標(biāo)“1”的小方格畫一個(gè)圈，消除三個(gè)變量。⑤任何十六個(gè)標(biāo)“1”的小方格畫一個(gè)圈，消除四個(gè)變量。每一個(gè)圈寫一個(gè)最簡(jiǎn)與項(xiàng)，規(guī)則是，取值為1的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得最簡(jiǎn)與—或表達(dá)式。1/12/202356《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》（1）任何兩個(gè)（21個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。1/12/202357《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》（2）任何4個(gè)（22個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)變量。1/12/202358《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》1/12/202359《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》（3）任何8個(gè)（23個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。Ｄ1/12/202360《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》注意：在畫卡諾圈時(shí)

A、

卡諾圈越大越好，但必為2k個(gè)方格；

B、

每個(gè)圈至少包含一個(gè)新的最小項(xiàng)(新的“1”格)，否則這個(gè)圈是多余的；

C、

必需把組成函數(shù)的全部最小項(xiàng)圈完；(“1”要圈完)D、卡諾圈的個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能少。(一個(gè)圈與一個(gè)與項(xiàng)對(duì)應(yīng))說明：通過比較，檢查得出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式；在卡諾圖化簡(jiǎn)得到的最簡(jiǎn)與或式不一定是唯一的。1/12/202361《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》例1：比較下列卡諾圖畫法，判斷正誤。111111110001111000011110CDAB111111110001111000011110CDAB11111111110001111000011110CDAB不正確(多畫一個(gè)圈)正確正確11111111110001111000011110CDAB不正確(圈面積不夠大)1/12/202362《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》例2、利用圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)F＝

2)合并最小項(xiàng)

3)寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式解：1)畫Y的卡諾圖BADC00110110001101100

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

001

1

1/12/202363《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》

1

1CDAB0001111000011110例3、利用圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)3)合并最小項(xiàng)4)寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式解：1)將Y轉(zhuǎn)換成與或表達(dá)式

000000

1111

11112)畫卡諾圖1/12/202364《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》例4：求最簡(jiǎn)與或函數(shù)式

0001111001ABC

000111100011111101ABC

000111100011111101ABC1/12/202365《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》例4：化簡(jiǎn)結(jié)果不唯一1/12/202366《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》

解：1）畫出F的卡諾圖

BCA000111100001010111

(1)在函數(shù)F的卡諾圖中，合并那些使函數(shù)值為0的最小項(xiàng)，則可得反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或式。

2）合并使函數(shù)值為0的最小項(xiàng)，寫出的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式:例：函數(shù)F＝AB＋BC＋CA，求最簡(jiǎn)“或—與”表達(dá)式。3、用卡諾圖求最簡(jiǎn)“或與”表達(dá)式(2)對(duì)反函數(shù)表達(dá)式兩邊取反，得最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。

3）對(duì)反函數(shù)運(yùn)用摩根定理求反，可得到函數(shù)F的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式:1/12/202367《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法§2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)1/12/202368《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)》

2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)