連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)之一維波動(dòng)方程之二梁的彎曲振動(dòng)

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)2007-9-9編輯ppt實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)。由于確定連續(xù)體上無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無(wú)限多個(gè)坐標(biāo)，因此連續(xù)體是具有無(wú)限多自由度的系統(tǒng)。連續(xù)體的振動(dòng)要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)描述，其運(yùn)動(dòng)方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組，它是偏微分方程。在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒(méi)有什么差別，連續(xù)體振動(dòng)的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的。編輯ppt教學(xué)內(nèi)容一維波動(dòng)方程梁的彎曲振動(dòng)集中質(zhì)量法假設(shè)模態(tài)法模態(tài)綜合法有限元法編輯ppt（1）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律。說(shuō)明（2）材料均勻連續(xù)；各向同性。（3）振動(dòng)滿足微振動(dòng)的前提。編輯ppt一維波動(dòng)方程

動(dòng)力學(xué)方程固有頻率和模態(tài)函數(shù)主振型的正交性桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程編輯ppt動(dòng)力學(xué)方程（1）桿的縱向振動(dòng)

討論等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng)桿長(zhǎng)l假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面截面積S材料密度彈性模量E忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形單位長(zhǎng)度桿上分布的縱向作用力桿參數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程編輯ppt桿上距原點(diǎn)x處截面在時(shí)刻t的縱向位移微段分析微段應(yīng)變：橫截面上的內(nèi)力：由達(dá)朗貝爾原理：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程編輯ppt桿上距原點(diǎn)x處截面在時(shí)刻t的縱向位移橫截面上的內(nèi)力：由達(dá)朗貝爾原理：代入，得：桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程對(duì)于等直桿，ES為常數(shù)彈性縱波沿桿的縱向傳播速度有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程編輯ppt（2）弦的橫向振動(dòng)弦兩端固定，以張力F拉緊在分布力作用下作橫向振動(dòng)建立坐標(biāo)系弦上距原點(diǎn)x處的橫截面在t時(shí)刻的橫向位移單位長(zhǎng)度弦上分布的作用力單位長(zhǎng)度弦的質(zhì)量微段受力情況達(dá)朗貝爾原理：弦的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程令：并考慮到：得：彈性橫波的縱向傳播速度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程編輯ppt（3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)細(xì)長(zhǎng)圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面截面的極慣性矩Ip材料密度切變模量G：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度桿上分布的外力偶矩桿參數(shù)：為桿上距離原點(diǎn)x處的截面在時(shí)刻t的角位移截面處的扭矩為T微段dx受力：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程編輯ppt代入，得：微段dx受力達(dá)朗貝爾原理：材料力學(xué)：即：圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程對(duì)于等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度GIp為常數(shù)有：剪切彈性波的縱向傳播速度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程編輯ppt小結(jié)：（1）桿的縱向振動(dòng)

（2）弦的橫向振動(dòng)雖然它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運(yùn)動(dòng)微分方程是類同的，都屬于一維波動(dòng)方程。（3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程編輯ppt固有頻率和模態(tài)函數(shù)以等直桿的縱向振動(dòng)為對(duì)象方程：縱向自由振動(dòng)方程：假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)，即設(shè)：q(t)表示運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù)桿上距原點(diǎn)x處的截面的縱向振動(dòng)振幅代入，得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt記：通解：（確定桿縱向振動(dòng)的形態(tài)，稱為模態(tài)）由桿的邊界條件確定與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值由頻率方程確定的固有頻率有無(wú)窮多個(gè)（下面講述）連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt第i階主振動(dòng)：一一對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt幾種常見(jiàn)邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)（1）兩端固定邊界條件：不能恒為零故：代入模態(tài)函數(shù)得：（桿的縱向振動(dòng)頻率方程）無(wú)窮多個(gè)固有頻率：由于零固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去特征：兩端位移為零模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt（2）兩端自由特征：自由端的軸向力為零邊界條件：得：零固有頻率對(duì)應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同固有頻率：模態(tài)函數(shù)：得出：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移為零自由端軸向力為零邊界條件：得：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)或：編輯ppt左端自由，右端固定特征：固定端位移為零自由端軸向力為零邊界條件：得：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt邊界條件模態(tài)函數(shù)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)頻率方程固有頻率編輯ppt例：一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一彈簧連接。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)解：邊界條件：得出：頻率方程振型函數(shù)：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)例：一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一集中質(zhì)量M固結(jié)。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。邊界條件：自己推導(dǎo)！編輯ppt主振型的正交性只對(duì)具有簡(jiǎn)單邊界條件的桿討論主振型的正交性桿可以是變截面或勻截面的即質(zhì)量密度及截面積S等都可以是x的函數(shù)桿的動(dòng)力方程：自由振動(dòng)：主振動(dòng)：代入，得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt桿的簡(jiǎn)單邊界：固定端x=0或l自由端x=0或l

設(shè)：代入：乘并沿桿長(zhǎng)對(duì)x積分：利用分部積分：桿的任一端上總有或者成立得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt乘并沿桿長(zhǎng)對(duì)x積分：同理乘并沿桿長(zhǎng)對(duì)x積分：相減：時(shí)則必有：桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性進(jìn)而：桿的主振型關(guān)于剛度的正交性連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt關(guān)于質(zhì)量的正交性關(guān)于剛度的正交性當(dāng)時(shí)恒成立令：第i階模態(tài)主質(zhì)量第i階模態(tài)主剛度第i階固有頻率：主振型歸一化：正則振型則第i階主剛度：合寫(xiě)為：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)采用振型疊加法進(jìn)行求解強(qiáng)迫振動(dòng)方程：初始條件：假定，已經(jīng)得出令：正則坐標(biāo)代入方程：兩邊乘并沿桿長(zhǎng)對(duì)x積分：利用正交性條件：第j個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt模態(tài)初始條件的求解乘并沿桿長(zhǎng)對(duì)x積分，由正交性條件，知有：得：求得后可得連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt如果沿桿身作用的不是分布力，而是集中力可表達(dá)成分布力形式：正則坐標(biāo)的廣義力：前述外部激勵(lì)為分布力連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt例：等直桿自由端作用有：為常數(shù)求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt解：一端固定，一端自由邊界條件：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：代入歸一化條件：模態(tài)廣義力：第i個(gè)正則方程：正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：桿的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)：當(dāng)外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時(shí)都會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)例：一均質(zhì)桿兩端固定。假定在桿上作用有兩個(gè)集中力，如圖所示。試問(wèn)：當(dāng)這些力突然移去時(shí)，桿將產(chǎn)生甚么樣的振動(dòng)？編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)邊界條件：兩端固定初始條件：模態(tài)函數(shù)：解：桿的自由振動(dòng)方程：固有頻率：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)初始條件：應(yīng)用位移初始條件：兩邊乘并沿桿長(zhǎng)積分，然后利用正交性條件：應(yīng)用速度初始條件：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)思考題：有一根以常速度v沿x軸運(yùn)動(dòng)的桿。如果桿的中點(diǎn)處突然被卡住停止，試求出所產(chǎn)生的自由振動(dòng)表達(dá)式。在此種情況下，可從桿的中點(diǎn)分開(kāi)，分開(kāi)的左右兩部分的振動(dòng)形式相同，因此只分析右半部分即可。提示：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)右半部分為一端固定、另一端自由的桿。邊界條件：桿的自由振動(dòng)方程：初始條件：自己推導(dǎo)！編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)例：有一根x=0端為自由、x=l端處為固定得桿，固定端承受支撐運(yùn)動(dòng)為振動(dòng)的幅值試求桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)解：方程建立微段分析應(yīng)變：內(nèi)力：達(dá)朗貝爾原理：桿上距原點(diǎn)x處截面在時(shí)刻t的縱向位移編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)令：代入方程：即：設(shè)解為：為歸一化的正則模態(tài)代入方程，得：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)用乘上式，并沿桿長(zhǎng)積分：利用正交性：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)桿振動(dòng)分析小結(jié)1.建立動(dòng)力學(xué)方程2.根據(jù)邊界條件求解固有頻率和模態(tài)3.變量分離4.代入動(dòng)力學(xué)方程，并利用正交性條件得到模態(tài)空間方程5.物理空間初始條件轉(zhuǎn)到模態(tài)空間6.模態(tài)空間方程求解7.返回物理空間，得解物理空間問(wèn)題模態(tài)空間問(wèn)題模態(tài)疊加法編輯ppt教學(xué)內(nèi)容一維波動(dòng)方程梁的彎曲振動(dòng)集中質(zhì)量法假設(shè)模態(tài)法模態(tài)綜合法有限元法編輯ppt梁的彎曲振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程考慮細(xì)長(zhǎng)梁的橫向彎曲振動(dòng)梁各截面的中心慣性軸在同一平面xoy內(nèi)在低頻振動(dòng)時(shí)可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響外載荷作用在該平面內(nèi)梁在該平面作橫向振動(dòng)（微振）這時(shí)梁的主要變形是彎曲變形伯努利－歐拉梁（Bernoulli-EulerBeam）f(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力m(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力矩梁參數(shù)：I截面對(duì)中性軸的慣性積單位體積梁的質(zhì)量S梁橫截面積E彈性模量外部力：假設(shè)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt動(dòng)力學(xué)方程f(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力m(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力矩微段受力分析令：y(x,t):距原點(diǎn)x處的截面在t時(shí)刻的橫向位移截面上的剪力和彎矩微段的慣性力微段所受的外力微段所受的外力矩連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt力平衡方程：即：以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡：略去高階小量：材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：等截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt固有頻率和模態(tài)函數(shù)變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：討論梁的自由振動(dòng)自由振動(dòng)方程：根據(jù)對(duì)桿縱向振動(dòng)的分析，梁的主振動(dòng)可假設(shè)為：代入自由振動(dòng)方程：對(duì)于等截面梁：通解：和應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt等截面梁的自由振動(dòng)方程：梁的主振動(dòng)：通解：代入，得：第i階主振動(dòng)：無(wú)窮多個(gè)和由系統(tǒng)的初始條件確定系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt常見(jiàn)的約束狀況與邊界條件（1）固定端撓度和截面轉(zhuǎn)角為零（2）簡(jiǎn)支端撓度和彎矩為零（3）自由端彎矩和剪力為零連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt例：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端固定，一端自由邊界條件固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零自由端：彎矩和截面剪力為零得：以及：非零解條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt簡(jiǎn)化后，得：頻率方程當(dāng)

i=1,2,3時(shí)解得：當(dāng)

時(shí)各階固有頻率：對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：其中：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)無(wú)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt例：簡(jiǎn)支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端圓柱固定鉸另一端圓柱滑動(dòng)鉸固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動(dòng)鉸：撓度和截面彎矩為零得：以及：頻率方程：固有頻率：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt頻率方程：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)模態(tài)形狀節(jié)點(diǎn)位置無(wú)節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt例：兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)背景：導(dǎo)彈飛行系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng)存在剛體模態(tài)導(dǎo)彈飛行1導(dǎo)彈飛行2連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt頻率方程：模態(tài)函數(shù)：其中：當(dāng)

i=1,2,3時(shí)解得：當(dāng)

時(shí)自由端：彎矩和截面剪力為零當(dāng)

時(shí)對(duì)應(yīng)剛體模態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第五階模態(tài)自由梁的模態(tài)形狀連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡(jiǎn)支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓度曲線。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)解：梁的自由振動(dòng)方程：邊界條件固定端：自由端：模態(tài)函數(shù)：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)非零解條件：頻率方程：求得：對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：代入：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第一階模態(tài)：第二階模態(tài)：0.560編輯ppt例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧一：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比彎矩平衡條件：剪力平衡條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt固定端：彈性支撐端：由固定端條件解得：由彈性支撐固定端條件解得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt或非零解條件導(dǎo)出頻率方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt（1）若k1、k2同時(shí)為零，則退化為懸臂梁的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)討論：編輯ppt（2）若k1＝0、k2無(wú)窮大，則退化為一端固定另一端簡(jiǎn)支的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)討論：編輯ppt例：懸臂梁自由端附有質(zhì)量求頻率方程解：固定端：自由端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡利用同上述算例相同的方法，得頻率方程：其中：為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比為梁質(zhì)量連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt說(shuō)明：以上分析中沒(méi)有考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因此以上有關(guān)梁的分析只適用于細(xì)長(zhǎng)梁（梁的長(zhǎng)度大于梁高度5倍以上）若梁為非細(xì)長(zhǎng)梁，必須考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響鐵木辛柯梁（Timoshenkobeam）考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量使得梁的慣性增加，這兩個(gè)因素都會(huì)使梁的固有頻率降低連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt模態(tài)函數(shù)的正交性梁若為等截面，則：變截面梁的自由振動(dòng)方程：主振動(dòng)：代入，得：設(shè)：有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x積分：利用分部積分：在梁的簡(jiǎn)單邊界上，總有撓度或剪力中的一個(gè)與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個(gè)同時(shí)為零得：(3)代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)積分可得：同理，相減：得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt如果時(shí)，則有：主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x積分：分部積分：得：代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)積分可得：同理，相減：得：(3)（4）（5）由（4）、（5）式，得：主振型關(guān)于剛度的正交性連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt如果i=j恒成立第j階主質(zhì)量第j階主剛度第j階固有頻率（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x積分：分部積分：得：代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)積分可得：同理，相減：得：(3)（4）（5）連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt第j階主質(zhì)量第j階主剛度第j階固有頻率時(shí)時(shí)主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定：正則振型正則振型的正交性：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程：令：代入：兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x積分：由正交性條件，得：第j個(gè)正則坐標(biāo)方程第j個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力由分部積分：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt梁初始條件的處理假定梁的初始條件為：代入：兩式乘并沿梁長(zhǎng)積分，由正交性條件可得：第j個(gè)正則坐標(biāo)方程：第j個(gè)正則模態(tài)響應(yīng)：得到后，即可得到梁的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt如果作用在梁上的載荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩利用函數(shù)，可以表示為:有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt中點(diǎn)受常力P作用產(chǎn)生靜變形例：簡(jiǎn)支梁求：當(dāng)P突然移出時(shí)梁的響應(yīng)解：由材力得初始條件:梁中點(diǎn)的靜撓度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt梁兩端簡(jiǎn)支固有頻率：振型函數(shù)：代入歸一化條件：模態(tài)初始條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)編輯ppt模態(tài)初始條件：沒(méi)有激振力，正則廣義力為零正則廣義力模態(tài)響應(yīng)：因此