2022-2023學(xué)年蘇教版必修第一冊 8.1.2　用二分法求方程的近似解 學(xué)案

8.1.2用二分法求方程的近似解學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解二分法的原理及其適用條件.2.掌握二分法求函數(shù)零點的步驟.3.體會二分法中蘊含的逐步逼近與程序化思想．導(dǎo)語同學(xué)們，前幾天有個同事買了一部手機，為了游戲更有趣，我暫且不能告訴大家是什么牌子的手機，我可以告訴大家這部手機的價位在2000元～3000元，如果我給大家6次猜價的機會，我只能告訴大家猜的價格比真實值多或少，大家能否猜出與手機真實價錢的誤差在50元以內(nèi)的價錢？注意啊，你的機會只有6次！要解決這個問題，接下來，讓我們一起探究解決這個問題的方法吧．一、二分法的理解問題1有16個大小、顏色相同的金幣，其中有15個金幣是真的，有一個質(zhì)量稍輕的是假的．用天平稱幾次一定可以找出這個稍輕的假幣？提示4次．第一次，兩端各放8個金幣，高的那一端一定有假幣；第二次，兩端各放4個金幣，高的那一端一定有假幣；第三次，兩端各放2個金幣，高的那一端一定有假幣；第四次，兩端各放1個金幣，高的那一端一定是假幣．再比如：有8個質(zhì)量不均勻的小球，只有一個比別的都重，找出最重的小球的問題；有一段電路出現(xiàn)故障的問題；檢修下水道堵塞的問題；包括剛才讓大家猜測手機價格的問題等等這些都可以用上述方法解決，在這個過程中，體現(xiàn)出了“一分為二，逐步逼近”的思想，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“二分法”．知識梳理二分法：對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．注意點：二分法的求解原理是函數(shù)零點存在定理．例1(1)(多選)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，能用二分法求函數(shù)零點近似值的是()答案ABC解析由二分法的定義，知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)<0，即函數(shù)的零點是變號零點，才能將區(qū)間[a，b]一分為二，逐步得到零點的近似值．對各圖象分析可知，選項A，B，C都符合條件，而選項D不符合，因為零點左右兩側(cè)的函數(shù)值不變號，所以不能用二分法求函數(shù)零點的近似值．(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區(qū)間(1,3)內(nèi)的近似解，取區(qū)間的中點為x0＝2，那么下一個有根的區(qū)間是________．答案(1,2)解析設(shè)f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，∵f(1)·f(2)<0，∴f(x)零點所在的區(qū)間為(1,2)，∴方程2x＋3x－7＝0下一個有根的區(qū)間是(1,2)．反思感悟運用二分法求函數(shù)的零點應(yīng)具備的條件(1)函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷．(2)在該零點左右函數(shù)值異號．只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數(shù)零點．跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，其中零點的個數(shù)與可以用二分法求解的個數(shù)分別為()A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3答案D解析圖象與x軸有4個交點，所以零點的個數(shù)為4；左右函數(shù)值異號的零點有3個，所以可以用二分法求解的個數(shù)為3.二、用二分法求函數(shù)的零點問題2你能想辦法求函數(shù)f(x)＝x3－3的零點或近似值嗎？提示由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可以確定區(qū)間[1,2]作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐步計算，縮小零點所在的區(qū)間．這可能是一個無休止的過程．實際上，如果近似值精確到某數(shù)值的話，就可以停止計算，得到零點的近似值．注意點：(1)初始區(qū)間的確定要包含函數(shù)的變號零點；(2)區(qū)間內(nèi)兩個端點按要求取得的近似值要相等才可以．例2用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)的一個零點(精確到0.1)．解經(jīng)計算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函數(shù)在(1,1.5)內(nèi)存在零點x0.取區(qū)間(1,1.5)的中點x1＝1.25，經(jīng)計算f(1.25)<0，因為f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．如此繼續(xù)下去，得到函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間，如下表：(a，b)(a，b)的中點中點函數(shù)值符號(1,1.5)1.25f(1.25)<0(1.25,1.5)1.375f(1.375)>0(1.25,1.375)1.3125f(1.3125)<0(1.3125,1.375)1.34375f(1.34375)>0(1.3125,1.34375)因為1.3125與1.34375精確到0.1的近似值都是1.3，所以函數(shù)f(x)＝x3－x－1的精確到0.1的近似零點可取為1.3.反思感悟用二分法求函數(shù)零點的近似值應(yīng)遵循的原則(1)需依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間(m，n)(一般采用估計值的方法完成)．(2)取區(qū)間端點的平均數(shù)c，計算f(c)，確定有解區(qū)間是(m，c)還是(c，n)，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的兩個端點符合要求，終止計算，得到函數(shù)零點的近似值．跟蹤訓(xùn)練2用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下：f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.55625)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060據(jù)此數(shù)據(jù)，可得f(x)＝3x－x－4的一個零點的近似值(精確到0.01)為________．答案1.56解析由參考數(shù)據(jù)知f(1.5625)≈0.003>0，f(1.55625)≈－0.029<0，即f(1.5625)·f(1.55625)<0，且1.55625與1.5625精確到0.01的近似值都為1.56，所以函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個零點的近似值可取為1.56.三、用二分法求方程的近似解問題3如何求方程x3－3＝0的近似解呢？提示可以轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)f(x)＝x3－3的近似零點．知識梳理用二分法求方程的一個近似解的操作流程步驟1eq\x(方程fx＝0的解)↓轉(zhuǎn)化為步驟2eq\x(函數(shù)fx的零點)↓f(a)f(b)<0步驟3eq\x(確定fx的零點x0∈a，b)↓步驟4eq\x(\a\al\vs4\col(取a，b的平均數(shù)c＝\f(a＋b,2)))↓f(c)的符號步驟5eq\x(確定fx的零點x0∈a1，b1)↓連續(xù)重復(fù)步驟4,5步驟6eq\x(an，bn的近似值都為m)↓x0≈m步驟7eq\x(方程的一個近似解為m)注意點：在上述操作過程中如果存在c，使得f(c)＝0，那么c就是方程f(x)＝0的一個精確解．例3用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一個正實數(shù)近似解(精確到0.1)．解令f(x)＝2x3＋3x－3，經(jīng)計算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)存在零點，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)內(nèi)有解．取(0,1)的中點0.5，經(jīng)計算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內(nèi)有解．如此繼續(xù)下去，得到方程的正實數(shù)解所在的區(qū)間，如下表：(a，b)中點cf(a)f(b)f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.6875)<0(0.6875,0.75)0.71875f(0.6875)<0f(0.75)>0f(0.71875)<0(0.71875,0.75)0.734375f(0.71875)<0f(0.75)>0f(0.734375)<0(0.734375,0.75)0.7421875f(0.734375)<0f(0.75)>0f(0.7421875)>0所以方程2x3＋3x－3＝0的一個近似解在區(qū)間(0.734375,0.7421875)內(nèi)．由于0.734375與0.7421875精確到0.1的近似值都為0.7，故方程的近似解為0.7.反思感悟利用二分法求方程的近似解的步驟(1)構(gòu)造函數(shù)，利用圖象確定方程的解所在的大致區(qū)間，通常取區(qū)間(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出滿足要求的方程的解所在的區(qū)間M.(3)區(qū)間M內(nèi)滿足要求的唯一近似值就是方程的解．跟蹤訓(xùn)練3用二分法求方程x3－3x2－9x＋1＝0的一個負(fù)實數(shù)近似解(精確到0.1)．解令f(x)＝x3－3x2－9x＋1，確定一個包含負(fù)數(shù)零點的區(qū)間(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因為f(－1)>0，f(－2)<0，所以可以取區(qū)間(－2，－1)作為計算的初始區(qū)間，當(dāng)然選取較大的區(qū)間也可以．用二分法逐步計算，列表如下：端點(中點)端點或中點的函數(shù)值取值區(qū)間f(－1)>0，f(－2)<0(－2，－1)x0＝eq\f(－1－2,2)＝－1.5f(x0)＝4.375>0(－2，－1.5)x1＝eq\f(－1.5－2,2)＝－1.75f(x1)≈2.203>0(－2，－1.75)x2＝eq\f(－1.75－2,2)＝－1.875f(x2)≈0.736>0(－2，－1.875)x3＝eq\f(－1.875－2,2)＝－1.9375f(x3)≈－0.0974<0(－1.9375，－1.875)因為－1.9375和－1.875精確到0.1的近似值都為－1.9，所以方程的一個近似解可取為－1.9.1．知識清單：(1)二分法的定義．(2)利用二分法求函數(shù)的零點、方程的近似解．2．方法歸納：化歸、逼近．3．常見誤區(qū)：二分法并不適用于所有零點，只能求函數(shù)的變號零點．1．觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點的是()答案A2．用二分法求函數(shù)f(x)＝x3＋5的零點可以取的初始區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案A解析f(－2)f(－1)＝－12<0，所以可以取的初始區(qū)間是(－2，－1)．3．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次計算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次應(yīng)計算f(x1)，則x1等于()A．1B．－1C．0.25D．0.75答案C解析x1＝eq\f(0＋0.5,2)＝0.25.4．已知函數(shù)f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次計算時，若x0是[1,2]的中點，則f(x0)＝________.答案－1.625解析由題意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625.1．用二分法求如圖所示的函數(shù)f(x)的零點時，不可能求出的零點是()A．x1B．x2C．x3D．x4答案C解析能用二分法求零點的函數(shù)必須滿足在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)<0.而x3兩邊的函數(shù)值都小于零，不滿足區(qū)間端點處函數(shù)值符號相異的條件．2．設(shè)f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2,3)內(nèi)近似解的過程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，則方程的根落在區(qū)間()A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)答案C解析因為f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函數(shù)零點存在定理知，方程的根在區(qū)間(2.5,2.75)．3．用二分法求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的唯一零點時，若精確到0.01，則下列有根區(qū)間正確的是()A．(0.835,0.846) B．(1.478,1.501)C．(3.4875,3.4903) D．(10.325,10.436)答案C解析3.4875與3.4903精確到0.01的近似值都為3.49，故3.49是f(x)在(a，b)內(nèi)的零點的近似值，其他選項均不對．4．(多選)在用二分法求函數(shù)f(x)的一個正實數(shù)零點時，經(jīng)計算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，則函數(shù)的一個精確到0.01的正實數(shù)零點的近似值可能為()A．0.68B．0.69C．0.70D．0.72答案BC解析由題意知f(x)的零點在區(qū)間(0.68，0.72)內(nèi)，故精確到0.01的零點近似值可能為0.69，0.70.5．求函數(shù)f(x)的零點時，用計算器得部分函數(shù)值如表所示．f(2)＝－1.307f(3)＝1.099f(2.5)＝－0.84f(2.75)＝0.512f(2.625)＝0.215f(2.5625)＝－0.032則方程f(x)＝0的近似解(精確到0.1)為()A．2.5 B．2.6C．2.7 D．無法確定答案B解析由表中數(shù)據(jù)知，f(x)＝0的近似解在區(qū)間(2.5625，2.625)內(nèi)，2.5625與2.625精確到0.1的近似值都為2.6.6．(多選)在用“二分法”求函數(shù)f(x)零點近似值時，第一次所取的區(qū)間是[－2,4]，則第三次所取的區(qū)間可能是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2))) B．[－2,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))答案ACD解析因為第一次所取的區(qū)間是[－2,4]，所以第二次所取的區(qū)間可能為[－2,1]，[1,4]，所以第三次所取的區(qū)間可能為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4)).7．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x5＋8x3－1的零點時，第一次經(jīng)過計算得f(0)<0，f(0.5)>0，則其中一個零點所在的區(qū)間為________，第二次應(yīng)計算的函數(shù)值為________．答案(0,0.5)f(0.25)解析因為f(0)·f(0.5)<0，所以其中一個零點所在的區(qū)間為(0,0.5)，第二次應(yīng)該計算區(qū)間中點的函數(shù)值，即f(0.25)．8．在用二分法求函數(shù)f(x)的一個正實數(shù)零點時，經(jīng)計算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，則函數(shù)的一個精確到0.1的正實數(shù)零點的近似值為________．答案0.7解析已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，則函數(shù)f(x)的零點的初始區(qū)間為[0.64,0.72]，又0.68＝eq\f(1,2)(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零點在區(qū)間[0.68,0.72]上，且該區(qū)間的左、右端點精確到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函數(shù)的一個精確到0.1的正實數(shù)零點的近似值．9．判斷函數(shù)f(x)＝2x3－1的零點個數(shù)，并用二分法求零點的近似值．(精確到0.1)解f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)內(nèi)有零點，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)只有一個零點x0∈(0,1)．取區(qū)間(0,1)的中點x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．取區(qū)間(0.5,1)的中點x2＝0.75，f(0.75)＝－0.15625<0，∴f(0.75)·f(1)<0，即x0∈(0.75,1)．取區(qū)間(0.75,1)的中點x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.∴f(0.75)·f(0.875)<0，即x0∈(0.75,0.875)．取區(qū)間(0.75,0.875)的中點x4＝0.8125，f(0.8125)≈0.073>0.∴f(0.75)·f(0.8125)<0，即x0∈(0.75,0.8125)，∵0.75與0.8125精確到0.1的近似值都為0.8.∴f(x)的零點的近似值可取為0.8.10．已知函數(shù)f(x)＝3x＋eq\f(x－2,x＋1)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，用二分法求方程f(x)＝0的正根(精確到0.1)．解由于函數(shù)f(x)＝3x＋eq\f(x－2,x＋1)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，故在(0，＋∞)上也單調(diào)遞增，因此f(x)＝0的正根最多有一個．因為f(0)＝－1<0，f(1)＝eq\f(5,2)>0，所以方程的正根在(0,1)內(nèi)，取(0,1)為初始區(qū)間，用二分法逐次計算，列出下表：區(qū)間中點值中點函數(shù)近似值(0,1)0.50.732(0,0.5)0.25－0.084(0.25,0.5)0.3750.328(0.25,0.375)0.31250.124因為0.25與0.3125的近似值都為0.3，所以方程的根的近似值為0.3.即f(x)＝0的正根約為0.3.11．若函數(shù)f(x)在[a，b]上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，且同時滿足f(a)·f(b)<0，f(a)·f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))>0，則()A．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))上有零點B．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))上有零點C．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))上無零點D．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))上無零點答案B解析由f(a)·f(b)<0，f(a)·f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))>0，可知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))·f(b)<0，根據(jù)函數(shù)零點存在定理可知f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))上有零點．12．下列函數(shù)中，在指定范圍內(nèi)存在零點的是()A．y＝x2－eq\f(1,x)，x∈(－∞，0)B．y＝|x－1|，x∈(－1,1)C．y＝x5＋x－3，x∈[1,2]D．y＝x3－1，x∈(2,3)答案C解析函數(shù)y＝x2－eq\f(1,x)>0在區(qū)間(－∞，0)上恒成立，故排除A；y＝|x－1|>0在區(qū)間(－1,1)上恒成立，故排除B；函數(shù)y＝x3－1>0在區(qū)間(2,3)上恒成立，故排除D；y＝x5＋x－3在x＝1和x＝2兩端點處的函數(shù)值異號，滿足零點存在定理，所以選C.13．(多選)若a<b<c，則下列區(qū)間中存在函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的零點的有()A．(－∞，a) B．(a，b)C．(b，c) D．(c，＋∞)答案BC解析∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，∴f(x)的零點分別位于(a，b)和(b，c)內(nèi)．14．函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b有零點，但不能用二分法求出，則a，b的關(guān)系是________．答案a2＝4b解析∵函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b有零點，但不能用二分法求出，∴函數(shù)f(x)＝x2＋a