《直線與圓的位置關(guān)系》設(shè)計全省一等獎

《直線與圓的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)：1．依據(jù)直線和圓的方程，能熟練求出它們的交點坐標(biāo)2．能通過比較圓心到直線的距離和半徑之間的大小關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系3．理解直線和圓的三種位置關(guān)系與相應(yīng)的直線和圓的方程所組成的二元二次方程組的解的對應(yīng)關(guān)系4．會初步處理直線與圓相交時所得的弦長有關(guān)的問題，滲透方程思想，鞏固基本量的求法教學(xué)重點：依據(jù)直線和圓的方程，求它們的交點坐標(biāo)，理解直線和圓的三種位置關(guān)系與相應(yīng)的直線和圓的方程所組成的二元二次方程組的解的對應(yīng)關(guān)系教學(xué)難點：直線與圓相交時所得的弦長有關(guān)的問題教學(xué)過程：1．問題情境(1)情境：圓心到直線的距離決定直線與圓的位置關(guān)系，那么已知圓和直線，，．(2)問題：判斷該圓與三條直線的位置關(guān)系．2．直線與圓的方程分別為：．如果直線與圓有公共點，由于公共點同時在和上，所以公共點的坐標(biāo)一定是這兩個方程的公共解；反之，如果這兩個方程有公共解，那么以公共解為坐標(biāo)的點必是與的公共點．由與的方程聯(lián)立方程組我們有如下結(jié)論：位置關(guān)系：相離相切相交方程組無解方程組僅有一組解方程組有兩組不同的解3．例題講解例1．求直線和圓的公共點坐標(biāo)，并判斷它們的位置關(guān)系．解：直線和圓的公共點坐標(biāo)就是方程組的解．解這個方程組，得，所以公共點坐標(biāo)為．所以，直線和圓有兩個公共點，即直線和圓相交．例2．自點作圓的切線,求切線的方程．解法1：當(dāng)直線垂直于軸時，直線與圓相離，不滿足條件，當(dāng)直線不垂直于軸時，可設(shè)直線的方程為即，如圖，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，故解得或．因此，所求直線的方程是或解法2：當(dāng)直線垂直于軸時，直線與圓相離，不滿足條件．當(dāng)直線不垂直于軸時，可設(shè)直線的方程為由于直線與圓相切，所以方程組僅有一組解．由方程組消去，得關(guān)于的一元二次方程，因為一元二次方程有兩個相等實根，所以判別式，解得或，因此，所求直線的方程是或．結(jié)論：相離；相切；相離．變式：(1)當(dāng)點的坐標(biāo)為時，切線的方程．(2)當(dāng)點的坐標(biāo)為，切線的方程．解：(1)由題意得：在圓上所以直線的方程為，因為與切線垂直，所以切線的方程為說明：求圓的切線方程首先應(yīng)判斷點是否在圓上．(2)由題意：當(dāng)直線垂直于軸時，直線與圓相切，滿足條件．當(dāng)直線不垂直于軸時，可設(shè)直線的方程為，即，，，經(jīng)檢驗．練習(xí)：已知圓，直線，(1)為何值時與圓相切，并求出切點坐標(biāo)；(2)為何值時與圓相交，并求出弦長．解答見《蘇大教學(xué)與測試?yán)?》例3．求直線被圓截得的弦長．解法1：，解得，，即公共點坐標(biāo)為，則弦長為．解法2：如圖，設(shè)直線與圓交于兩點，弦的中點為，則(為坐標(biāo)原點)，所以所以．例4．已知圓：，直線：，(1)證明：不論取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點；(2)求直線被圓截得的弦長最小時的方程．分析：若直線和圓相交，則圓心到直線的距離小于半徑；若直線過圓內(nèi)一點，則直線和圓相交，涉及相交弦問題，要注意運用弦長，半徑及弦心距三者之間的關(guān)系．解：(1)由題意直線方程可變形為，，∴直線必過定點，又，∴點在圓內(nèi)，故必與圓相交．(2)要使弦長最小時，必須∵圓心和定點所在的直線的斜率，∴的斜率，所以，直線的方程為．例5．已知圓，是否存在斜率為的直線，使以被圓截得的弦為直徑經(jīng)過原點？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．解答見《蘇大教學(xué)與測試?yán)?》4．課堂小結(jié)(1)直線和圓的三種位置關(guān)系與圓心到直線的距離和半徑之間的大小關(guān)系的對應(yīng)關(guān)