高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第61講數(shù)系擴充與復(fù)數(shù)

高考數(shù)學(xué)總61數(shù)系的擴充與復(fù)勞動中，由于計數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1,2,3,4,等數(shù)以及表示“沒有”的數(shù)0。自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N。有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要人們又引進了負(fù)數(shù)這樣就把數(shù)集擴充到有理數(shù)集Q顯然 Q Q、 ⑴i21i可以與實數(shù)一起進行四則運算，并且加、乘法運算律不變。Ⅱ、-1的平方根：由于i2i)21，因此1的平方根為i。Ⅲ、i的周期性：i4n1i4n1ii4n21i4n3i，其中nN實部，b叫復(fù)數(shù)的虛部。當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。即abi與abi是互如果兩個復(fù)數(shù)abicdiabcdR相等的充分必要條件是：它們的實部相等，且虛部相等ac即bda,ba,b復(fù)數(shù)a實數(shù)b0a非純虛數(shù)非純虛數(shù)a虛數(shù)b純虛數(shù)az1abiz2cdia,b,c,dRz1z2abicdiacbd)i。z1z2z2z1z1z2z3z1z2z3z1abiz2cdia,b,c,dRz1z2abicdiacbdi。z1abiz2cdia,b,c,dRabicdiacbdbcad)i⑵兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成1，并且把實部與虛部分別合并。z1z2z2z1z1z2z3z1z2)z3z1z2z3z1z2z1z3設(shè)復(fù)數(shù)abia，bR，除以cdic，dRxyi(x，yR，即abic

xyi(xyi)(cdi)(cxdy)(dxcy)i(cxdy)(dxcy)iabicxdy由復(fù)數(shù)相等定義可得dxcyxacbd解這個方程組，得y

c2dbcadc2dac bc于是(abi)(cdi) ic2d c2dc

a (abi)(cdi acbi(di)(bcad∴(abi)(cdi) c (cdi)(cdi c2d(acbd)(bcad ac bc c2d

c2d

c2d2i 設(shè)點Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)zabia,bR可用點Za,b表示，稱建立虛軸上除原點外的點都表示純虛數(shù)。因為原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為0,0 它所確定的復(fù)數(shù)z00i0Za,b一一對應(yīng)平面向量OZ。zabi一一對應(yīng)平面向量OZ。z1abiz2cdia,b,c,dR，在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量為OZ1、OZ2，則OZ1OZ2的坐標(biāo)形式為OZ1ab、OZ2c,d如圖，以O(shè)Z1、OZ2為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則對角線OZ對應(yīng)的向量是OZ。OZOZ1 a,bc,dac,bd∴向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)zacbdi。Ⅳ、復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)減法是加法的逆運算z1abiz2cdiabcdRzacbdizz1z2z1z2z，由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以O(shè)Z為一條對角線，OZ1為一條邊畫平行四邊形OZ1ZZ2，那么這個平行四邊形OZ1ZZ2的另一邊OZ2所表示的向量OZ2z2對應(yīng)，即與復(fù)數(shù)zz1z2cdi對應(yīng)。由于OZ2Z1Zzz1與連接這兩個

m23m 案例1：復(fù)數(shù)z mm3

m6i，當(dāng)實數(shù)m為何值時？（1）z為實數(shù)；（2）z （3a限當(dāng)且僅當(dāng)b0

ab b （3）m23m m5m解：z m2m6i m3m2im mz為實數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)m20，即m2。所以當(dāng)m2時，z為實數(shù)。z為虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)m3m20，即m3且m2。所以當(dāng)m3且m2z為虛數(shù)。m5m2z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)

m 即m5m3m2所以當(dāng)m5zm5m2復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點落在第二象限，當(dāng)且僅當(dāng)

mm5或3m即m3或m2 解得m5

m3m2

1,z22z1zzzxyixyR

1x2y21z22z1zz1

3iz1 zxyixyRz1x2y21z22z0xyi22xyi 0 x。x2y23x2x1yi02x1y。x2y23xx2x1y x 由 解得

或 x2y2

y

y x x 由xy3x0驗得y0或 y 31 i31 （ 分析：利用實系數(shù)一元二次方程的根的判別式分類解決，即00，方程有相等實根； 答案：m的值分別為m ，m ，m xx26x2m0的判別式為628m492m∴方程有兩個不等實根，當(dāng)且僅當(dāng)0，即m92方程有兩個相等實根，當(dāng)且僅當(dāng)0，即m929方程有兩個虛根，當(dāng)且僅當(dāng)0，m 2 所以當(dāng)m 時，方程有兩個不等實根；當(dāng)m 時，方程有相等實根；當(dāng)m （2）xx2m2ix2mi0有實根，求這個根及實數(shù)m的值。分析：由于x是實數(shù)，利用復(fù)數(shù)相等列關(guān)于x、m的方程組，解之即可。22答案：x 2,m2 或x2,m2 解：設(shè)x是方程的一個實根，且m是實數(shù)，則22x2m2ix2mix2mx22xmi02x2mx22當(dāng)且僅當(dāng)2xm ，解得x ，相應(yīng)的實數(shù)m值為m?22案例4：（1）投擲兩顆 ，得到其向上的點數(shù)分別為m和n，則復(fù)數(shù)mninmi為實數(shù)的概 A D 分析：復(fù)數(shù)mninmi為實數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部為0，求得這事件所含的基本事件個數(shù)，mninmi2mnn2m2)in2m20，即mn1、2、、66種可能。由古典概率的計算公式，所以復(fù)數(shù)mninmi為實數(shù)的概率P C1C

1。故選C6

1時，y的取值范圍是 x 3

3 B.3,33 C.3,0∪0,3 D.3,0∪0,3 y分析：z1表示以2，0為圓心，1為半徑的圓，表示表示原點O0,0與圓上Px,y的斜yx答案：A。

x

1x22y21如圖y表示原點O0,0與圓x22y21Px,y的斜x tanxOA，即 x3 33

x3,3。A 5zzz2iz3aiaRz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求a的的充要條件，把問題轉(zhuǎn)化為a2關(guān)于yy0的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求a的取值范圍23,0zxyix0y0∵