解對稱正定矩陣線性方程組的平方根法

§6解對稱正定矩陣線性方程組的平方根法平方根法：6.1

對稱正定矩陣及其三角分解法對稱正定矩陣的一種三角分解方法。1、定義及性質(zhì)定義5定理12定理13A為對稱正定陣(4)A的特征值。

(1)A是非奇異矩陣，且A-1亦是對稱正定陣；(2)A的順序主子陣Ak

是對稱正定陣(k=1,2,…,n)；

(3)A的順序主子式都大于零，即

1、性質(zhì)2、對稱正定陣的判別方法(充分條件)A為對稱矩陣A為對稱矩陣3、對稱正定矩陣的三角分解設A為對稱正定陣，由定理12(順序主子式及定理10(唯一分解),則存在唯一分解A=LDR，其中L，R分別為單位下三角陣與單位上三角陣，D為對角陣，

其中L為單位下三角陣，D為對角陣。由定理8，為A的順序主子式。從而

（唯一）。L為下三角陣，且主對角元大于零。定理14（對稱正定矩陣的Cholesdy分解）陣，則存在唯一的具有正對角元的下三角陣L

，使得6.2平方根法(與直接三角分解法解線性方程組類似推導公式)思路：設n階對稱正定矩陣A有分解

,先用待定系數(shù)法求L的元該分解稱為喬勒斯基（Cholesky）分解。素。求解對稱正定方程組Ax=b的平方根法(計算公式)

：1．分解計算

優(yōu)點：說明：1、數(shù)值穩(wěn)定。2、計算量小，大約為次乘除法，是一般矩陣A的LU分解存儲方法見課本P254,并有算法13。6.3改進的平方根法缺點：計算lii時要開平方。

設n階對稱正定矩陣A有分解

。其中L為單位下三角陣，D為對角陣。即

計算量的一半。n階對稱正定矩陣A的分解公式：

求解對稱正定方程組Ax=b的改進平方根法(計算公式)：

1．分解計算優(yōu)點：1、計算量小，大約為次乘除法，同平方根方法，是一般程組的有效方法。矩陣A的LU分解(消元法)計算量的一半，是目前解對稱正定矩陣方元素的儲存及計算順序：計算出T=LD第i行元素tij(j=1,1,…,i-1)，存放在A第i行位置，

3、精度較高。不用選主元,求得較高精度的數(shù)值解，是數(shù)值穩(wěn)元素的儲存比消去法節(jié)省一半，但比平方根法多用一個單元內(nèi)存，2、計算簡單(沒有開方運算)。缺點：元素的儲存量大。計算出L第i行元素lij

(j=1,1,…,i-1)仍存放在A第i行位置，同時計算出di。以n=3為例說明：因此透明度很差。對應有算法14。定的方法。例9

用改進的平方根法求解方程組

分析：對稱很顯然，需驗證正定，可通過驗證各順序主子式大解1、分解2、求解計算到方程組的解：于零。本課重點：P300習題379作業(yè):

理解求解對稱