直線的兩點(diǎn)式方程

關(guān)于直線的兩點(diǎn)式方程第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日

y=kx+b

y-

y0=k(x-

x0

)k為斜率，P0(x0,y0)為直線上的一定點(diǎn)k為斜率，b為截距1).直線的點(diǎn)斜式方程：2).直線的斜截式方程：第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日

解：設(shè)直線方程為：y=kx+b例1.已知直線經(jīng)過P1(1,3)和P2(2,4)兩點(diǎn),求直線的方程．一般做法：由已知得：解方程組得：所以:直線方程為:y=x+2方程思想第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日還有其他做法嗎？

為什么可以這樣做，這樣做的根據(jù)是什么？第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日即：得:y=x+2

設(shè)P(x,y)為直線上不同于P1,

P2的動(dòng)點(diǎn),與P1(1,3)P2(2,4)在同一直線上,根據(jù)斜率相等可得：

二、直線的兩點(diǎn)式方程第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日

已知兩點(diǎn)P1(x1,

y1),P2(x2,

y2),求通過這兩點(diǎn)的直線方程．解：設(shè)點(diǎn)P(x,y)是直線上不同于P1,

P2的點(diǎn)．可得直線的兩點(diǎn)式方程：∴∵

kPP1=kP1P2記憶特點(diǎn)：1.左邊全為y，右邊全為x2.兩邊的分母全為常數(shù)

3.分子，分母中的減數(shù)相同

推廣第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日不是!

是不是已知任一直線中的兩點(diǎn)就能用兩點(diǎn)式寫出直線方程呢？

兩點(diǎn)式不能表示平行于坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸重合的直線．注意：

當(dāng)x1＝x2或y1=

y2時(shí),直線P1P2沒有兩點(diǎn)式程.(因?yàn)閤1＝x2或y1=

y2時(shí),兩點(diǎn)式的分母為零,沒有意義)

那么兩點(diǎn)式不能用來表示哪些直線的方程呢?？第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日

若點(diǎn)P1(x1,

y1),P2(

x2,

y2)中有x1＝x2,或y1=

y2,此時(shí)過這兩點(diǎn)的直線方程是什么?當(dāng)x1＝x2

時(shí)方程為：x

＝x１當(dāng)y1=

y2時(shí)方程為：y=

y１第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日

例2:已知直線l與x軸的交點(diǎn)為A(a,0),與y軸的交點(diǎn)為B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直線l

的方程．解:將兩點(diǎn)A(a,0),B(0,b)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式,得:即所以直線l的方程為：四、直線的截距式方程第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日②截距可是正數(shù),負(fù)數(shù)和零

注意：①不能表示過原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸平行或重合的直線

直線與x軸的交點(diǎn)(a,o)的橫坐標(biāo)a叫做直線在x軸上的截距是不是任意一條直線都有其截距式方程呢?截距式直線方程:

直線與y軸的交點(diǎn)(0,b)的縱坐標(biāo)b叫做直線在y軸上的截距第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日⑴過(1,2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等的直線有幾條?解:⑴

兩條例3:那還有一條呢？y=2x(與x軸和y軸的截距都為0)所以直線方程為：x+y-3=0a=3把(1,2)代入得：設(shè):直線的方程為:

舉例第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日解：三條

(2)過(1,2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有幾條?

解得：a=b=3或a=-b=-1直線方程為：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x設(shè)截距可是正數(shù),負(fù)數(shù)和零第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日

例4:已知角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A(－5，0)，

B(3，－3)，C(0，2)，求BC邊所在的直線

方程，以及該邊上中線的直線方程.解：過B(3,-3),C(0,2)兩點(diǎn)式方程為：整理得：5x+3y-6=0這就是BC邊所在直線的方程.

舉例第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日

BC邊上的中線是頂點(diǎn)A與BC邊中點(diǎn)M所連線段，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為：即整理得：x+13y+5=0這就是BC邊上中線所在的直線的方程.

過A(-5,0),M的直線方程M第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日中點(diǎn)坐標(biāo)公式：則

若P1，P2坐標(biāo)分別為(x1，y1),(x2，y2)且中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y).∵B(3,-3),C(0,2)∴M即M第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日

已知直線l:2x+y+3=0,求關(guān)于點(diǎn)A(1,2)對(duì)稱的直線l

1的方程.

解：當(dāng)x=0時(shí),y=3.點(diǎn)(0,-3)在直線l上,關(guān)于(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)為(2,7).

當(dāng)x=-2時(shí),y=1.

點(diǎn)(-2,1)在直線l上,關(guān)于(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)為(4,3).

那么,點(diǎn)(2,7),(4,3)在l

1上.因此,直線l

1的方程為：化簡(jiǎn)得:2x+y-11=0

思考題第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日還有其它的方法嗎？∵

l∥l

1，所以l

與l

1的斜率相同∴

kl1=-2經(jīng)計(jì)算，l

1過點(diǎn)(4,3)所以直線的點(diǎn)斜式方程為：y-3=-2(x-4)化簡(jiǎn)得：2x+y-11=0第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日名稱

幾何條件

方程

局限性

歸納直線方程的四種具體形式第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日(1)平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程表示嗎？(2)每一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程都表示直線嗎？

思考第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日分析：直線方程二元一次方程(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)L可表示為x-x0=0,亦可看作y的系數(shù)為0的二元一次方程.(x-x0+0y=0)結(jié)論1：平面上任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x,y

的二元一次方程表示.(1)當(dāng)斜率存在時(shí)L可表示為y=kx+b

或y-y0=k(x-x0)

顯然為二元一次方程.第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日即：對(duì)于任意一個(gè)二元一次方程Ax+By+C=0(A.B不同時(shí)為0)，判斷它是否表示一條直線？（1）當(dāng)B0時(shí)，方程可變形為它表示過點(diǎn)，斜率為的直線.

（2）當(dāng)B=0時(shí)，因?yàn)锳,B不同時(shí)為零，所以A一定不為零,于是方程可化為，它表示一條與y

軸平行或重合的直線.結(jié)論2:關(guān)于x,y

的二元一次方程,它都表示一條直線.直線方程二元一次方程第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日由1，2可知：直線方程二元一次方程定義：我們把關(guān)于x,y

的二元一次方程

Ax+By+C=0(其中A,B不同時(shí)為0)

叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式.

定義第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日

在方程Ax+By+C=0中，A，B，C為何值時(shí)，方程表示的直線（1）平行于x軸：（2）平行于y軸：（3）與x軸重合：（4）與y軸重合：分析:(1)直線平行于x軸時(shí),直線的斜率不存在,在x軸上的截距不為0．即A=0,B0,C0.(2)B=0,A0,C0.(3)A=0,C=0,B0.(4)B=0,C=0,A0.

探究第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日例1

已知直線過點(diǎn)A(6，4)，斜率為,求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.解：代入點(diǎn)斜式方程有y+4=(x-6).

化成一般式，得

4x+3y-12=0.

舉例第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日例2

把直線L的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式,求出L的斜率以及它在x軸與y軸上的截距,并畫出圖形.解：化成斜截式方程

y=x+3

因此，斜率為k=,它在y軸上的截距是3.

令y=0得x=－6.即L在x軸上的截距是－6.

由以上可知L與x

軸,y軸的交點(diǎn)分別為A(-6，0)B(0，3),過A，B做直線,為L(zhǎng)的圖形.

舉例第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日m,n為何值時(shí),直線mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直?解:（1）若兩條直線的斜率都存在，則m不等于0，且兩條直線的斜率分別為但由于