FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)

FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)按頻域采樣定理由Hd(k)求H(z)或h(n)，其流圖如下：

設(shè)計(jì)過程和公式為使設(shè)計(jì)的濾波器為線性相位濾波器，濾波器的頻率響應(yīng)及其頻率采樣值H(k)必須滿足一定的條件。一般而言，給定的理想濾波器的幅度響應(yīng)只給出了范圍頻率采樣的幅度值，∴上式中的k只能取0到N/2這(N/2+1)點(diǎn)，另外(N/2-1)點(diǎn)(從N/2+1到N-1)則需根據(jù)線性相位的奇偶對(duì)稱條件求得。下面以偶對(duì)稱條件h(n)=h(N-n-1)為例說明設(shè)計(jì)公式。2FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)對(duì)在等間隔N點(diǎn)采樣得H(k)

,k=0,1,…,N-1對(duì)線性相位濾波器，其相位響應(yīng)為：幅度響應(yīng)設(shè)的頻響為：3FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)∴對(duì)頻率采樣的幅度值有：N為奇數(shù)

N為偶數(shù)

按線性相位的偶對(duì)稱條件:若N為偶數(shù)，對(duì)π為奇對(duì)稱:

對(duì)π為偶對(duì)稱:

若N為奇數(shù)，，k=0,1,…,(N-1)/2按式對(duì)相位進(jìn)行頻率采樣得：4FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)對(duì)N為偶數(shù)，(N-1)為奇數(shù)∴取，k=0,1,…,N/2-1對(duì)N為奇數(shù)，(N-1)為偶數(shù)∴取，k=0,1,…,(N-1)/2綜合以上分析，可得到設(shè)計(jì)公式如下：5FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)綜合以上分析，可得到設(shè)計(jì)公式如下：對(duì)N為奇數(shù)，設(shè)計(jì)公式為：k=0,1,…,(N-1)/2，k=0,1,…,N/2-1對(duì)N為偶數(shù)，設(shè)計(jì)公式為：6FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)濾波器的頻率響應(yīng)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)將代入頻率采樣公式得：其中在采樣點(diǎn)但在采樣點(diǎn)之間，兩者誤差與特性的平滑程度有關(guān)：

在幅度曲線的平滑段，誤差較小，但在曲線的間斷點(diǎn)附近，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，使得濾波器的阻帶性能變壞。誤差還與采樣點(diǎn)數(shù)N有關(guān)，N越大誤差越小。7FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)為提高阻帶衰減，常用增加過渡帶法如右圖8FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)優(yōu)化原則：在通帶內(nèi)要求在阻帶內(nèi)要求例

用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，通帶截止頻率的偶對(duì)稱情況。，采樣點(diǎn)數(shù)N=20，采用h(n)=h(N-n-1)解：∵N=20，在范圍內(nèi)等間隔采樣，顯然，在通帶共有3個(gè)采樣點(diǎn)，分別是k=0,1,2采樣間隔為：又∵N為偶數(shù)，可得：9FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)將和代入求得，進(jìn)而求得或再利用式（6-3-11）和式（6-3-12）就可求出頻率響應(yīng)其相位響應(yīng)由式（6-3-6）給出，為線性相位。過渡帶為：2p/20=p/10其幅度響應(yīng)如下圖，圖中還給出了其單位脈沖響應(yīng)10FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)由上圖d）可見，所設(shè)計(jì)的濾波器的阻帶衰減很小，只有-16dB。為了改進(jìn)阻帶衰減，在邊界頻率處增加一個(gè)過渡點(diǎn)，為了保證過渡帶寬不變，將采樣點(diǎn)數(shù)增加一倍，變?yōu)镹=40，并將過渡點(diǎn)的采樣值進(jìn)行優(yōu)化，取H1=0.3904，得到和分別為過渡帶為（2p/40×2）=p/10，求得的單位脈沖響應(yīng)和幅度響應(yīng)如下圖所示。FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)11FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)12FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)由上圖d）可見，這時(shí)阻帶衰減達(dá)到了-43dB。為了進(jìn)一步增加阻帶衰減，可再增加一個(gè)過渡采樣點(diǎn)，并將采樣點(diǎn)數(shù)增加到60，兩個(gè)過渡樣點(diǎn)值經(jīng)優(yōu)化分別為=0.5925和=0.1099,相應(yīng)的和分別為過渡帶為（2p/60×3）=p/10所得單位脈沖響應(yīng)和幅度響應(yīng)如下圖所示。13FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)14FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)頻率采樣法可以直接從頻域出發(fā)進(jìn)行設(shè)計(jì)，比較簡單。這種方法最適合于設(shè)計(jì)窄帶濾波器。由上圖可見，這時(shí)阻帶衰減達(dá)到了-63dB，還可以通過進(jìn)一步增加過渡樣點(diǎn)來增加阻帶衰減。顯然，在保證過渡帶寬不變的情況下，相應(yīng)的采樣點(diǎn)數(shù)也就隨著成倍的增加，這樣將使濾波器的復(fù)雜度大大增加，在實(shí)現(xiàn)濾波時(shí)計(jì)算量也就隨著增加。FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)15FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)§4

FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器幅度響應(yīng)為，實(shí)際逼近的幅度響應(yīng)為，加權(quán)誤差為，則：將指定的頻帶記為A(包括通帶和阻帶)，切比雪夫等波紋最佳逼近的設(shè)計(jì)的準(zhǔn)則是，選擇FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)使得在A內(nèi)誤差函數(shù)的最大絕對(duì)值最小。將該最小值記為，則有：預(yù)先指定的誤差加權(quán)函數(shù)下面介紹切比雪夫等波紋最佳逼近方法的基本思想和方法。16FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器幅度特性的表示FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)FIR線性相位濾波器的幅度響應(yīng)有四種情況，將四種情況的統(tǒng)一表示為：其中是已知的三角函數(shù)，是關(guān)于的線性組合，

下表列出了對(duì)于四種不同情況的及的表達(dá)式。17FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)表中的系數(shù)與原系數(shù)和

的關(guān)系為：（6-4-4）（6-4-5）（6-4-6）18FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)將（6-4-3）式代入（6-4-1）式，得：因而最優(yōu)化的問題變成了選擇的系數(shù)使誤差函數(shù)的最大絕對(duì)值最小。19FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)利用切比雪夫等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器的原理FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)交錯(cuò)定理：設(shè)為的線性組合，即：在A上能唯一的最佳逼近連續(xù)函數(shù)的充分必要條件是加權(quán)誤差函數(shù)在A內(nèi)至少有r+1個(gè)極值頻率點(diǎn)，即在A內(nèi)必須存在r+1個(gè)頻率點(diǎn)，其中且

及

則以情況1為例，討論線性相位濾波器幅度響應(yīng)極值數(shù)目的約束問題20FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)表示成多項(xiàng)式：將余弦函數(shù)將其代入對(duì)情況1的，得：

式中r=(N+1)/2，是與和有關(guān)的常數(shù)求極值頻率，將對(duì)ω微分一次得：21FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)根據(jù)等波紋最佳一致逼近定理，誤差函數(shù)至少應(yīng)有r+1個(gè)極值，因此本身至少還應(yīng)再增加一個(gè)獨(dú)立極值。對(duì)理想低通特性的，的邊界頻率和也是的極值點(diǎn)(不是的極值點(diǎn))，這樣就有r+2個(gè)極值頻率(這種情況稱為超波紋逼近)。上式右邊余弦函數(shù)多項(xiàng)式的最高階次為r-2=(N-3)/2，應(yīng)有r-2個(gè)根，sinω在ω=0和ω=π處有兩個(gè)根(零點(diǎn))，∴在區(qū)間[0,π]上，應(yīng)有r個(gè)極值點(diǎn)。對(duì)逐段恒定的幅度特性，的極值點(diǎn)也是的極值點(diǎn)22FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)例如，N=13，(N+1)/2=7時(shí)幅度特性最多有7個(gè)極值點(diǎn)，而誤差函數(shù)E(ω)有9個(gè)極值點(diǎn)，如下圖所示。23FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)求解方法及Remez算法FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)設(shè)已知在A上r+1個(gè)極值頻率為：將這些頻率代入式式中

按最佳逼近定理得：令an=B(n)，將上式寫成矩陣形式：24FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)

上式中有r+1個(gè)極值頻率需要求解，實(shí)際求解起來很困難。引入Remez算法25FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)Remez算法的計(jì)算步驟FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)Remez算法：靠一次次迭代求得一組交錯(cuò)點(diǎn)即極值頻率點(diǎn)，從而求出系數(shù)，而且在每一次求解極值頻率的迭代過程中能夠避免直接求解。具體步驟為：

①首先給出r+1個(gè)極值頻率的初始估計(jì)值，通常在A上等間隔地取r+1個(gè)初始頻率點(diǎn),即由下式計(jì)算δ值式中

一般不可能是最優(yōu)值26FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)②

將δ值及r+1個(gè)極值頻率點(diǎn)代入(6-4-13)式，可求得的離散值利用拉格朗日（Lagrange）插值公式,可由的離散

(6-4-16)值得到連續(xù)的FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)27FIR濾波器頻率采樣法相關(guān)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)將代入(6-4-10)式可求得誤差函數(shù)E(ω)。若在子集A的所有頻率上都有，則δ是最佳的極值，初始估計(jì)值恰好就是交錯(cuò)點(diǎn)組，工作可結(jié)束。若在某些頻率點(diǎn)處，則初始估計(jì)的極值點(diǎn)不對(duì)，然后在這些點(diǎn)附近搜索局部極值點(diǎn)