2023年高考數(shù)學(xué)上海試題及解析

第7頁〔共7頁〕2023年上海市高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題〔本大題共12題，總分值54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分〕1.集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，那么A∩B=．{3,4}【解析】∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．2．〔2023年上?！臣僭O(shè)排列數(shù)Aeq\o(\s\up3(m),\s\do3(6))=6×5×4，那么m=．2.3【解析】∵排列數(shù)Aeq\o(\s\up3(m),\s\do3(6))=6×5×…×(6-m+1)，∴6-m+1=4，即m=3.3．〔2023年上?！巢坏仁絜q\f(x-1,x)＞1的解集為．3.(-∞，0)【解析】由eq\f(x-1,x)＞1，得1-eq\f(1,x)>1，那么eq\f(1,x)<0，解得x<0，即原不等式的解集為(-∞，0).4.〔2023年上?！城虻捏w積為36π，那么該球主視圖的面積等于．4.9π【解析】設(shè)球的半徑為R，那么由球的體積為36π，可得eq\f(4,3)πR3=36π，解得R=3.該球的主視圖是半徑為3的圓，其面積為πR2=9π．5．〔2023年上?！硰?fù)數(shù)z滿足z+eq\f(3,z)=0，那么|z|=．5.eq\r(3)【解析】由z+eq\f(3,z)=0，可得z2+3=0，即z2=-3，那么z=±eq\r(3)i，|z|=eq\r(3).6．〔2023年上?！吃O(shè)雙曲線eq\f(x2,9)-eq\f(y2,b2)=1〔b＞0〕的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為該雙曲線上的一點(diǎn)，假設(shè)|PF1|=5，那么|PF2|=．6.11【解析】雙曲線eq\f(x2,9)-eq\f(y2,b2)=1中，a=eq\r(9)=3，由雙曲線的定義，可得||PF1|-|PF2||=6，又|PF1|=5，解得|PF2|=11或﹣1〔舍去〕，故|PF2|=11.7．〔2023年上?！橙鐖D，以長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)向量eq\o(\s\up5(→),\s\do0(DB1))的坐標(biāo)為〔4，3，2〕，那么向量eq\o(\s\up5(→),\s\do0(AC1))的坐標(biāo)是．7.(-4,3,2)【解析】由eq\o(\s\up5(→),\s\do0(DB1))的坐標(biāo)為〔4，3，2〕，可得A〔4，0，0〕，C(0,3,2)，D1(0,0,2)，那么C1〔0，3，2〕，∴eq\o(\s\up5(→),\s\do0(AC1))=〔﹣4，3，2〕．8.〔2023年上?！扯x在〔0，+∞〕上的函數(shù)y=f〔x〕的反函數(shù)為y=f﹣1〔x〕，假設(shè)g〔x〕=eq\b\lc\{(\a\al(3x-1，x≤0，,f(x)，x>0))為奇函數(shù)，那么f-1〔x〕=2的解為．8.eq\f(8,9)【解析】g〔x〕=eq\b\lc\{(\a\al(3x-1，x≤0，,f(x)，x>0))為奇函數(shù)，可得當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x＜0，即有g(shù)(x)=-g〔﹣x〕=-(3-x-1)=1-3-x，那么f(x)=1-3-x.由f-1〔x〕=2，可得x=f(2)=1-3-2=eq\f(8,9)，即f-1〔x〕=2的解為eq\f(8,9).9．〔2023年上?！乘膫€(gè)函數(shù)：①y=-x，②y=-eq\f(1,x)，③y=x3，④y=xeq\f(1,2)，從中任選2個(gè)，那么事件“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)〞的概率為．9.eq\f(1,2)【解析】從四個(gè)函數(shù)中任選2個(gè)，根本領(lǐng)件總數(shù)n=Ceq\o(\s\up2(2),\s\do2(4))=6，“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)〞包含的根本領(lǐng)件有①③，①④，共2個(gè)，∴事件“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)〞的概率為p=eq\f(2,6)=eq\f(1,3).10．〔2023年上?！硵?shù)列{an}和{bn}，其中an=n2，n∈N*，{bn}的項(xiàng)是互不相等的正整數(shù)，假設(shè)對于任意n∈N*，{bn}的第an項(xiàng)等于{an}的第bn項(xiàng)，那么eq\f(lg(b1b4b9b16),lg(b1b2b3b4))=10.2【解析】∵an=n2，n∈N*，假設(shè)對于一切n∈N*，{bn}中的第an項(xiàng)恒等于{an}中的第bn項(xiàng)，∴baeq\o(\s\up5(),\s\do2(n))=abeq\o(\s\up5(),\s\do2(n))=beq\o(\s\up0(2),\s\do0(n)).∴b1=b12，b4=b22，b9=b32，b16=b42.∴b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2，eq\f(lg(b1b4b9b16),lg(b1b2b3b4))=2.11．〔2023年上?！吃O(shè)α1，α2∈R且eq\f(1,2+sinα1)+eq\f(1,2+sin2α2)=2，那么|10π-α1-α2|的最小值等于．11.eq\f(π,4)【解析】由-1≤sinα1≤1，可得1≤2+sinα1≤3，那么eq\f(1,3)≤eq\f(1,2+sinα1)≤1.同理可得eq\f(1,3)≤eq\f(1,2+sin2α2)≤1.要使eq\f(1,2+sinα1)+eq\f(1,2+sin2α2)=2，那么eq\f(1,2+sinα1)=eq\f(1,2+sin2α2)=1，即sinα1=sin2α2=-1.所以α1=2k1π-eq\f(π,2)，2α2=2k2π-eq\f(π,2)，k1,k2∈Z.所以|10π-α1-α2|=|10π-(2k1π-eq\f(π,2))-(k2π-eq\f(π,4))|=|10π+eq\f(3π,4)-(2k1+k2)π|，當(dāng)2k1+k2=11時(shí)，|10π-α1-α2|取得最小值eq\f(π,4).12．〔2023年上?！橙鐖D，用35個(gè)單位正方形拼成一個(gè)矩形，點(diǎn)P1，P2，P3，P4以及四個(gè)標(biāo)記為“▲〞的點(diǎn)在正方形的頂點(diǎn)處，設(shè)集合Ω={P1，P2，P3，P4}，點(diǎn)P∈Ω，過P作直線lP，使得不在lP上的“▲〞的點(diǎn)分布在lP的兩側(cè)．用D1〔lP〕和D2〔lP〕分別表示lP一側(cè)和另一側(cè)的“▲〞的點(diǎn)到lP的距離之和．假設(shè)過P的直線lP中有且只有一條滿足D1〔lP〕=D2〔lP〕，那么Ω中所有這樣的P為．12.P1,P3,P4【解析】設(shè)記為“▲〞的四個(gè)點(diǎn)為A，B，C，D，線段AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，易知EFGH為平行四邊形，如下圖，四邊形ABCD兩組對邊中點(diǎn)的連線交于點(diǎn)P2，那么經(jīng)過點(diǎn)P2的所有直線都是符合條件的直線lP.因此經(jīng)過點(diǎn)P2的符合條件的直線lP有無數(shù)條；經(jīng)過點(diǎn)P1,P3,P4的符合條件的直線lP各有1條，即直線P2P1,P2P3,P2P4.故Ω中所有這樣的P為P1,P3.P4.二、選擇題〔本大題共4題，每題5分，共20分〕13．〔2023年上海〕關(guān)于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\al(x+5y=0，,2x+3y=4))的系數(shù)行列式D為()A.eq\b\bc\|(\a\al(05,43))B.eq\b\bc\|(\a\al(10,24))C.eq\b\bc\|(\a\al(15,23))D.eq\b\bc\|(\a\al(60,54))13.C【解析】關(guān)于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\al(x+5y=0，,2x+3y=4))的系數(shù)行列式D=．應(yīng)選C．14．〔2023年上?！吃跀?shù)列{an}中，an=〔-eq\f(1,2)〕n，n∈N*，那么eq\o(\s\up0(lim),\s\do4(n→∞))an〔〕A.等于-eq\f(1,2)B.等于0C.等于eq\f(1,2)D.不存在14.B【解析】數(shù)列{an}中，an=〔-eq\f(1,2)〕n，n∈N*，那么eq\o(\s\up0(lim),\s\do4(n→∞))an=eq\o(\s\up0(lim),\s\do4(n→∞))(-eq\f(1,2))n=0．應(yīng)選B．15.〔2023年上?！砤,b,c為實(shí)常數(shù)，數(shù)列{xn}的通項(xiàng)xn=an2+bn+c，n∈N*，那么“存在k∈N*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差數(shù)列〞的一個(gè)必要條件是〔〕A.a≥0B.b≤0C.c=0D.a-2b+c=015.A【解析】存在k∈N*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差數(shù)列，可得2[a〔200+k〕2+b〔200+k〕+c]=a〔100+k〕2+b〔100+k〕+c+a〔300+k〕2+b〔300+k〕+c，化簡得a=0，∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差數(shù)列的必要條件是a≥0．應(yīng)選A．16．〔2023年上?！吃谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，橢圓C1：eq\f(x2,36)+eq\f(y2,4)=1和C2：x2+eq\f(y2,9)=1．P為C1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，w是eq\o(\s\up5(→),\s\do0(OP))·eq\o(\s\up5(→),\s\do0(OQ))的最大值．記Ω={〔P，Q〕|P在C1上，Q在C2上且eq\o(\s\up5(→),\s\do0(OP))·eq\o(\s\up5(→),\s\do0(OQ))=w}，那么Ω中的元素有〔〕A.2個(gè)B.4個(gè)C.8個(gè)D.無窮個(gè)16.D【解析】P為橢圓C1：eq\f(x2,36)+eq\f(y2,4)=1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為C2：x2+eq\f(y2,9)=1上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)P〔6cosα，2sinα〕，Q〔cosβ，3sinβ〕，α，β∈[0,2π],那么eq\o(\s\up5(→),\s\do0(OP))·eq\o(\s\up5(→),\s\do0(OQ))=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos〔α-β〕，當(dāng)α-β=2kπ，k∈Z時(shí)，eq\o(\s\up5(→),\s\do0(OP))·eq\o(\s\up5(→),\s\do0(OQ))取得最大值w=6，即使得eq\o(\s\up5(→),\s\do0(OP))·eq\o(\s\up5(→),\s\do0(OQ))=w的點(diǎn)對(P,Q)有無窮多對，Ω中的元素有無窮個(gè).三、解答題〔本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分〕17．〔2023年上海〕如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側(cè)棱AA1的長為5．〔1〕求三棱柱ABC-A1B1C1的體積；〔2〕設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線A1M與平面ABC所成角的大小．17.【解析】〔1〕∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側(cè)棱AA1的長為5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V=S△ABC·AA1=eq\f(1,2)AB·AC·AA1=eq\f(1,2)×4×2×5=20.〔2〕連接AM.∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴AA1⊥底面ABC.∴∠AMA1是直線A1M與平面ABC所成角.∵△ABC是直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴AM=eq\f(1,2)BC=eq\f(1,2)×eq\r(42+22)=eq\r(5).由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥AM,∴tan∠A1MA=eq\f(AA1,AM)=eq\f(5,eq\r(5))=eq\r(5).∴直線A1M與平面ABC所成角的大小為arctaneq\r(5)．18．〔2023年上?！澈瘮?shù)f〔x〕=cos2x﹣sin2x+eq\f(1,2)，x∈〔0，π〕．〔1〕求f〔x〕的單調(diào)遞增區(qū)間；〔2〕設(shè)△ABC為銳角三角形，角A所對邊a=eq\r(19)，角B所對邊b=5，假設(shè)f〔A〕=0，求△ABC的面積．18.【解析】〔1〕函數(shù)f〔x〕=cos2x-sin2x+eq\f(1,2)=cos2x+eq\f(1,2)，x∈〔0，π〕.由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣eq\f(π,2)≤x≤kπ，k∈Z.k=1時(shí)，eq\f(π,2)≤x≤π，可得f〔x〕的增區(qū)間為[eq\f(π,2)，π〕.〔2〕f〔A〕=0，即有cos2A+eq\f(1,2)=0，解得2A=2kπ±eq\f(2π,3).又A為銳角,故A=eq\f(π,3).又a=eq\r(19),b=5，由正弦定理得sinB=eq\f(bsinA,a)=eq\f(5eq\r(57),38),那么cosB=eq\f(eq\r(19),38).所以sinC=sin(A+B)=eq\f(eq\r(3),2)×eq\f(eq\r(19),38)+eq\f(1,2)×eq\f(5eq\r(57),38)=eq\f(3eq\r(57),38).所以S△ABC=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)×eq\r(19)×5×eq\f(3eq\r(57),38)=eq\f(15eq\r(3),4).19．〔2023年上?！掣鶕?jù)預(yù)測，某地第n〔n∈N*〕個(gè)月共享單車的投放量和損失量分別為an和bn〔單位：輛〕，其中an=eq\b\lc\{(\a\al(5n4+15，1≤n≤3，,-10n+470，n≥4，))bn=n+5，第n個(gè)月底的共享單車的保有量是前n個(gè)月的累計(jì)投放量與累計(jì)損失量的差．〔1〕求該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車的保有量；〔2〕該地共享單車停放點(diǎn)第n個(gè)月底的單車容納量Sn=-4〔n﹣46〕2+8800〔單位：輛〕，設(shè)在某月底，共享單車保有量到達(dá)最大，問該保有量是否超出了此時(shí)停放點(diǎn)的單車容納量？19.【解析】〔1〕前4個(gè)月共享單車的累計(jì)投放量為a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4個(gè)月共享單車的累計(jì)損失量為b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車的保有量為965﹣30=935．〔2〕令an≥bn，顯然n≤3時(shí)恒成立，當(dāng)n≥4時(shí)，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤eq\f(465,11)，∴第42個(gè)月底，保有量到達(dá)最大．當(dāng)n≥4，{an}為公差為﹣10等差數(shù)列，而{bn}為公差為1的等差數(shù)列，∴到第42個(gè)月底，共享單車保有量為eq\f(a4+a42,2)×39+535-eq\f(b1+b42,2)×42=eq\f(430+50,2)×39+535-eq\f(6+47,2)×42=8782．又S42=﹣4×(42-46)2+8800=8736，8782＞8736，∴第42個(gè)月底共享單車保有量超過了停放點(diǎn)的單車容納量．20．〔2023年上?！吃谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，橢圓Γ：eq\f(x2,4)+y2=1，A為Γ的上頂點(diǎn)，P為Γ上異于上、下頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，M為x正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．〔1〕假設(shè)P在第一象限且|OP|=eq\r(2)，求P的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)P〔eq\f(8,5),eq\f(3,5)〕，假設(shè)以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求M的橫坐標(biāo)；〔3〕假設(shè)|MA|=|MP|，直線AQ與Γ交于另一點(diǎn)C且eq\o(\s\up5(→),\s\do0(AQ))=2eq\o(\s\up5(→),\s\do0(AC))，eq\o(\s\up5(→),\s\do0(PQ))=4eq\o(\s\up5(→),\s\do0(PM))，求直線AQ的方程．20.【解析】〔1〕設(shè)P〔x，y〕〔x＞0，y＞0〕，由點(diǎn)P在橢圓Γ：eq\f(x2,4)+y2=1上且|OP|=eq\r(2),可得eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(x2,4)+y2=1，,x2+y2=2，))解得x2=eq\f(4,3),y2=eq\f(2,3)，那么P〔eq\f(2eq\r(3),3)，eq\f(eq\r(6),3)〕．〔2〕設(shè)M〔x0，0〕，A〔0，1〕，P〔eq\f(8,5)，eq\f(3,5)〕.假設(shè)∠P=90°，那么eq\o(\s\up5(→),\s\do0(PA))?eq\o(\s\up5(→),\s\do0(PM))=0，即〔-eq\f(8,5)，eq\f(2,5)〕?〔x0﹣eq\f(8,5)，﹣eq\f(3,5)〕=0，∴〔﹣eq\f(8,5)〕x0+eq\f(64,25)-eq\f(6,25)=0，解得x0=eq\f(29,20)．假設(shè)∠M=90°，那么eq\o(\s\up5(→),\s\do0(MA))?eq\o(\s\up5(→),\s\do0(MP))=0，即〔﹣x0，1〕?〔eq\f(8,5)﹣x0，eq\f(3,5)〕=0，∴x02-eq\f(8,5)x0+eq\f(3,5)=0，解得x0=1或x0=eq\f(3,5).假設(shè)∠A=90°，那么M點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，不合題意．∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為eq\f(29,20)或1或eq\f(3,5)．〔3〕設(shè)C〔2cosα，sinα〕，∵eq\o(\s\up5(→),\s\do0(AQ))=2eq\o(\s\up5(→),\s\do0(AC))，A〔0，1〕，∴Q〔4cosα，2sinα﹣1〕.又設(shè)P〔2cosβ，sinβ〕，M〔x0，0〕，∵|MA|=|MP|，∴x02+1=〔2cosβ﹣x0〕2+〔sinβ〕2，整理得x0=eq\f(3,4)cosβ.∵eq\o(\s\up5(→),\s\do0(PQ))=〔4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1〕，eq\o(\s\up5(→),\s\do0(PM))=〔-eq\f(5,4)cosβ，﹣sinβ〕，eq\o(\s\up5(→),\s\do0(PQ))=4eq\o(\s\up5(→),\s\do0(PM))，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ.∴cosβ=﹣eq\f(4,3)cosα，sinβ=eq\f(1,3)〔1﹣2sinα〕.以上兩式平方相加，整理得3〔sinα〕2+sinα﹣2=0，∴sinα=eq\f(2,3)或sinα=﹣1〔舍去〕.此時(shí)，直線AC的斜率kAC=eq\f(sinα-1,2cosα)=eq\f(eq\r(5),10)〔負(fù)值已舍去〕，如圖．∴直線AQ的方程為為y=eq\f(eq\r(5),10)x+1．21．〔2023年上?！吃O(shè)定義在R上的函數(shù)f〔x〕滿足：對于任意的x1，x2∈R，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f〔x1〕≤f〔x2〕．〔1〕假設(shè)f〔x〕=ax3+1，求a的取值范圍；〔2〕假設(shè)f〔x〕是周期函數(shù)，證明：f〔x〕是常值函數(shù)；〔3〕設(shè)f〔x〕恒大于零，g〔x〕是定義在R上的恒大于零的周期函數(shù)，M是g〔x〕的最大值．函數(shù)h〔x〕=f〔x〕g〔x〕．證明：“h〔x〕是周期函數(shù)〞的充要條件是“f〔x〕是常值函數(shù)〞．21.【解析】〔1〕由f〔x1〕≤f〔x2〕，得f〔x1〕﹣f〔x2〕=a〔x13﹣x23〕≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的取值范圍是[0，+∞〕.〔2〕證明：假設(shè)f〔x〕是周期函數(shù)，記其周期為Tk，任取x0∈R，那么有f〔x0〕=f〔x0+Tk〕.由題意，對任意x∈[x0，x0+Tk]，f〔x0〕≤f〔x〕≤f〔x0+Tk〕，∴f〔x0〕=f〔x〕=f〔