《離散型隨機(jī)變量及其分布列》同步練習(xí) 全省一等獎(jiǎng)

《離散型隨機(jī)變量及其分布列》同步練習(xí)考點(diǎn)隨機(jī)變量及其分布2.(2022天津,16,13分)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由已知,有P(A)==.所以,事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,隨機(jī)變量X的分布列為X1234P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.3.(2022重慶,17,13分)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”,則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)==.(2)X的所有可能值為0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.綜上知,X的分布列為X012P故E(X)=0×+1×+2×=(個(gè)).4.(2022湖北,20,12分)某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A,B兩種奶制品,生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸,使用設(shè)備1小時(shí),獲利1000元;生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶噸,使用設(shè)備小時(shí),獲利1200元.要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍,設(shè)備每天生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過12小時(shí).假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位:噸)是一個(gè)隨機(jī)變量,其分布列為W121518P該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn),使其獲利最大,因此每天的最大獲利Z(單位:元)是一個(gè)隨機(jī)變量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立,求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.解析(1)設(shè)每天A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x噸,y噸,相應(yīng)的獲利為z元,則有(1)目標(biāo)函數(shù)為z=1000x+1200y.當(dāng)W=12時(shí),(1)表示的平面區(qū)域如圖1,三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0),B,,C(6,0).當(dāng)z=1000x+1200y變形為y=-x+,當(dāng)x=,y=時(shí),直線l:y=-x+在y軸上的截距最大,最大獲利Z=zmax=×1000+×1200=8160.當(dāng)W=15時(shí),(1)表示的平面區(qū)域如圖2,三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0),B(3,6),C,0).將z=1000x+1200y變形為y=-x+,當(dāng)x=3,y=6時(shí),直線l:y=-x+在y軸上的截距最大,最大獲利Z=zmax=3×1000+6×1200=10200.當(dāng)W=18時(shí),(1)表示的平面區(qū)域如圖3,四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).將z=1000x+1200y變形為y=-x+,當(dāng)x=6,y=4時(shí),直線l:y=-x+在y軸上的截距最大,最大獲利Z=zmax=6×1000+4×1200=10800.故最大獲利Z的分布列為Z81601020010800P因此,E(Z)=8160×+10200×+10800×=9708.(2)由(1)知,一天最大獲利超過10000元的概率p1=P(Z>10000)=+=,由二項(xiàng)分布,3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為p=1-(1-p1)3==.5.(2022湖南,18,12分)某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球.在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒有紅球,則不獲獎(jiǎng).(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率;(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)記事件A1={從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球},A2={從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球},B1={顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)},B2={顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)},C={顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)}.由題意,A1與A2相互獨(dú)立,A1與A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因?yàn)镻(A1)==,P(A2)==,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=×+×=.故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),由(1)知,顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為,所以X~B.于是P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×=.6.(2022陜西,19,12分)設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為T,T只與道路暢通狀況有關(guān),對(duì)其容量為100的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:T(分鐘)25303540頻數(shù)(次)20304010(1)求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET;(2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)作一個(gè)50分鐘的講座,結(jié)束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率.解析(1)由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為T(分鐘)25303540頻率以頻率估計(jì)概率得T的分布列為T25303540P從而ET=25×+30×+35×+40×=32(分鐘).(2)設(shè)T1,T2分別表示往、返所需時(shí)間,T1,T2的取值相互獨(dú)立,且與T的分布列相同.設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過120分鐘”,由于講座時(shí)間為50分鐘,所以事件A對(duì)應(yīng)于“劉教授在路途中的時(shí)間不超過70分鐘”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=×1+×1+×+×=.解法二:P()=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=×+×+×=.故P(A)=1-P()=.7.(2022四川,17,12分)某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率;(2)某場比賽前,從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽,設(shè)X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由題意,參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)