2022-2023學(xué)年河北省滄州市任丘市高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省滄州市任丘市第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知點，則點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】關(guān)于軸對稱，則坐標(biāo)值不變，坐標(biāo)變?yōu)榛橄喾磾?shù)即可.【詳解】解：因為關(guān)于軸對稱，則坐標(biāo)值不變，坐標(biāo)變?yōu)榛橄喾磾?shù)所以，點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為故選：D.2．以點為圓心，兩平行線與之間的距離為半徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平行直線間距離公式可求得圓的半徑，由圓心和半徑可得圓的方程.【詳解】直線方程可化為，則兩條平行線之間距離，即圓的半徑，所求圓的方程為：.故選：B.3．直線，（，a、）的圖象可能是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】首先假定每個選項中的圖象正確，則可得正負(fù)，由此可確定圖象所經(jīng)過的象限，對比選項中的圖象即可得到結(jié)果.【詳解】將化為，將化為.對于A，若圖象正確，則，，圖象經(jīng)過第一、二、四象限，A不正確；對于B，若圖象正確，則，，圖象經(jīng)過第一、二、三象限，B不正確；對于C，若圖象正確，則，則，，圖象經(jīng)過第一、二、四象限，C不正確；對于D，若圖象正確，則，，圖象經(jīng)過第二、三、四象限，D正確.故選：D.4．已知圓（a，b為常數(shù)）與．若圓心與關(guān)于直線對稱，則圓與的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．相切 D．外離【答案】B【分析】根據(jù)條件求出的圓心，再根據(jù)圓心的距離即可判斷.【詳解】依題意，所以，又，，，，，所以兩個圓相交；故選：B.5．在三棱錐中，平面，D，E，F(xiàn)分別是棱的中點，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量可求線面角的正弦值.【詳解】因為平面，而平面，故，而，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則且，故，故，，，設(shè)平面的法向量為，則：由可得，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則.故選：B.6．已知雙曲線與橢圓：的焦距相等，且其中一個頂點坐標(biāo)為，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由橢圓方程可得雙曲線的半焦距c，再由頂點坐標(biāo)可得a，然后可解.【詳解】橢圓：的半焦距為所以雙曲線的半焦距，又雙曲線一個頂點坐標(biāo)為，所以所以因為雙曲線焦點在x軸上，所以漸近線方程為.故選：A7．已知圓，直線，設(shè)圓上到直線的距離等于1的點的個數(shù)為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】求出圓心到直線的距離，數(shù)形結(jié)合判斷出圓上到直線的距離等于1的點的個數(shù).【詳解】圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，設(shè)交點分別為，則劣弧上的點到直線的最大距離為，故在劣弧上只有一個點到直線的距離等于1，優(yōu)弧上到直線的距離就一定有2個，所以..故選：C8．已知，是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，且，則的內(nèi)切圓的半徑（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程求出、、的值，即可得到、、的值，從而求出的面積，再利用等面積法求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】解：橢圓中，，，則，、∴，，∴．∵，，∴，∵，∴，解得．故選：C．二、多選題9．已知橢圓與雙曲線，下列關(guān)于兩曲線的說法正確的是（

）A．的長軸長與的實軸長相等 B．的短軸長與的虛軸長相等C．焦距相等 D．離心率不相等【答案】CD【分析】利用橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】由題意可知，橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，當(dāng)時，，，雙曲線的焦點在軸上，其實軸長為，虛軸長為，焦距為，離心率為.故的長軸長與的實軸長不相等，的短軸長與的虛軸長不相等，與的焦距相等，離心率不相等．故選：CD．10．下列說法正確的有（

）A．直線過定點（－，0）B．過點（2，0）作圓的切線l，則l的方程為C．圓上存在兩個點到直線的距離為2D．若圓與圓有唯一公切線，則【答案】AC【分析】A.將直線變形，觀察可得定點；B.分斜率存在和不存在求出切線方程；C.通過圓心到直線的距離來判斷；D.由已知的兩圓內(nèi)切，根據(jù)圓心距離等于半徑差列式計算.【詳解】對于A：直線變形為，令，則，直線過定點（－，0），A正確；對于B：（1）當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線∵直線與圓相切∴圓心到直線的距離∴∴直線方程為；（2）當(dāng)斜率不存在時，，B錯誤；對于C：圓的半徑，圓心到直線的距離，所以存在兩點到直線距離為2，C正確；對于D：圓與圓兩圓有唯一公切線，所以兩圓相內(nèi)切，∴或者∴或者解得．D錯誤.故選：AC.11．如圖，正方體中E，F(xiàn)，G分別為的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．點與點到平面的距離相等D．平面截正方體所得大小兩部分的體積比為【答案】BD【分析】本題對線線角通過轉(zhuǎn)化找到其異面直線夾角，對線面平行轉(zhuǎn)化成證明線線平行，對點到平面距離是否相等，通過反證法，得到與其矛盾的結(jié)論，對組合體體積進(jìn)行合理分割求解即可.【詳解】對于A，由正方體,得,是直線與直線所成角，連接，而平面，，在中，不可能是直角，直線與直線不垂直，故A錯誤；對于B，連接，則，，平面，平面，平面，平面，故B正確；對于C，若點與點到平面的距離相等，則平面必過的中點,連接于,且不是的中點，則平面不過的中點,即點與點到平面的距離不相等,故C錯誤；對于D，，，等腰梯形即為平面截正方體所得截面，正方體被平面所截的后半部分，即較小的那部分空間幾何體，設(shè)其體積為，它是由四棱錐和三棱錐組成，易得，剩余部分體積，，故D正確；故選：BD.【點睛】本題難度較大，綜合性較強，主要考察在正方體中的線線關(guān)系，線面關(guān)系，點到平面距離，空間幾何體體積等，尤其D選項中的組合體體積，需要對其進(jìn)行合理分割再去求解.12．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．當(dāng)n過時，光由所經(jīng)過的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則【答案】CD【分析】對于A：判斷出，由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；對于B：利用雙曲線的定義直接求得；對于C：先求出雙曲線的漸近線方程，由P在雙曲線右支上，即可得到n所在直線的斜率的范圍；對于D：設(shè)直線PT的方程為.利用相切解得，進(jìn)而求出.即可求出.【詳解】對于A：若，則.因為P在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：二者聯(lián)立解得：.故A錯誤；對于B：光由所經(jīng)過的路程為.故B錯誤；對于C：雙曲線的方程為.設(shè)左、右頂點分別為A、B.如圖示：當(dāng)與同向共線時，的方向為，此時k=0，最小.因為P在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.故C正確.對于D：設(shè)直線PT的方程為.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在雙曲線右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正確故選：CD三、填空題13．已知直線l1：ax＋4y－2＝0與直線l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c的值為________．【答案】-4【分析】首先根據(jù)垂直得出求出的值，再由再直線和求出的值，算出結(jié)果．【詳解】直線l1：ax＋4y－2＝0與直線l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，得在直線上，帶入求得故答案為14．設(shè)P是拋物線上的一個動點，則點P到點的距離與點P到直線的距離之和的最小值為________．【答案】【分析】利用拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為，因為直線是該拋物線的準(zhǔn)線，所以點P到直線的距離等于，所以當(dāng)在同一條直線上時，點P到點的距離與點P到直線的距離之和的最小，最小值為，故答案為：15．已知，B是圓C：上的任意一點，線段BF的垂直平分線交BC于點P.則動點P的軌跡方程為______.【答案】【分析】結(jié)合線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等及橢圓定義得到正確答案．【詳解】解：圓，圓心為，半徑為4，因為線段的垂直平分線交于點，所以，所以．所以由橢圓定義知，的軌跡是以，為焦點的橢圓，方程為．故答案為：．16．已知橢圓：的左頂點為，上頂點為，右焦點為，且是等腰三角形，則橢圓的離心率為___________．【答案】【分析】先根據(jù)橢圓方程確定題中三點的坐標(biāo)，并求出的三邊長，再根據(jù)是等腰三角形列等式求解可得，從而橢圓的離心率為.【詳解】根據(jù)橢圓方程，可得，，，，，，有，，若是等腰三角形，則，有，兩邊平方整理得，把，代入得，又，所以，.離心率.故答案為：.四、解答題17．在中，，，與BC斜率的積是．(1)求點的軌跡方程；(2)，求PC的中點的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)點C坐標(biāo)，根據(jù)題意直接列方程可得；（2）由相關(guān)點法可得.【詳解】（1）設(shè)點C坐標(biāo)為，由題知整理得點的軌跡方程為（2）設(shè)點M坐標(biāo)為，點C坐標(biāo)為由中點坐標(biāo)公式得，即將代入得點的軌跡方程為：，即18．已知圓經(jīng)過點，，且______．從下列3個條件中選取一個，補充在上面的橫線處，并解答．①與軸相切；②圓恒被直線平分；③過直線與直線的交點C．(1)求圓的方程；(2)求過點的圓的切線方程．【答案】(1)任選一條件，方程都為(2)或【分析】(1)選①，設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意列出方程組，求解即可；選②，由題意可得直線恒過為圓的圓心，代入A點坐標(biāo)即可求解；選③，求出兩直線的交點為，根據(jù)圓過A，B，C三點求解即可；(2)先判斷出點P在圓外，再分切線的斜率存在與不存在分別求解即可.【詳解】（1）解：選①，設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，則圓的方程為；選②，直線恒過，而圓恒被直線平分，所以恒過圓心，因為直線過定點，所以圓心為，可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓經(jīng)過點，得，則圓的方程為．選③，由條件易知，設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，則圓的方程為，即．綜上所述，圓的方程為；（2）解：因為，所以點P在圓外，若直線斜率存在，設(shè)切線的斜率為，則切線方程為，即所以，解得．所以切線方程為，若直線斜率不存在，直線方程為，滿足題意．綜上過點的圓的切線方程為或．19．已知直線與雙曲線．(1)若，求l與C相交所得的弦長；(2)若l與C有兩個不同的交點，求雙曲線C的實軸長的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式求l與C相交所得的弦長；（2）聯(lián)立直線與雙曲線得，由已知討論、，結(jié)合判別式求參數(shù)a的范圍，進(jìn)而可得實軸長的取值范圍．【詳解】（1）由題設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線并整理得：，若交點為、，則，，所以相交弦長.（2）由，直線代入整理得：，當(dāng)時，則l與C僅有一個交點，不合題意；當(dāng)時，，可得且；綜上，實軸長.20．如圖，四棱錐中，平面，底面是正方形，，E為PC中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由題意可得，又由三角形為等腰直角三角形，E為PC中點，可得，即可證明；(2)建立以D為坐標(biāo)原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸的空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：∵平面，平面，∴，又∵正方形中，，，∴平面，又∵平面，∴，∵，是的中點，，，且平面，平面．∴平面PCB．（2）解：以點D為坐標(biāo)原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知：，，，，則，，設(shè)平面BDE的法向量為，則，所以，令，得到，，∴又∵，，則，因為平面，平面，∴，又∵正方形中，，，所以平面PDB，∴平面PDB的一個法向量為．則．設(shè)二面角的平面角為，所以．∴．所以二面角的正弦值為．21．已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)直線：，，；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果；（2）設(shè)直線：；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得到韋達(dá)定理的形式；利用可得，結(jié)合韋達(dá)定理可求得；根據(jù)弦長公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線方程為：，，由拋物線焦半徑公式可知：

聯(lián)立得：則

，解得：直線的方程為：，即：（2）設(shè)，則可設(shè)直線方程為：聯(lián)立得：則

，

，

則【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到平面向量、弦長公式的應(yīng)用.關(guān)鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，通