數(shù)學(xué)分析 一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)

§2

一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)

一致收斂性的重要性在于可以將通項(xiàng)函數(shù)的許多解析性質(zhì)遺傳給和函數(shù)，如連續(xù)性、可積性、可微性等，這在理論上非常重要.返回定理13.8(極限交換定理)設(shè)函數(shù)列在

上一致收斂于,且對(duì)每個(gè)n,即

證先證是收斂數(shù)列.對(duì)任意,由于一

致收斂,故存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N及任意正整數(shù)p,對(duì)一切有

從而于是由柯西準(zhǔn)則可知是收斂數(shù)列,即下面證明注意到只需證明不等式右邊的每一項(xiàng)都可以小于事先給定的任意正數(shù)即可.，,因此對(duì)任由于一致收斂于收斂于同時(shí)成立.特別當(dāng)時(shí),有,有,存在正數(shù),當(dāng)時(shí),對(duì)任意

又因?yàn)楣蚀嬖?當(dāng)時(shí),也有這就證明了定理指出:在一致收斂的條件下,中關(guān)于獨(dú)

立變量x與n的極限可以交換次序,即(1)式成立.上一致收斂,且存在,則有定理13.9(連續(xù)性)若函數(shù)列在區(qū)間I上一致收

斂,且每一項(xiàng)都連續(xù),則其極限函數(shù)在I上也連續(xù).

證

于

是由定理13.8知也存在,且

定理13.9可以逆過(guò)來(lái)用:若各項(xiàng)為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)列在區(qū)間I上其極限函數(shù)不連續(xù),則此函數(shù)列在區(qū)間I上一定不一致收斂.例如:函數(shù)列的各項(xiàng)在上都是連續(xù)的,但

其極限函數(shù)續(xù),所以在上不一致收斂.定理13.10(可積性)若函數(shù)列在上一致收

斂,且每一項(xiàng)都連續(xù),則證設(shè)為函數(shù)列在上的極限函數(shù).由定理

13.9知在上連續(xù),從而與在

上都可積.于是(3)變?yōu)楣蕦?duì)于任意,存在再根據(jù)定積分的性質(zhì),當(dāng)時(shí)有這就證明了等式這個(gè)定理指出:在一致收斂的條件下,極限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序可以交換.(其圖象如圖13－6所示).顯然是上的連續(xù)函數(shù)列,且對(duì)任意,例1設(shè)函數(shù),因此上一致

收斂于0的充要條件是

.又因故的充要條件是.雖然

不一致收斂于,但定理13.10的結(jié)論仍

成立.但當(dāng)時(shí),不一致收斂于例1說(shuō)明當(dāng)收斂于時(shí),一致收斂性是極

限運(yùn)算與積分運(yùn)算交換的充分條件,不是必要條件.

定理13.11(可微性)設(shè)為定義在上的函數(shù)列,

若為的收斂點(diǎn),的每一項(xiàng)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且在上一致收斂,則

證為在上極限函數(shù),下面證明函數(shù)列在區(qū)間上收斂,且其極限

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在且等于g.,于是

所以上式左邊極限存在,記為由g的連續(xù)性及微積分學(xué)基本定理得這就證明了等式(4).由定理?xiàng)l件,對(duì)任一總有注請(qǐng)注意定理中的條件為的收斂點(diǎn)的作用.在定理的條件下,還可推出在上函數(shù)列一

致收斂于,請(qǐng)讀者自己證明.

與前面兩個(gè)定理一樣,一致收斂是極限運(yùn)算與求導(dǎo)運(yùn)算交換的充分條件,而不是必要條件,請(qǐng)看下例.例2函數(shù)列與在上都收斂于0,由于在上述三個(gè)定理中,我們都可舉出函數(shù)列不一致收斂但定理結(jié)論成立的例子.在今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中(如實(shí)變函數(shù)論)將討論使上述定理成立的較弱條件,但在目前情況下,只有滿(mǎn)足一致收斂的條件,才能保證定理結(jié)論的成立.下面討論定義在區(qū)間上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求積與逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì),這些性質(zhì)可根據(jù)函數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)推出.定理13.12(極限交換定理、連續(xù)性定理)

1.若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂,且對(duì)

,每個(gè),則有

(6)2.若區(qū)間上一致收斂,且每一項(xiàng)都連

續(xù),則其和函數(shù)在上也連續(xù).

在上每一項(xiàng)都有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),為

定理13.13(逐項(xiàng)求積定理)若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理13.14(逐項(xiàng)求導(dǎo)定理)若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),且上一致收斂,則

上一致收斂,且每一項(xiàng)都連續(xù),則

在

定理13.13和13.14指出,在一致收斂條件下,逐項(xiàng)求積或求導(dǎo)后求和等于求和后再求積或求導(dǎo).注本節(jié)六個(gè)定理的意義不只是檢驗(yàn)函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否滿(mǎn)足關(guān)系式(2)~(4),(6)~(8),更重要的是根據(jù)定理的條件,即使沒(méi)有求出極限函數(shù)或和函數(shù),也能由函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本身獲得極限函數(shù)或和函數(shù)的解析性質(zhì).例3設(shè)證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂,并討

論和函數(shù)在上的連續(xù)性、可積性與可微性.

證對(duì)每一個(gè)n,易見(jiàn)為上的增函數(shù),故

有因此級(jí)數(shù)

在上一致收斂.

由于每一個(gè)在上連續(xù),根據(jù)定理13.12與

定理13.13知的和函數(shù)在上連

續(xù)且可積.又由故在上一致收斂.

由定理13.14,得知在[0,1]上可微.

*例4確定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域并討論

和函數(shù)的連續(xù)性.解首先利用連續(xù)性定理(或極限交換定理)建立一個(gè)判別法:若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)在上

有定義,且(i)在點(diǎn)右連續(xù);(ii)收斂;,(iii)級(jí)數(shù)發(fā)散,則在上不一致收斂.理由是,如果在上一致收斂,則由(i),及極限交換定理得

與發(fā)散矛盾.這就證明了上述判別法.

對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),用根式判別法求出其收

斂域.因?yàn)?所

以當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂,時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.而當(dāng)

級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),發(fā)散;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),也發(fā)散.因此這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樵O(shè)在上因?yàn)樵诤吞幏謩e為左連續(xù)和右連續(xù),而級(jí)數(shù)和發(fā)

散,故根據(jù)本例第一段的判別法,知道在

上不一致收斂.這說(shuō)明不能用連續(xù)性定理得

出和函數(shù)在上連續(xù).是否和函數(shù)在上就不連續(xù)了?下面繼續(xù)討論.對(duì),,使得,當(dāng)

時(shí),有

,而級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)

優(yōu)級(jí)數(shù)判別法,知在上一致收斂,根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)連續(xù)性定理,得到和函數(shù)在

上連續(xù),于是在連續(xù).由在上的任意性,推得級(jí)數(shù)的和函

數(shù)在上連續(xù).

注上述利用開(kāi)區(qū)間的“內(nèi)閉”一致收斂來(lái)得出和函數(shù)連續(xù)性方法是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中一個(gè)典型的解題方法,請(qǐng)讀者關(guān)注.復(fù)習(xí)思考題1.如何利用一致收斂的性質(zhì)來(lái)判別函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)