第章 代數(shù)方程的Galois理論

第5章代數(shù)方程的Galois理論西南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院張廣祥E.Galois1811-183215.1低次方程的求根公式解3次方程x3+ax2+bx+c=0代換y=x+a/3得y3+py+q=0代換y=u+v則y3=u3+v3+3uvyy3-3uvy

-(u3+v3)=0對比系數(shù):uv=-p/3,u3+v3=-q解輔助方程t2+qt-p3/27=0(Lagrange預(yù)解式)求出u3與v3.J.Lagrange,17712解3次代數(shù)方程求出u,v:Y1=u+v,y2=u+2v,y3=2v+v35.2對稱多項式定義5.2.1對稱多項式;初等對稱多項式定理5.2.2(對稱多項式基本定理)每個對稱多項式f(x1,…,xn)都是初等對稱多項式的多項式f(x1,…,xn)=g(1,…,n),而且g的系數(shù)是f系數(shù)的有理整式.4

4次方程求根公式解4次代數(shù)方程z4+az3+bz2+cz+d=0代換z=x-a/4得x4+px2+qx+r=0再代換

J.Lagrange,1771解方程y3+b1y2+b2y+b3=0,b1=-2p,b2=p2-4r,b3=q2(Lagrange預(yù)解式)5

5.1-5.2作業(yè)練習5.1題1,2練習5.2題26

5.3多項式的分裂域定義5.3.1系數(shù)域;根的分裂域引理5.3.2f(x)F[x],若f(x)=a(x-1)…(x-n)則分裂域為F(1,…,n)定理5.3.3f(x)F[x],則存在f(x)在F上的分裂域.證由單代數(shù)擴存在性定理3.2.2,對f(x)的不可約因子p(x),有1使p(1)=0,f(x)=(x-1)g(x)定理5.3.5分裂域唯一到同構(gòu).7正規(guī)擴域定義5.3.6正規(guī)擴域:EF,若不可約f(x)∈F[x]在E中有一個根,E就含f(x)的所有根.定理5.3.7設(shè)f(x)∈F[x],E是分裂域,則E是正規(guī)擴域.證反證法.設(shè)f(x)全體根1,…n,則E=F(1,…n).若不可約p(x)∈F[x],p(x)=0在E有根,但p(x)在E上不能分解為1次因式之積.8正規(guī)擴域p(x)=(x-)q(x),q(x)有次數(shù)m大于1的不可約因子q1(x)∈E[x],由單代數(shù)擴域存在性定理3.2.4存在E(),使在E上極小多項式是q1(x).現(xiàn)在q1()=0,所以p()=0,由單代數(shù)擴域唯一性定理3.2.4F()≌F().因此F()[x]≌F()[x].且f(x)在同構(gòu)下不變.F(,1,…n)是f(x)在F()上的分裂域,F(,1,…n)是f(x)在F()上的分裂域.9正規(guī)擴域于是由分裂域唯一性定理5.3.5F(,1,…n)≌F(,1,…n)=E另一方面|E:F|=|F(,1,…n):F|=|E():E|.|E:F|=m|E:F|矛盾.10非正規(guī)擴域的例例5.3.1設(shè)F=Q,是x3-2=0的一個根,證明F()不是F的正規(guī)擴域.證首先x3-2=0在F上不可約,故|F():F|=3.如果F()是F的正規(guī)擴域,那么F()應(yīng)該是x3-2在F上的分裂域.下證|分裂域:F|=6x3-2=0的3個根是,,2.取是實根,則F()不含,|分裂域:F|=6.11練習5.3

作業(yè):題2,3,55.5代數(shù)基本定理(略)12

5.4有限域定理5.4.1(1)有限域F一定含q=pn個元,p是素數(shù).(2)含q=pn個元的有限域F是多項式xq-x的分裂域.(3)元素個數(shù)相同的有限域互相同構(gòu).證(1)素域Zp上n維向量空間.(2)q-1階循環(huán)群F*滿足xq-1-1=0.(3)分裂域唯一到同構(gòu).13

5.4有限域定理5.4.2q個元素的有限域F,非零元素乘群F*循環(huán),因此有限域F是素域上的單代數(shù)擴區(qū)域.練習5.4題4145.5代數(shù)基本定理定理每個復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域中至少有一個根,由此n次多項式共有n個復(fù)數(shù)根(包括重根).注高斯1799年(21歲)在他的博士論文《一個單變量有理數(shù)方程分解為1次或2次因式乘積的新證明》中第一次正確地證明了這一定理.高斯180315

5.6Galois群定義5.6.1(1)有限可分正規(guī)擴域稱為Galois擴域.(2)假定E是F的Galois擴域,將E的全體使F的元素不變的域自同構(gòu)所組成的群稱為擴域E/F的Galois群,記為Gal(E/F).(3)一個方程f(x)F[x]的Galois群是指f(x)在F上的分裂域E的Galois群.16

5.6Galois群注1方程的Galois群也是根的置換群.注2因為E是F的有限可分擴域,因此E是F的單代數(shù)擴域E=F(),設(shè)的極小多項式p(x)次數(shù)m,則|E:F|=m.另一方面,由正規(guī)性p(x)=0在E中有m個根:=1,…,m,由可分性,這m個根互不相同,則到i的置換i都是Galois群的元,這樣的元素恰有m個,因此|Gal(E/F)|=|E:F|=m.17

5.6Galois群—Galois基本定理1定理5.6.2設(shè)E是F的Galois擴域,G=Gal(E/F).則(1)每個中間域ELF,對應(yīng)一個中間子群1≤H≤G,且H=Gal(E/L)(2)反之中間子群1≤H≤G,對應(yīng)一個中間子域ELF,且L=InvE(H)(3)上面的對應(yīng)是一一對應(yīng),并把正規(guī)擴域L/F對應(yīng)到正規(guī)子H,并且G/H≌Gal(L/F)18

Galois基本定理Galois群對應(yīng):E1FGLH19

Galois基本定理證明證明(1)若L是中間域,易知G的所有固定L的元素滿足子群條件,成為一個子群H.按定義H=Gal(E/L).(2)反之對G的子群H,H,若固定a,bE,則固定a-b與a/b,因此H的固定元素成為E的子域L=InvE(H)(3)按定義H=Gal(E/L)與L=InvE(H)同時發(fā)生,對應(yīng)是一一的.20

Galois基本定理證明下面證明最后一個結(jié)論:若gG使Lg

=L1,H=Gal(E/L),H1=Gal(E/L1).aL,a1=ag,ah=a.現(xiàn)在說明若

L1=Lg,則H1=g-1Hg=Hg,反之也對.注意Lg=F(g).因此共軛的子域?qū)?yīng)共軛的子群;正規(guī)子域?qū)?yīng)正規(guī)子群.21

Galois群例1例5.6.1設(shè)F=Q,E=F(√2,√3),求Galois群G=Gal(E/F).解E是f(x)=(x2-2)(x2-3)在F上的分裂域.f(x)=0的4個根1,2,3,4=√2,-√2,√3,-√3.但G的元素把(x2-2)與(x2-3)都不變,因此G的元素把√2變?yōu)椤馈?;把√3變?yōu)椤馈?;G是一個4階群,G≌{(diào)1,(12),(34),(12)(34)}22

Galois群例2求方程f(x)=x4-2在有理數(shù)域F上的Galois群.解首先求x4-2在F上的分裂域E=F(,i),|E:F|=8=.1,2,3,4=,-,i,-i.1,2,3,4,5,6,7,8,:--ii-i-i

i:ii-i-i--G={1,(12),(34),(12)(34),(13)(24),(1324),(1423),(14)(23)}23

5.6Galois基本定理證明作業(yè):練習5.6題1,2,5思考題:題624

5.7方程的Galois理論代數(shù)方程的根式解是指對于方程的系數(shù)進行代數(shù)運算(加、減、乘、除、開方)求出方程的根對的理解一個令人驚嘆的事實：Galois發(fā)現(xiàn)方程的可解性由方程根的置換群（Galois群）的可解性決定25

5.7方程的Galois理論定義5.7.5一個群G稱為可解群,如果存在子群列G=G1?G2?…?Gn-1?Gn=1使得相鄰商群Gi-1/Gi

都是交換群.26方程的Galois理論例5.7.2對稱群S3是可解群.例5.7.3對稱群S4是可解群.例5.7.4對稱群Sn

(n≥5)不可解.27方程的Galois理論定理5.7.6(E.Galois)設(shè)f(x)∈F[x],方程f(x)=0有根式解的充分必要條件是f(x)的Galois群是可解群.定理5.8.1(N.Abel,1824)5次和5次以上的一般系數(shù)多項式方程不可解.28Galois理論基本定理2定理5.7.6(Galois基本定理2)設(shè)f(x)∈F[x],方程f(x)=0有根式解的充分必要條件是f(x)的Galois群是可解群.引理1(5.7.2)若域F包含n次本原單位根,則Gal(E/F)是循環(huán)群當且僅當E=F(),a∈F.引理2(5.7.3)方程xn-1=0有根式解.引理3(5.7.4)設(shè)LF,f(x)∈F[x],E/F與K/L都是f(x)的分裂域,則Gal(E/F)Gal(K/L).29Galois理論基本定理2證明:必要性定理證明:必要性.若f(x)=0有根式解,E是分裂域,要證G=Gal(E/F)是可解群.不妨假定在分裂域E中添加需要的單位根得到擴域KE.記G1=Gal(K/F),G1～G.有根式解意味著在系數(shù)域F中逐次添加形如的元,由引理1每次添加對應(yīng)的Galois群都循環(huán),因此G1有次正規(guī)列,因子群循環(huán),G1可解,G也可解.30Galois理論基本定理2證明:充分性下面證明充分性:假定G=Gal(E/F)是可解群,|G|=n.設(shè)是n次本原單位根,K=E(),L=F().由引理3G1=Gal(K/L)是G的子群,也可解.G1有合成列G1?G2?…Gs?1且Gi/Gi+1階為素數(shù)pi,由Galois基本定理1存在擴域序列K=K1K2…Ks=L,相鄰擴域次數(shù)為素數(shù)pi,由引理1這些擴域都可以通過添加形如的元素而得到.那么E也可以通過在F中添加形如的元素而得到.方程存在根式解.31不可解方程例5.8.1方程x5-x-1/2=0在有理數(shù)域上沒有根式解.評論