線性微分方程組解的存在唯一性定理

§5.1線性微分方程組解的

存在唯一性定理Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

整理課件掌握高階線性微分方程與線性微分方程組的關(guān)系。理解線性微分方程組解的存在唯一性定理。熟練掌握解的逐次逼近序列的構(gòu)造方法。本節(jié)要求/Requirements/整理課件5.1.1記號(hào)與定義/SymbolandDefinition/一階微分方程組初值條件§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件一階線性微分方程組…(5.1)§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件……….(5.2)……(5.3)………….(5.4)§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件

可定義矩陣與向量函數(shù)在區(qū)間連續(xù):連續(xù)。在區(qū)間可微:可微。在區(qū)間可積:可積。在區(qū)間§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件上的連續(xù)維向量，方程組上連續(xù)且滿足定義1設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，是區(qū)間………….(5.4)在某區(qū)間的解就是向量在區(qū)間§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件定義2初值問(wèn)題(CauchyProblem)………….(5.5)的解就是方程組(5.4)在包含使得§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件例1驗(yàn)證向量是初值問(wèn)題在區(qū)間上的解。解因此是給定初值問(wèn)題的解?！?.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件5.1.2

n階線性微分方程與一階線性微分方程組等價(jià)例1令解§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件滿足解構(gòu)造向量§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件解滿足§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件令§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件………(5.6)等價(jià)………(5.7)§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件例2令將初值問(wèn)題化為與之等價(jià)的一階方程組的初值問(wèn)題。解§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件例3將下列方程組化為高階方程解注意：不是所有方程組都可化為高階方程§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件5.1.3存在唯一性定理初值問(wèn)題(CauchyProblem)………….(5.5)§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件定理1f(t)是n維列向量，上連續(xù)，則對(duì)于區(qū)間上的任何數(shù)及任一常數(shù)向量方程組(5.5)存在唯一解定義于整個(gè)區(qū)間上，且滿足初始條件如果矩陣，它們都在區(qū)間§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件現(xiàn)取，構(gòu)造皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列：向量函數(shù)稱為(5.4)的第k次近似解?！?.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件例4求方程組的初值問(wèn)題的二次近似解。解令§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件5.1.4簡(jiǎn)單方程組的消元法例5求解方程組解關(guān)鍵：保留一個(gè)未知函數(shù)，消掉另一個(gè)未知函數(shù)§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件方程組的解為§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件例6求解方程組解：保留一個(gè)未知函數(shù)x，消掉另一個(gè)未知函數(shù)y§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件另外，由方程組的解為§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs整理課件練習(xí)：2求方程組的初值問(wèn)題的二次近似解。1P.1842(b)§5.1Existence&Uniqu