熱傳導(dǎo)講義PPT教學(xué)內(nèi)容

熱傳導(dǎo)講義PPT第一章導(dǎo)熱的理論基礎(chǔ)熱傳導(dǎo)1、定義：指溫度不同的物體各部分或溫度不同的兩物體間直接接觸時(shí)，依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子熱運(yùn)動(dòng)而進(jìn)行的熱量傳遞現(xiàn)象。2、物質(zhì)屬性：可以在固體、液體、氣體中發(fā)生。3、導(dǎo)熱的特點(diǎn)：(a)必須有溫差；(b)物體直接接觸，不發(fā)生宏觀的相對(duì)位移；(c)依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子熱運(yùn)動(dòng)而傳遞熱量。純導(dǎo)熱只發(fā)生在固體中一、溫度場(chǎng)與熱流場(chǎng)

溫度場(chǎng)：某一瞬間，空間（或物體）所有溫度點(diǎn)分布的總稱。

溫度是一種無(wú)方向的量，即標(biāo)量。溫度場(chǎng)是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中可表示為

t=f(x,y,z,t)第一節(jié)傅立葉定律溫度場(chǎng)分類(lèi)（以直角坐標(biāo)系為例）：（1）按時(shí)間劃分穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)：物體各點(diǎn)溫度不隨時(shí)間改變。非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)：溫度分布隨時(shí)間改變。（2）隨空間變化一維、二維和三維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)。如

熱流場(chǎng)：熱流在某一瞬間的空間中的分布。

熱流或熱流密度是一種既有方向又有大小的矢量。在直角坐標(biāo)中二、等溫面和溫度梯度等溫面：物體內(nèi)同一瞬間溫度相同的點(diǎn)的集合所構(gòu)成的面稱為等溫面。等溫線：在二維情況下，等溫面為一等溫線。

特點(diǎn)：（1）溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交；（2）在連續(xù)的溫度場(chǎng)中，等溫面或等溫線不會(huì)中止，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止與物體的邊界上。（3）物體中等溫線較密的的地方說(shuō)明溫度的變化率大，導(dǎo)熱熱流也較大。溫度變化率與溫度梯度：溫度變化率：在物體內(nèi)某一點(diǎn)處，沿空間某一方向s的溫度的變化率，或稱為溫度場(chǎng)沿該方向的方向?qū)?shù)。溫度沿某一方向s的變化率在數(shù)學(xué)上可以用該方向上溫度對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)表示，即溫度梯度：對(duì)于確定的空間點(diǎn)，在空間各方向上最大溫度變化率稱為該點(diǎn)的梯度。系統(tǒng)中某一點(diǎn)所在的等溫面的法線方向是最大溫度變化方向。該方向的溫度變化率即為溫度梯度，記為gradt。溫度梯度是用以反映溫度場(chǎng)在空間的變化特征的物理量。等溫面和熱流方向示意圖溫度梯度在直角坐標(biāo)系中的表示注：溫度梯度是向量；正方向朝著溫度增加的方向。三、傅立葉定律

它是一種實(shí)驗(yàn)定律。1822年法國(guó)數(shù)學(xué)家JosephFourier提出的。物理意義：（1）物體某處的溫度梯度是引起物體內(nèi)部及物體之間熱量傳遞的根本原因。（2）熱流密度q是矢量。熱流方向總是與等溫面（線）垂直，并指向溫度降低的方向。適用條件：（1）傅立葉定律適用于有、無(wú)內(nèi)熱源，常物性或物性隨溫度變化，任何幾何形狀，（非）穩(wěn)態(tài)，各種物態(tài)（固、液、氣）。（2）適用于特定的時(shí)間、特定的地點(diǎn)的局部值。（3）適用于各向同性的介質(zhì)。（4）不適用于非傅立葉導(dǎo)熱的情形。在直角坐標(biāo)系中，投射表達(dá)式為四、傅立葉定律的局限性傅立葉定律的假定導(dǎo)熱研究中的連續(xù)性假定。只要所要研究物體的幾何尺寸遠(yuǎn)大于分子間的平均自由行程這種連續(xù)性假定總成立。如一個(gè)大氣壓、室溫的空氣分子的平均自由行程約為0.07mm.傅立葉定律適用的前提是熱擾動(dòng)傳播速度是無(wú)限大。對(duì)一般工程問(wèn)題，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的熱流密度不很高，過(guò)程作用的時(shí)間足夠長(zhǎng)、過(guò)程發(fā)生的尺寸范圍足夠大，傅立葉導(dǎo)熱定律完全適用。傅立葉定律不適用的情況：導(dǎo)熱物體的溫度接近絕對(duì)零度時(shí)（溫度效應(yīng)）。如在1.4K的液氮中，熱傳播速度c僅為19m/s。當(dāng)過(guò)程的作用時(shí)間與材料的固有時(shí)間尺度相接近時(shí)（時(shí)間效應(yīng)）。熱傳播速度無(wú)限大假設(shè)不成立。當(dāng)過(guò)程發(fā)生的空間尺度極小，與微觀粒子的平均行程相接近時(shí)（空間效應(yīng)）。連續(xù)性假定不成立。所謂微機(jī)電系統(tǒng)是指幾何尺寸在1mm到1mm之間的期間所組成的系統(tǒng)。新技術(shù)對(duì)傳統(tǒng)傅立葉導(dǎo)熱提出挑戰(zhàn)時(shí)間空間

其中：a——導(dǎo)溫系數(shù)，c——熱傳播速度。to稱為馳豫時(shí)間，它反映導(dǎo)熱系統(tǒng)趨近新的平衡狀態(tài)的速度，其數(shù)量級(jí)與分子二次碰撞的時(shí)間間隔相同。它是材料本身固有的時(shí)間尺度。對(duì)一般金屬其值在10－12～10－13

s左右傅立葉定律的修正式：討論：（1）對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，熱流密度矢量不隨時(shí)間變化，傳播相（左邊第一項(xiàng)）的影響消失，傅立葉定律精確成立。（2）在通常情況下，熱擴(kuò)散率比熱傳播速度的平方約小10個(gè)數(shù)量級(jí)，傳播項(xiàng)的影響可忽略不計(jì)，此時(shí)傅立葉定律仍然適用。（3）在一些超常情況下，如深冷（c很?。?、急速加熱或冷卻、超高熱負(fù)荷等（很大），才必須考慮熱傳播項(xiàng)的影響。例如在1.4K的液氮中，熱傳播速度c僅為19m/s，傳播項(xiàng)的影響不可忽略不計(jì)。第二節(jié)導(dǎo)熱系數(shù)一、導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)的定義由傅立葉定律給出：

導(dǎo)熱系數(shù)在數(shù)值上等于單位溫度降度（即1℃/m）下，在垂直于熱流密度的單位面積上所傳導(dǎo)的熱流量。導(dǎo)熱系數(shù)是表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小的宏觀物理量。1、物態(tài)的影響一般地，固體的導(dǎo)熱系數(shù)最大，液體次之，氣體最低。這一特性也適用于同一物質(zhì)的不同集態(tài)。導(dǎo)熱系數(shù)的特點(diǎn)：

物質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)氣體氫氦甲烷空氣二氧化碳0.1810.1530.0340.0260.017液體水銀水氨乙二醇甲醇潤(rùn)滑油8.520.6100.4790.2580.2080.086固體(純金屬)銀銅金鋁鎂鎳鐵白金鉛鈦42739831523715690.580.371.435.221.9固體(合金)黃銅（Cu-40Zn）焊錫碳素鋼（S35C）不銹鋼(SUS304)鈦合金(Ti-6Al-4V)12346.543.016.07.60固體(非金屬)藍(lán)寶石冰（273K）冰石英玻璃鈉玻璃丙烯酸（類(lèi)）樹(shù)脂46.02.201.381.030.21可由理論精確地預(yù)測(cè)導(dǎo)熱系數(shù)的情況很少，通常使用的導(dǎo)熱系數(shù)是由實(shí)驗(yàn)得出。

2、固體

固體中的熱量傳遞是自由電子的遷移和晶格振動(dòng)相疊加兩種作用的結(jié)果.（1）金屬的熱導(dǎo)率純金屬的導(dǎo)熱系數(shù)：依靠自由電子的遷移和晶格的振動(dòng)，主要依靠前者。金屬的導(dǎo)熱系數(shù)與其導(dǎo)電率呈正比（除了鐵等幾種金屬以外）。在純金屬中摻入雜質(zhì)后，合金的導(dǎo)熱系數(shù)明顯降低，合金的導(dǎo)熱系數(shù)不一定與摻入比例呈反比。—晶格振動(dòng)的加強(qiáng)干擾自由電子運(yùn)動(dòng)。金屬的導(dǎo)熱系數(shù)一般隨溫度的升高而降低，而其它材料的導(dǎo)熱系數(shù)則升高。（2）非金屬的熱導(dǎo)率非金屬的導(dǎo)熱：依靠晶格的振動(dòng)傳遞熱量；比較小。溫度升高、晶格振動(dòng)加強(qiáng)、導(dǎo)熱增強(qiáng)保溫材料：國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于350度以下熱導(dǎo)率小于0.12W/(mK)的材料（絕熱材料）。大多數(shù)建筑材料和絕熱材料具有多孔或纖維結(jié)構(gòu)。多孔材料的熱導(dǎo)率與密度和濕度有關(guān)。3、氣體氣體的導(dǎo)熱可以理解為依靠分子間碰撞產(chǎn)生了分子的回轉(zhuǎn)、平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的交換，分子動(dòng)能從高的地方向低的地方傳遞。根據(jù)分子運(yùn)動(dòng)理論，單原子理想氣體的導(dǎo)熱系數(shù)可以表示為下式：：氣體分子運(yùn)動(dòng)的均方根速度：氣體分子在兩次碰撞間平均自由行程：氣體的密度；：氣體的定容比熱

氣體的壓力升高時(shí)，氣體的密度增大、平均自由行程減小、而兩者的乘積保持不變。除非壓力很低或很高，在2.67×10-3MPa~2.0×103MPa范圍內(nèi)，氣體的熱導(dǎo)率基本不隨壓力變化。

氣體的溫度升高時(shí)，氣體分子運(yùn)動(dòng)速度和定容比熱隨T升高而增大，導(dǎo)致氣體的熱導(dǎo)率隨溫度升高而增大。氫和氦氫和氦的導(dǎo)熱系數(shù)比其他氣體高得多。4、液體

與氣體相比,液體的分子間距變小，分子間相互作用變大。由于這個(gè)原因，液體能量傳遞主要依靠分子的振動(dòng)（聲子）。但是，液體不如晶體分子排列有規(guī)律性而且分子在液體內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因此它的導(dǎo)熱機(jī)理比固體和氣體更復(fù)雜。隨著溫度升高，液體的導(dǎo)熱系數(shù)一般降低。

水和甘油等強(qiáng)締合液體，分子量變化，并隨溫度而變化。在不同溫度下，導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的變化規(guī)律不一樣。液體的導(dǎo)熱系數(shù)隨壓力p的升高而增大。5、導(dǎo)熱系數(shù)的影響因素物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)會(huì)因狀態(tài)參數(shù)的不同而改變，是一個(gè)物性參數(shù)，與材料種類(lèi)和溫度有關(guān)。導(dǎo)熱系數(shù)的影響因素：物質(zhì)的種類(lèi)、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等。導(dǎo)熱系數(shù)與溫度一般把導(dǎo)熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù)，而且在一定溫度范圍內(nèi)可以用一種線形關(guān)系來(lái)描述：6、各向異性材料的導(dǎo)熱系數(shù)各個(gè)方向上導(dǎo)熱系數(shù)都相同的均勻物質(zhì)，稱為各向同性介質(zhì)。不同方向上導(dǎo)熱系數(shù)不相同的物質(zhì)，稱為各向異性介質(zhì)。例如木材、石墨、晶體等。導(dǎo)熱系數(shù)的方向性使得各向異性材料的導(dǎo)熱規(guī)律變得復(fù)雜。導(dǎo)熱系數(shù)用矩陣可表示為一般地，導(dǎo)熱系數(shù)具有如下特性對(duì)稱性存在導(dǎo)熱系數(shù)主軸當(dāng)坐標(biāo)系按導(dǎo)熱系數(shù)主軸選取時(shí)，各向異性材料的導(dǎo)熱系數(shù)可表示為l1、l2和l3稱為主導(dǎo)熱系數(shù)。主導(dǎo)熱系數(shù)不會(huì)隨坐標(biāo)系的變動(dòng)而變化。各種各向異性材料的導(dǎo)熱系數(shù)都可以轉(zhuǎn)換成主導(dǎo)熱系數(shù)的形式。（2）均勻、各向異性。木材、石墨和變壓器鐵心等（圖b）。（3）不均勻，各向同性?？招拇u（圖c）。（4）不均勻、各向異性。不同材料壓制的多層板。飛行器燃燒室的層板結(jié)構(gòu)（圖d）。7、工程導(dǎo)熱材料的一般分類(lèi)工程技術(shù)中采用到導(dǎo)熱材料與結(jié)構(gòu)可以分為四類(lèi)：（1）最廣泛使用的是均勻、各向同性的導(dǎo)熱材料（圖a）。第三節(jié)各向異性介質(zhì)中的導(dǎo)熱問(wèn)題：各向異性材料導(dǎo)熱與各向同性材料導(dǎo)熱相比有何不同？選取直角坐標(biāo)系（x,y,z），材料固有導(dǎo)熱系數(shù)主軸為（x1,y2,z3）。在各向異性介質(zhì)中，溫度場(chǎng)、等溫面和溫度梯度和熱流向量的概念仍然適用。各異性主軸的導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，在此方向上與一般各向同性介質(zhì)無(wú)異，可應(yīng)用傅立葉定律。即不同坐標(biāo)系下熱流密度的轉(zhuǎn)換li，mi，ni是x1，y1，z1與x、y和z的夾角余弦（或方向余弦）i=1，2和3。兩坐標(biāo)系之間溫度梯度的轉(zhuǎn)換提示：（x,y,z）→(x1,y1,z1)轉(zhuǎn)換矩陣為CT。（x1,y1,z1)→（x,y,z）轉(zhuǎn)換矩陣為C。

坐標(biāo)系（x,y,z）中熱流密度與溫度梯度之間的關(guān)系即討論：1、各向異性材料沿各方向的導(dǎo)熱系數(shù)不相同，此時(shí)導(dǎo)熱系數(shù)不再是標(biāo)量，而是張量。熱流密度的方向不僅與溫度變化率有關(guān)，而且還與導(dǎo)熱系數(shù)的方向有關(guān)。于是，此時(shí)熱流密度一般不再保持與等溫面相垂直。2、在各向異性材料中，不僅與該方向的溫度變化率有關(guān)，而且還受其它方向上的溫度變化率的影響，但不同方向上的溫度變化率對(duì)熱流密度的影響不同。2維各向?qū)岙愋詥?wèn)題討論：當(dāng)b=0時(shí)，（x,y）與（x,h）兩坐標(biāo)系重合若lh

≠lx，溫度梯度的負(fù)方向與熱流密度方向不一致。若lh=lx，溫度梯度的負(fù)方向與熱流密度方向一致。第四節(jié)熱傳導(dǎo)方程一、問(wèn)題的提出傅立葉定律是否能完全描述導(dǎo)熱現(xiàn)象？為什么？傅立葉定律只揭示了連續(xù)溫度場(chǎng)內(nèi)每一點(diǎn)溫度梯度與熱流密度之間的關(guān)系，如果知道了溫度分布就能得到相應(yīng)的熱流分布。傅立葉定律沒(méi)有說(shuō)明某點(diǎn)的溫度與它相鄰點(diǎn)溫度的關(guān)系，也沒(méi)有回答該點(diǎn)溫度如何隨時(shí)間變化。導(dǎo)熱微分方程就是要揭示連續(xù)溫度場(chǎng)隨空間坐標(biāo)和時(shí)間變化的內(nèi)在聯(lián)系。熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)基于：(1)熱力學(xué)第一定律(2)傅立葉定律二、熱傳導(dǎo)方程(不依賴于坐標(biāo)系）1、一般導(dǎo)熱積分方程熱力學(xué)第一定律：導(dǎo)入控制體的凈熱量控制體內(nèi)熱源的發(fā)熱量控制體中物質(zhì)熱力學(xué)能的變化量注：dA的方向（n）是向外法線方向，負(fù)號(hào)表示熱流指向控制體內(nèi)部，此式是導(dǎo)熱能量方程的積分式。

2、導(dǎo)熱微分方程的導(dǎo)出由散度定理

div表示散度，▽表示納布拉算子于是積分方程變?yōu)榇耸绞菍?dǎo)熱能量方程的微分形式。導(dǎo)熱微分方程和導(dǎo)熱積分方程的一般形式。若將e=ct代入，得提示：該導(dǎo)熱微分方程不依賴坐標(biāo)系，并且只是應(yīng)用了熱力學(xué)第一定律?？稍诖嘶A(chǔ)上導(dǎo)出適合各向同性或各向異性的導(dǎo)熱方程。3、各向同性材料的導(dǎo)熱方程將q=-l▽t代入上述關(guān)系式，得得到了導(dǎo)熱積分方程和導(dǎo)熱微分方程。條件：滿足傅立葉定律的適用條件。圓柱坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系球坐標(biāo)系幾種特殊的導(dǎo)熱微分方程：（1）對(duì)于常物性材料，l、c、r都是常量。方程變?yōu)楦盗⑷~－畢渥方程。▽2——拉普拉斯算子，a為導(dǎo)溫系數(shù)。對(duì)于直角坐標(biāo)柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系（2）條件同（1），無(wú)內(nèi)熱源時(shí)qv=0，有（3）對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，常物性稱為泊桑（Possion）方程（4）進(jìn)一步簡(jiǎn)化，無(wú)內(nèi)熱源：

該方程稱為拉普拉斯方程。熱擴(kuò)散方程。a=l/(rc)為導(dǎo)溫系數(shù)（熱擴(kuò)散率）。它反映了導(dǎo)熱過(guò)程中材料的導(dǎo)熱能力（l）與沿途物質(zhì)儲(chǔ)熱能力（rc）之間的關(guān)系。a值大，即l值大或rc值小，說(shuō)明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個(gè)物體中很快擴(kuò)散。它表征物體被加熱或冷卻時(shí)，物體內(nèi)各部分溫度趨于均勻一致的能力，所以a反映了導(dǎo)熱過(guò)程動(dòng)態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量。

第五節(jié)單值性條件

一個(gè)具體的溫度場(chǎng)，不僅依賴于導(dǎo)熱方程，而且還取決于過(guò)程進(jìn)行的特定條件。

使一個(gè)具體過(guò)程服從同一導(dǎo)熱方程的所有各種導(dǎo)熱過(guò)程中單值地確定下來(lái)的必需具備的條件，稱為單值性條件。單值性條件包括：（1）幾何條件；（2）物性條件；（3）時(shí)間條件；（4）邊界條件。一、幾何條件說(shuō)明物體的形狀與大小，若是各向異性材料還應(yīng)給出導(dǎo)熱系數(shù)的主軸方向。根據(jù)需要將物體簡(jiǎn)化成半無(wú)限大物體、無(wú)限大物體和組合平板等。二、物理?xiàng)l件給定各種有關(guān)物性量的值。一般包括：（1）物性是常物性。（2）物性是變物性。（a）隨溫度變化，（b）與材料取向有關(guān)，即隨空間變化。（3）有無(wú)內(nèi)熱源，以及內(nèi)熱源分布。幾何條件和物理?xiàng)l件通常體現(xiàn)在導(dǎo)熱微分方程的簡(jiǎn)化和坐標(biāo)系的選取中。四、邊界條件邊界條件是描述在區(qū)域邊界上過(guò)程進(jìn)行的特點(diǎn)。邊界條件建立基礎(chǔ)：（1）連續(xù)性（2）能量守恒1、第一類(lèi)邊界條件—規(guī)定了邊界上溫度分布及其隨時(shí)間的分布。

此類(lèi)條件又稱為狄利克萊（Dirichlet）條件。2、第二類(lèi)邊界條件—紐曼(Neumann)條件給出了邊界表面上各點(diǎn)的熱流密度值。特例：恒熱流：絕熱條件：3、第三類(lèi)邊界條件—給定邊界表面上各點(diǎn)與周?chē)黧w之間的對(duì)流換熱系數(shù)及周?chē)黧w溫度。能量守恒定律：對(duì)流換熱量＝物體邊界面S的導(dǎo)熱量導(dǎo)熱量：對(duì)流換熱量：第三類(lèi)邊界條件表示為第三類(lèi)邊界條件又可稱為羅賓(Robin)條件。以上三種邊界條件的物性參數(shù)若為常數(shù)，則邊界條件是線性邊界條件。應(yīng)注意式中的已知條件是tf和h。未知條件是和更一般地第三類(lèi)邊界條件的轉(zhuǎn)換：h→∞時(shí)，因tw=tf，轉(zhuǎn)化為第一類(lèi)邊界條件。h=0時(shí)，轉(zhuǎn)化為第二類(lèi)邊界條件。若已知，這就是給定的第一類(lèi)邊界條件。若知道，則是第二類(lèi)邊界條件。4、內(nèi)部邊界條件（接觸條件，第四邊界條件）（1）完全接觸（理想情況）（2）不完全接觸（實(shí)際情況）邊界條件建立的基礎(chǔ)（1）連續(xù)性，（2）能量守恒。對(duì)完全接觸（理想情況）：對(duì)不完全接觸：溫度不連續(xù)（接觸熱阻）熱流量連續(xù)（能量守恒）設(shè)接觸熱阻為邊界條件為式中負(fù)號(hào)表示溫度梯度的方向是外法線，兩接觸物體外法線方向相反。5、輻射邊界條件即使系數(shù)均為常數(shù)，該邊界條件也是非線性條件。6、若輻射與對(duì)流并存導(dǎo)熱微分方程和所給定的單值性條件提供了導(dǎo)熱過(guò)程的共性和個(gè)性、內(nèi)因和外因的完整的數(shù)學(xué)模型，可以運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解，計(jì)算出不同時(shí)刻和不同位置上的溫度和熱流密度及其方向。第六節(jié)無(wú)量綱的導(dǎo)熱方程導(dǎo)熱微分方程在一定單值性條件下，可以得到溫度場(chǎng)的解，一般為引入無(wú)量綱變量，可以減少變量數(shù)目，得出無(wú)量綱參數(shù)。以一維大平板為例加以說(shuō)明。設(shè)平板內(nèi)物性為常數(shù)，均勻內(nèi)熱源，板厚為L(zhǎng)。其數(shù)學(xué)描述為：方程初始條件邊界條件有量綱方程得到的溫度場(chǎng)的解為無(wú)量綱熱源畢渥數(shù)傅立葉數(shù)定義無(wú)量綱變量為無(wú)量綱溫度無(wú)量綱坐標(biāo)無(wú)量綱方程及邊界條件為無(wú)量綱方程得到的溫度場(chǎng)的解為顯然變量數(shù)目大為減少，得出無(wú)量綱量Fo，Bi。畢渥數(shù)與傅立葉數(shù)無(wú)量綱熱阻無(wú)量綱時(shí)間Fo越大，熱擾動(dòng)就能越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而，物體各點(diǎn)地溫度就越接近周?chē)橘|(zhì)的溫度。導(dǎo)熱正問(wèn)題和導(dǎo)熱反（逆）問(wèn)題導(dǎo)熱問(wèn)題的分類(lèi)：（1）已知導(dǎo)熱微分方程及單值性條件，求解物體內(nèi)部的溫度場(chǎng)，并根據(jù)溫度場(chǎng)進(jìn)而求得熱流密度和導(dǎo)熱量，這類(lèi)問(wèn)題通常稱為導(dǎo)熱的正問(wèn)題。（2）已知導(dǎo)熱微分方程及部分單值性條件，用已知溫度場(chǎng)的某些信息，求解另一部分未知的單值性條件，這類(lèi)問(wèn)題稱為導(dǎo)熱的反問(wèn)題。導(dǎo)熱微分方程+單值性條件→穩(wěn)定唯一解（適定）導(dǎo)熱微分方程+導(dǎo)熱反問(wèn)題→不適定性→求解困難導(dǎo)熱反問(wèn)題的復(fù)雜性還在于：拋物線形反問(wèn)題，其不適定性更強(qiáng)；導(dǎo)熱過(guò)程是一種耗散機(jī)制的物理現(xiàn)象反問(wèn)題常見(jiàn)的類(lèi)型：（1）已知物體的幾何條件和導(dǎo)熱系數(shù)，根據(jù)測(cè)得的物體某處的溫度估算通過(guò)物體表面的熱流密度或物體的表面溫度；（最常見(jiàn)）（2）當(dāng)邊界條件為第三類(lèi)邊界條件時(shí)，根據(jù)測(cè)得的物體某處或某幾處溫度隨時(shí)間的變化估算物體的熱物性，在某些情況下，還可以估算對(duì)流換熱系數(shù)隨時(shí)間的變化；（3）對(duì)伴有化學(xué)反應(yīng)熱、電加熱、摩擦生熱等內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問(wèn)題，當(dāng)內(nèi)熱源為未知項(xiàng)時(shí)，亦可能利用已知的邊界條件，估算內(nèi)熱源項(xiàng)。例：常物性、無(wú)內(nèi)熱源大平板板厚為L(zhǎng)，初始條件為均勻溫度ti，平板左壁面絕熱，已知平板內(nèi)某處b的溫度變化規(guī)律，欲求右邊界處壁面溫度及熱流密度。（該問(wèn)題就是導(dǎo)熱反問(wèn)題）該問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述為這里是用平板內(nèi)b處的溫度信息，推算x=L邊界處的溫度和熱流密度。

可以看出，若為導(dǎo)熱正問(wèn)題，在x=L處的條件應(yīng)該是給定的，待求的是物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度隨時(shí)間的變化；而導(dǎo)熱反問(wèn)題，待定的是已知一個(gè)或幾個(gè)物體內(nèi)點(diǎn)處的測(cè)點(diǎn)得到的溫度值，反求x=L處的溫度或熱流密度。

此外，還有（1）反求物理?xiàng)l件——求λ和a等（衛(wèi)星探測(cè)，地球表面溫度，求土壤物性；激光導(dǎo)熱儀，測(cè)材料表面溫度）。（2）反求幾何條件——探傷。第七節(jié)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的求解方法一、研究導(dǎo)熱問(wèn)題的方法：一般分為三類(lèi):解析法、數(shù)值解法和實(shí)驗(yàn)解法。1、解析法解析法是以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)求解導(dǎo)熱問(wèn)題的方法，其所得解析函數(shù)形式的解，常稱作分析解或理論解，由于分析杰在求解的整個(gè)區(qū)域內(nèi)都能精確的滿足導(dǎo)熱微分方程和單值性條件，因此又稱為精確解。分析解的優(yōu)點(diǎn)：1、解的形式為函數(shù)形式，便于分析；2、認(rèn)識(shí)基本傳熱問(wèn)題的主要特征；3、校驗(yàn)數(shù)值解的可靠性總之，分析解法的物理概念明確、邏輯推理清晰、求解過(guò)程嚴(yán)密。分析解的局限性：（1）對(duì)于非線性導(dǎo)熱問(wèn)題、幾何形作復(fù)雜的導(dǎo)熱問(wèn)題，分析解法常常無(wú)能為力；（2）解的形式常常是無(wú)窮級(jí)數(shù)，不便于工程應(yīng)用。

2、近似解近似分析解法得到的解和分析解一樣仍然具有解析函數(shù)的形式，但它滿足的主要定界條件，因此只能近似地反映物體內(nèi)部溫度分布。

特點(diǎn)：近似分析解即具有分析解的特征，又具有近似解的特征，與單純的數(shù)值解相比近似分析解提供的結(jié)果既能清楚地揭示各種參數(shù)對(duì)問(wèn)題的影響，又便于進(jìn)一步分析計(jì)算。3、數(shù)值解法：對(duì)于非線性強(qiáng)，幾何形狀復(fù)雜，分析解和近似分析解通常無(wú)法求解?！鷶?shù)值解法數(shù)值解法的指導(dǎo)思想是用時(shí)間和空間區(qū)域內(nèi)有限個(gè)離散點(diǎn)（又稱節(jié)點(diǎn)）上的溫度近似值代替物體內(nèi)實(shí)際的連續(xù)的溫度分布，然后根據(jù)導(dǎo)熱方程和邊界條件推導(dǎo)出各節(jié)點(diǎn)間的相互關(guān)系，由此得到一組代數(shù)方程組（離散方程），求解該代數(shù)方程組可得到各節(jié)點(diǎn)上的溫度值，即為物體內(nèi)溫度場(chǎng)的數(shù)值解。節(jié)點(diǎn)多→數(shù)值解精度高→計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)。實(shí)驗(yàn)方法本課程只介紹分析解法（含近似解法）。分析導(dǎo)熱問(wèn)題的步驟：1、簡(jiǎn)化實(shí)際的導(dǎo)熱問(wèn)題2、建立導(dǎo)熱微分方程3、確定邊界條件4、求解導(dǎo)熱微分方程+單值性條件+求解方法→溫度場(chǎng)求解方法：積分法、杜哈美爾法、格林函數(shù)法（熱源法）、拉普拉斯變換法、分離變量法、積分變換法等。分離變量法分離變量法是解線形偏微分方程的一種常用方法，特別是對(duì)于求解區(qū)域是矩形、柱體和球體的情形使用更為普遍。這種方法處理齊次問(wèn)題或只有一個(gè)邊界條件為非齊次情形非常方便。分離變量法是將分離變量形式的試探解代入偏微分方程中，將求解偏微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程組的問(wèn)題，二、本課程介紹的求解方法具有n個(gè)自變量的熱傳導(dǎo)方程分離成n個(gè)常微分方程，并在分離過(guò)程中引入n-1個(gè)分離常數(shù)，然后求解此n個(gè)常微分方程，得到n個(gè)解滿足邊界條件的分離解。然后利用線性疊加原理，用全部分離解構(gòu)成原導(dǎo)熱問(wèn)題的完全解。求分離解時(shí)常歸結(jié)為求某些常微分方程邊值問(wèn)題的特征值、特征函數(shù)和范數(shù)。適用范圍

主要用于求解線性、齊次問(wèn)題。對(duì)于多維不含內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，若只有一個(gè)邊界是非齊次，仍可使用分離法。分離變量法也是其它求解方法的基礎(chǔ)，如分離變量法導(dǎo)出的積分變換，為積分變換法求解微分方程提供了理論基礎(chǔ)。分離變量法為求解非齊次方程構(gòu)造格林函數(shù)（熱源法）提供了依據(jù)。積分變換傅氏變換法該變換將偏微分方程中溫度對(duì)空間坐標(biāo)量的2階偏導(dǎo)數(shù)暫時(shí)去掉，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化成只含時(shí)間t一個(gè)自變量的常微分方程，或?qū)維轉(zhuǎn)化成n-1維非穩(wěn)態(tài)偏微分方程問(wèn)題。拉普拉斯變換法拉普拉斯變換是幾分變換的一種，通過(guò)變換去掉對(duì)時(shí)間變量的t的偏導(dǎo)數(shù)，使其轉(zhuǎn)化為變換后函數(shù)的穩(wěn)態(tài)問(wèn)題。特別地，在一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱情形下，通過(guò)拉氏變換得到一個(gè)只含一個(gè)空間變量的常微分方程。

拉式變換為齊次和非齊次線性導(dǎo)熱問(wèn)題的求解提供了一個(gè)系統(tǒng)而簡(jiǎn)便的方法，對(duì)于非齊次項(xiàng)是時(shí)間的復(fù)雜函數(shù)時(shí)特別有效。應(yīng)用拉式變換求解的主要困難是變換后函數(shù)的解進(jìn)行逆變換。熱源法和格林函數(shù)法

物體中溫度隨時(shí)間的變化是由于內(nèi)熱源、邊界熱作用以及初始溫度分布作用的結(jié)果。這些作用都可以看成是廣義上的熱源。因此物體中的溫度場(chǎng)可以認(rèn)為是某種熱源造成的。這種熱源可以是實(shí)際存在的，也可以是虛擬的。一定類(lèi)型的熱源在無(wú)限大介質(zhì)中所產(chǎn)生的溫度場(chǎng)稱為熱源函數(shù)，或稱為無(wú)限區(qū)域的格林函數(shù)。根據(jù)熱源函數(shù)與溫度場(chǎng)之間的關(guān)系，以基本類(lèi)型的熱源函數(shù)為基礎(chǔ)求解導(dǎo)熱問(wèn)題的方法稱為熱源法。它們可以適用于含內(nèi)熱源即非齊次的導(dǎo)熱問(wèn)題，而且在求解無(wú)內(nèi)熱源的非線性導(dǎo)熱問(wèn)題也有效。熱源法適用于求解無(wú)限大與半無(wú)限大物體的導(dǎo)熱問(wèn)題。格林函數(shù)法的適用范圍則可擴(kuò)展到有限物體。格林方法的關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)合適的熱源函數(shù)和格林函數(shù)。熱源法和格林法實(shí)質(zhì)也是一個(gè)分離變量法。近似積分解法精確分析解法只適合求解幾何形狀和邊界條件都比較簡(jiǎn)單的線性導(dǎo)熱問(wèn)題。利用積分方程近似求解導(dǎo)熱問(wèn)題。比較復(fù)雜的可用近似解法。它的解仍然是解析函數(shù)的形式。它在整個(gè)求解區(qū)域的總體上滿足系統(tǒng)的能量平衡，但對(duì)于給定的導(dǎo)熱問(wèn)題只是近似地滿足。三、數(shù)值解法（自學(xué)）數(shù)值解法的理論基礎(chǔ)是離散數(shù)學(xué)，其基本思想是：用空間和時(shí)間區(qū)域內(nèi)的有限個(gè)離散點(diǎn)（稱為節(jié)點(diǎn)）上溫度的近似值，近似代替物體內(nèi)實(shí)際的連續(xù)溫度分布，從而將要求解的導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成由這些節(jié)點(diǎn)上的溫度近似值按一定方式所組成的代數(shù)方程組（離散方程）。求解此代數(shù)方程組，其解即為物體中溫度場(chǎng)的近似解。導(dǎo)熱定解問(wèn)題定解問(wèn)題初邊值問(wèn)題（又稱混合問(wèn)題）熱傳導(dǎo)方程初值問(wèn)題集總法無(wú)限大物體導(dǎo)熱傅氏變換法熱源（格林）法邊值問(wèn)題第一類(lèi)邊值問(wèn)題（Dinchlet）第二類(lèi)邊值問(wèn)題（Neumann）第三類(lèi)邊值問(wèn)題（Robin）分離變量法（有限空間）直角坐標(biāo)系柱、球坐標(biāo)系積分變換法（空間有界、無(wú)界均有效）直角坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系傅氏變換拉式變換Hankel變換法導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)學(xué)分類(lèi)從數(shù)學(xué)角度，導(dǎo)熱問(wèn)題可分為：（一）線性問(wèn)題1、齊次問(wèn)題——無(wú)內(nèi)熱源、零邊界問(wèn)題2、非齊次問(wèn)題定熱源定邊界問(wèn)題——熱源、邊界不隨時(shí)間變化。變熱源變邊界問(wèn)題（二）非線性問(wèn)題一般二階導(dǎo)熱微分方程微分方程線性與齊次的判別方法：若方程中A，B，C，D，E和F均與函數(shù)t無(wú)關(guān)，僅為自變量x，y的函數(shù)或?yàn)槌?shù)則方程為線性微分方程，否則為非線性微分方程。G(x，y)=0時(shí)，則稱此微分方程為齊次型。G(x，y)≠0時(shí)，則稱此微分方程為非齊次型微分方程。

邊界條件的線性和齊次的屬性1、第一類(lèi)邊界條件若f(r,t)=0，則為齊次邊界條件，若f(r,t)≠0，則為非齊次邊界條件。若f(r,t)是溫度的函數(shù)，為非線性邊界條件。2、第二類(lèi)邊界條件則為齊次邊界條件，則為非齊次邊界條件。若q、li是溫度的函數(shù)，為非線性邊界條件。3、第三類(lèi)邊界條件若f(r，t)=0，則為齊次邊界條件，若f(r，t)≠0，則為非齊次邊界條件。若li和hi與函數(shù)t無(wú)關(guān)，稱為線性邊界條件，反之為非線形。對(duì)于導(dǎo)熱問(wèn)題，只有當(dāng)微分方程和邊界條件均為齊次時(shí)，才能稱為齊次型。若有一個(gè)是非齊次，則定解問(wèn)題為非齊次。線性同上。分類(lèi)習(xí)題：對(duì)傅立葉定律的理解？適用范圍？各向異性材料中熱流密度的計(jì)算、熱流密度與溫度梯度的關(guān)系？各向異性導(dǎo)熱微分方程如何建立?通過(guò)選取微元體直接建立圓柱坐標(biāo)系的導(dǎo)熱微分方程。第二章穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程及其解法穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程：溫度場(chǎng)不隨時(shí)間變化，熱流為常量。

對(duì)直角坐標(biāo)系稱為泊松(Possion)方程。屬于橢圓方程，在該區(qū)域內(nèi)某處發(fā)生的熱擾動(dòng)，將向所有方向傳遞。按坐標(biāo)變量分：一維、二維和三維。按熱源分：有、無(wú)熱源導(dǎo)熱。按導(dǎo)熱方程及邊界條件分：齊次與非齊次，線性與非線性。穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱類(lèi)型：一、變導(dǎo)熱系數(shù)

實(shí)際工程問(wèn)題的需要。

材料的導(dǎo)熱系數(shù)一般隨溫度呈非線性變化，但只要溫度范圍不很大，可以近似視為線性。通常表示為：

注意:上式中系數(shù)0與b的確切含義。第一節(jié)一維導(dǎo)熱問(wèn)題求：（1）溫度分布，（2）熱流密度。例：已知大平板（厚為d），變導(dǎo)熱系數(shù)解：導(dǎo)熱微分問(wèn)題為兩側(cè)壁溫分別為tw1和tw2（一）求解溫度分布將積分兩次，得解微分方程方程通解由邊界條件，確定積分系數(shù)由得由得所以獲得c2獲得c1溫度分布為或當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度線性變化時(shí)，平壁內(nèi)的一維穩(wěn)態(tài)溫度分布呈二次拋物線型。由溫度分布判斷曲線的形狀：當(dāng)b>0時(shí)，當(dāng)b<0時(shí)，對(duì)（1）式求二次導(dǎo)，得當(dāng)b=0時(shí)，用無(wú)量綱參數(shù)表示：對(duì)下式變形，得所以亦即（二）求熱流密度方法一：由溫度分布利用傅立葉定律求解熱流密度。方法二：利用傅立葉定律直接求出。由傅立葉定律整理，兩邊積分得分離變量平板，q為定值平均值定義平均導(dǎo)熱系數(shù)該式和傅立葉定律的關(guān)系式形式相同，只不過(guò)改為m。平均導(dǎo)熱系數(shù)的計(jì)算即或m值的獲得方法：（1）平均溫度時(shí)的值（2）變導(dǎo)熱系數(shù)并不改變穩(wěn)態(tài)情況下通過(guò)一維平壁的熱流密度和熱流量為恒定值這一事實(shí)。（三）用傅立葉定律定性分析解：對(duì)于大平板，A恒定，且Q一定，那么一定，負(fù)號(hào)表示溫度降低。對(duì)于l=lo(1+bt)，若b>0，因?yàn)閠w1>tw2，有l(wèi)x=0>lx=L。傅立葉定律故為下凹曲線。其它情況可類(lèi)似得出。tw1與tw2的相對(duì)大小不同，曲線形狀也不同，見(jiàn)左圖。二、具有內(nèi)熱源的無(wú)限大平板導(dǎo)熱(一)常物性、無(wú)限大平板、內(nèi)熱源為常數(shù)導(dǎo)熱微分方程邊界條件為其通解為由邊界條件確定積分常數(shù)后，得（1）（2）解：討論：（1）何處出現(xiàn)最高溫度當(dāng)qv足夠大，壁溫高(tw1)的邊界上的熱流方向?qū)l(fā)生改變，內(nèi)熱源釋放的熱量將向平板兩側(cè)傳遞，將在平板內(nèi)部出現(xiàn)最高溫度。含有內(nèi)熱源的溫度分布不同于無(wú)內(nèi)熱源時(shí)的單調(diào)變化。對(duì)t求極值，dt/dx=0，得只有當(dāng)xmax>0時(shí)，即在平板內(nèi)出現(xiàn)高溫度。整理判別式，并令B為無(wú)量綱量。B>1時(shí)最高溫度出現(xiàn)在平板內(nèi)部；B=1時(shí)xmax=0，tmax=tw1此時(shí)在x=0處邊界處于絕熱狀態(tài)。這樣可以將非對(duì)此冷卻的大平板在0<xmax<d時(shí)的導(dǎo)熱視為兩塊緊密接觸的大平板，其厚度分別為d1=xmax和d2=d-xmax,且接觸面為絕熱面，并且其溫度為tmax。（2）解的討論（1）（2）可以將解看成由2部分組成。于是每塊大平板的內(nèi)熱源總發(fā)熱量將從各自的冷卻面?zhèn)鞒觯瑑善桨寤ゲ桓蓴_，可以分別計(jì)算。解等號(hào)右邊（1），是導(dǎo)熱問(wèn)題(1)的解方程是齊次，邊界條件是非齊次第二項(xiàng)是非齊次微分方程的解方程是非齊次，邊界條件是齊次該問(wèn)題的解是這兩個(gè)溫度分布的疊加。原導(dǎo)熱問(wèn)題的解等于兩個(gè)輔助問(wèn)題解之何。（3）熱流密度疊加任一點(diǎn)處的熱流密度可由傅立葉方程得到同樣可以看出是兩個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題熱流密度的疊加。

解決非齊次問(wèn)題時(shí)常用“線性疊加原理”的方法，把復(fù)雜的線性非齊次問(wèn)題分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，再把結(jié)果相加。疊加原理：如果泛定方程和定解條件都是線形的，可以把定解問(wèn)題的解看作幾個(gè)部分的線形疊加，只要這些部分各自所滿足的泛定方程和定解條件的相應(yīng)的線形疊加正好是原來(lái)的泛定方程和定解條件就行。導(dǎo)熱原問(wèn)題輔助問(wèn)題1輔助問(wèn)題2變導(dǎo)熱問(wèn)題的補(bǔ)充該問(wèn)題是兩邊界為第一類(lèi)邊界條件，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，平板導(dǎo)熱問(wèn)題。若有無(wú)量量表示溫度分布可表示為在相同邊界條件下，變導(dǎo)熱系數(shù)的溫度分布為因此存在對(duì)于變導(dǎo)熱系數(shù)問(wèn)題，可先按l為常數(shù)計(jì)算出物體內(nèi)的溫度分布，然后在利用上式確定實(shí)際的溫度分布。該關(guān)系可推廣到二維和三維無(wú)內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。表示方法稍有不同，但初終態(tài)溫度沒(méi)有變化，其平均值也不變化。（二）內(nèi)熱源為非常數(shù)的情形（1）qv隨溫度變化qvo是t=0內(nèi)發(fā)熱源發(fā)熱強(qiáng)度，W/m3。上式稱為Helmoholtz方程。解：為了方便，設(shè)qvob/l=a，qvo/l=b，得線性非齊次方程。進(jìn)一步設(shè)方程轉(zhuǎn)化為線性齊次方程。屬于二階齊次線性常（系數(shù)）微分方程。補(bǔ)充：該類(lèi)方程的解法求特征方程設(shè)為方程的解。將t’代入微分方程，得（l為待定系數(shù)）即求解微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解特征值問(wèn)題。問(wèn)題的解當(dāng)指數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，解的通解形式為當(dāng)指數(shù)為虛數(shù)時(shí)，解的通解形式為或的通解為進(jìn)而可表示為所以，方程若問(wèn)題的邊界條件為利用邊界條件，確定待定系數(shù)c1和c2，得所以導(dǎo)熱問(wèn)題的解為（2）qv隨空間坐標(biāo)而變，即qv=f(x)，當(dāng)物體為常物性，導(dǎo)熱方程為其通解例：在核反應(yīng)堆工程中在x=0處輻射熱流為qo，穿透到板內(nèi)的熱流密度為m>0為衰減系數(shù)。平板的內(nèi)熱源應(yīng)為qx的變換量，對(duì)于x處（點(diǎn)），應(yīng)為其變化率，所以熱源的發(fā)熱率為內(nèi)熱源是空間函數(shù)邊界條件的確定：假設(shè)x=0處，只接受輻射熱流（處理為內(nèi)熱源）而無(wú)熱損失，x=d，側(cè)面與溫度為tf的環(huán)境換熱。其解為：第二節(jié)準(zhǔn)一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一、肋的形式在一些換熱設(shè)備中，在換熱面上加裝肋片是增大換熱量的重要手段。二、三角形肋片穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物理模型的若干簡(jiǎn)化假設(shè)：穩(wěn)態(tài)，沒(méi)有內(nèi)熱源；垂直紙面方向無(wú)限長(zhǎng)，取單位長(zhǎng)度進(jìn)行分析；肋的導(dǎo)熱系數(shù)、肋基溫度、肋四周流體溫度以及肋表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)均為常數(shù)；肋在厚度方向的最大溫差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于外部的對(duì)流換熱溫度降；肋端的對(duì)流換熱忽略不計(jì)，將肋端視為具有絕熱邊界條件。

建立數(shù)學(xué)模型的兩條途徑:用一維常物性有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程式,把肋表面散熱視為虛擬的負(fù)內(nèi)熱源。從基本的能量平衡出發(fā)推導(dǎo)。導(dǎo)熱問(wèn)題的描述：截面積過(guò)余溫度周長(zhǎng)U＝2已知，設(shè)為b方程轉(zhuǎn)化稱為零階廣義貝塞爾函數(shù)方程。其通解為或式中Jo和Yo分別是第一類(lèi)和第二類(lèi)零階貝塞爾函數(shù)。式中Io和Ko分別是第一類(lèi)和第二類(lèi)零階變型貝塞爾函數(shù)。由邊界條件可以求得溫度分布為肋片的散熱量為若將b代入并整理，得肋片的散熱量為討論：1、肋的特點(diǎn)（1）一側(cè)為第一類(lèi)邊界條件，其余邊界為第三類(lèi)邊界（對(duì)流換熱），肋面溫度不均勻。（2）d/L<<1,l也比較大。2、關(guān)于一維肋的條件實(shí)際肋片有厚度，存在導(dǎo)熱熱阻.在肋片厚度方向上存在一定的溫度降落.若（tc-

tw）<<（tw

-

tf),或三、變截面肋及其優(yōu)化肋效率：肋效率表明了肋片表面溫度與肋基溫度的接近程度；肋壁總效率三種直肋（矩形、三角形和凹拋物線型）的肋效率曲線沿等截面直肋的高度方向，對(duì)流換熱溫差逐步縮小，即對(duì)流散熱熱流密度q

將沿肋高逐步下降?？拷呋幉牧系睦寐拭黠@高于靠近肋端的部分。

用什么辦法可以使單位重量的肋片材料發(fā)揮相同的散熱作用?對(duì)一定散熱量，使肋的材料消耗量最少。在傳遞規(guī)定熱量的條件下，最省材料的是具有凹拋物線剖面的肋片。考慮到曲面型線加工的難度以及因此導(dǎo)致的費(fèi)用增加，常常用工藝簡(jiǎn)單得多、性能又很接近凹拋物線的三角肋或者梯形肋來(lái)代替。補(bǔ)充：（1）貝塞爾函數(shù)如下微分方程稱為g階貝塞爾方程該方程對(duì)全部g值都有兩個(gè)線形無(wú)關(guān)解。它們?yōu)間階第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)Jg(z)與g階第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)Yg(z)。這樣，方程的一般解可寫(xiě)成階數(shù)第一、二類(lèi)貝塞爾函數(shù)需記憶的特殊值Jo(0)=1J1(0)=0Yo(0)→-∞Y1(0)→-∞（2）修正貝塞爾函數(shù)如下微分方程稱為g階修正貝塞爾方程：該方程對(duì)全部g值都有兩個(gè)線形無(wú)關(guān)解。它們?yōu)間階第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)Ig(z)與g階第二類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)Kg(z)。這樣，方程的一般解可寫(xiě)成需記憶的特殊值Io(0)=1I1(0)=0Ko(0)→∞K1(0)→∞虛、實(shí)自變量轉(zhuǎn)換的關(guān)系：（3）廣義貝塞爾函數(shù)對(duì)于給定的微分方程，尋找能否將解用貝塞爾函數(shù)來(lái)表示的最好辦法是將該方程與由道格拉斯（Douglas）提出的如下廣義貝塞爾方程作比較：該方程的解為式中c1和c2是任意常數(shù)。例：三角形肋片穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程通解推導(dǎo)與上面廣義貝塞爾方程相比，可得a=0,m=0,p=1/2,p2a2=-b,a=2i(b)0.5,g=0將上面數(shù)值代入通解，該微分方程的解為如下形式：設(shè)通解變?yōu)楦鶕?jù)函數(shù)間相互關(guān)系，并考慮c為待定系數(shù)因?yàn)閯t得記住需記憶J0(0)=1，J1(0)=1,Y0(0)=-∞,Y1(0)=-∞I0(0)=1，I1(0)=0,K0(0)=∞,K1(0)=∞確定通解中的待定系數(shù)，需知道貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)。以三角肋為例加以說(shuō)明。三角肋的通解和邊界條件分別為(1a)(1b)由邊界條件(1)知：（2）因?yàn)樗詫⑸鲜酱耄?）式得：根據(jù)第一、第二類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)，得I1(0)=0,K1(0)=∞再根據(jù)邊界條件(1b)可以求得貝塞爾函數(shù)及其性質(zhì)需自學(xué)并記憶。第四節(jié)多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題一、無(wú)內(nèi)熱源、常物性二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（一）矩形（直角坐標(biāo)系）數(shù)學(xué)描述：解：用分離變量法求解

分析：上述問(wèn)題導(dǎo)熱微分方程是齊次，而邊界條件都是非齊次，不利使用分離變量法求解。進(jìn)行適當(dāng)變換，過(guò)余溫度q=t-t∞分離變量法求解步驟：（1）將待求量分解為兩個(gè)自變量的獨(dú)立函數(shù)，并設(shè)定分離常數(shù)（2）將q代入方程上式左邊是x的函數(shù)，右邊是y的函數(shù)，所以等號(hào)兩邊必須是個(gè)常數(shù)。b2稱為分離常數(shù)，可以是正數(shù)、零或負(fù)數(shù)，即分別為取-b2、0、+b2，完全由邊界條件確定。（3）討論b：（a）若b2=0，X(x)和Y(y)均為線性函數(shù)，即由邊界條件得得所以因此此解無(wú)意義。（b）若+b2(>0)，由邊界條件偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常微分方程：其解為（解法后面介紹）由邊界條件：y=0時(shí)q=(c1+c2)X(x)＝0，得c1+c2=0；y=b時(shí)所以，又c1+c2=0因此，只能取-b2（<0）因?yàn)棣?，b不為零，所以c2=0，c1=0，Y(y)=0，θ恒為零，此解無(wú)意義。（4）求解常微分方程（-b2<0

）常微分方程為提示：X=0處的非齊次邊界條件不能分離，留待后面使用。（i）首先求解方程（3-c）-（3-e）該問(wèn)題是一個(gè)求解常微分方程的問(wèn)題。方程和單值性條件齊全，可以求解。其通解形式為：應(yīng)用邊界條件(3-d)得應(yīng)用邊界條件(3-e)否則恒為零，只能因?yàn)樗苑Q為特征函數(shù)。由確定b值。邊界條件決定了分離參數(shù)只能取一些特定的值，稱之為特征值。又稱本征值、固有值。特征值對(duì)于封閉區(qū)域它是一系列離散的值。由以上推導(dǎo)可知，正確的選擇分離常數(shù)符號(hào)時(shí)，一定會(huì)導(dǎo)致求解原問(wèn)題的特征值問(wèn)題。（ii）同樣，求解如下方程其通解為或其中為雙曲函數(shù)。2eechx

,2eeshx-xx-xx+=-=根據(jù)邊界條件（3-b），Dm和Em建立聯(lián)系后，合并得由于后面還存在待定系數(shù)，可忽略前面的常數(shù)。于是（5）求滿足初始條件的解由于特征值有無(wú)窮多個(gè)特征值bm（有限區(qū)域），則對(duì)應(yīng)有無(wú)窮多個(gè)解qm，根據(jù)疊加定理，該問(wèn)題的通解為其中Cm是待定系數(shù)。Cm可由沒(méi)有使用的唯一的非齊次邊界條件確定。

代入初始條件，得為了求cm，利用sin(x)（特征函數(shù)）的正交性上式兩邊同乘sin(bny)，并積分得

m≠n的各項(xiàng)為零，只剩下m=n，得所以，最終的解式中N2(bm)稱為特征函數(shù)sin(bmy)的模或范數(shù)。討論：（1）分離變量法適用于線性齊次方程并且只有一個(gè)邊界條件是非齊次的導(dǎo)熱問(wèn)題（2）采用過(guò)余溫度變換，是進(jìn)行方程或邊界條件齊次化的有效方法之一。（3）分離常數(shù)的正負(fù)號(hào)與邊界條件密切相關(guān)。（4）分離變量法將對(duì)二元二次偏微分方程的求解轉(zhuǎn)換成求解兩個(gè)一元兩次常微分方程，即二維問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一維問(wèn)題，需求解兩個(gè)常系數(shù)微分方程。（5）求解兩個(gè)一元兩次常微分方程時(shí)，既可以求兩個(gè)常微分方程的通解，構(gòu)成原導(dǎo)熱問(wèn)題的通解后，再利用邊界條件求得原問(wèn)題的解；也可以分解邊界條件，變?yōu)獒槍?duì)X、Y的邊界條件后，求得的X、Y解后，再構(gòu)成導(dǎo)熱原問(wèn)題的解。分離變量法實(shí)施步驟：（1）將偏微分方程的解寫(xiě)成分離變量的形式；（2）將該解代入原微分方程中，從而得到兩個(gè)常微分方程；（3）解兩個(gè)常微分方程，得到許多以兩自變量乘積形式表示的微分方程的解；（4）找出能同時(shí)滿足邊界條件的解；（5）由于所得解不能滿足初始條件，利用疊加原理，找到滿足初始條件的解；（6）將最后得到的解代入泛定方程及定界條件，進(jìn)行驗(yàn)證。更一般地，特征值問(wèn)題的解表示為式中，x*是求解區(qū)域的非特征值問(wèn)題坐標(biāo)方向上的邊界坐標(biāo)。由上式可知導(dǎo)熱問(wèn)題的解可用相應(yīng)的特征函數(shù)來(lái)表示。這是積分變換法的理論基礎(chǔ)。例：上題只要知道特征函數(shù)X(bm,x)、Y(bm,y)、特征值bm和模N2m就可以獲得導(dǎo)熱問(wèn)題的解。一些典型的Nm和X(bm,x)可以查表獲得。有限域的特征函數(shù)、特征值和模（二）圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系中二維問(wèn)題分為t(r,j)、t(r,z)和t(j,z)這里只介紹其中兩種。（1）實(shí)心圓柱t(r,z)

。導(dǎo)熱問(wèn)題的描述

解：用分離變量法:

t(r,z)=R(r)Z(z)省略討論已知通解與直角坐標(biāo)系不同，不知通解知：當(dāng)g=0，z=br時(shí)此方程是零階貝塞爾方程（自變量br）。對(duì)比對(duì)于零階貝塞爾方程，其通解形式為式中：J0和Y0分別為零階第一類(lèi)、第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)。導(dǎo)熱問(wèn)題的解為提示：該問(wèn)題的求解與前例不同，先求得導(dǎo)熱問(wèn)題的通解，再利用邊界條件求得原問(wèn)題的解。由z=0，t=0，得由邊界條件r=0，t有界，當(dāng)br2→0，Y0(br2)→-∞得J0(br)=R（特征方程）存在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)滿足上式。因此解為由非齊次條件，得由J0正交性，可得柱坐標(biāo)系導(dǎo)熱微分方程的解的函數(shù)多為非初等函數(shù)，如貝塞爾函數(shù)，一般不易求解，應(yīng)依靠現(xiàn)有成果。在求解過(guò)程中需利用單值性條件確定待定系數(shù)因此需要這些非初等函數(shù)的性質(zhì)，如微分性質(zhì)等。球坐標(biāo)系導(dǎo)熱微分方程的解多為勒讓德函數(shù)也是非初等函數(shù)。討論：2、空間變量為（r,j）解：分離變量法，設(shè)代入方程，整理得已知通解不知通解它們的通解分別為利用邊界條件，分別得利用非齊次邊界條件和特征函數(shù)正交性，得二、變物性問(wèn)題

在求解導(dǎo)熱問(wèn)題時(shí)，通常采用常物性假設(shè)，導(dǎo)致導(dǎo)熱微分方程是線性的。線性假設(shè)為分析求解，包括利用線性疊加原理創(chuàng)造了條件。但是有些情況，材料的熱物性隨溫度變化劇烈，此時(shí)需要考慮介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)是溫度的函數(shù)，此時(shí)問(wèn)題變?yōu)榉蔷€性。對(duì)于無(wú)熱源穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的微分方程可表示為求解在二維直角坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱問(wèn)題，方程為

該方程是非線性的。分析：目前已掌握線性偏微分方程求解方法，若能將非線性變換成線性，則可求解。

解：通過(guò)基爾霍夫變換

to是參考溫度，lo是參考溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)。

對(duì)E求導(dǎo)于是，得因此導(dǎo)熱方程變?yōu)?/p>

非線性的導(dǎo)熱熱流項(xiàng)被線性化，基爾霍夫變換同樣可以應(yīng)用于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。為了使導(dǎo)熱問(wèn)題線性化，仍需要對(duì)邊界條件進(jìn)行變換。第二類(lèi)邊界條件可以很容易的變換為因?yàn)?/p>

第一類(lèi)邊界條件變換后仍為第一類(lèi)邊界條件

注意：第三類(lèi)邊界條件，一般不能變換為線性化的第三類(lèi)邊界條件，這是基爾霍夫變化的一種局限。三、含內(nèi)熱源的多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的處理對(duì)于含內(nèi)熱源的多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程（存在非齊次項(xiàng)），不宜直接以分離變量法求解。例：含內(nèi)熱源、常物性穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程（非齊次）（特解法）根據(jù)疊加原理，其解可化為q(x,y,z)是下面齊次微分方程的解,求解方法如前所述。

特解p(x,y,z)取決于qv的性質(zhì),如qv為常數(shù)，則qv可直接求出。p(x,y,z)可通過(guò)任何方法得到。常遇到的問(wèn)題可查表得到。第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程以及解析解1、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的定義

2、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類(lèi)（1）周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：在周期性那個(gè)邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過(guò)程，物體溫度按一定的周期發(fā)生變化。（2）瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：在瞬態(tài)變化的邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過(guò)程，物體的溫度隨時(shí)間不斷

地升高（加熱過(guò)程）或降低（冷卻過(guò)程），在經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，物體溫度逐漸趨近于周?chē)橘|(zhì)溫度，最終達(dá)到熱平衡。

3、瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的三個(gè)不同的階段（1）初始階段（非正規(guī)狀況階段，不規(guī)則情況階段）

該階段各處溫度隨時(shí)間變化，初始溫度分布影響很大，而邊界條件的影響只表現(xiàn)在表面附近的小范圍內(nèi)。溫度分布主要受初始溫度分布控制。溫度分布用無(wú)窮級(jí)數(shù)表示。（2）正規(guī)熱狀態(tài)階段(正常情況階段)隨時(shí)間推移，初始溫度分布的影響逐漸消失，邊界條件作用占主導(dǎo)地位，物體內(nèi)各處溫度變化服從同樣規(guī)律。溫度分布主要取決于邊界條件及物性。可用初等函數(shù)表示。（3）新的穩(wěn)態(tài)階段經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間，建立新的平衡。4、熱量變化（與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的另一個(gè)區(qū)別）由于有溫度變化要積聚或消耗熱量，同一時(shí)刻流過(guò)不同截面的熱流量是不同的。通過(guò)截面A的熱流量是從最高值不斷減少，在其它各截面的溫度開(kāi)始升高之前通過(guò)此截面的熱流量是零，溫度開(kāi)始升高之后，熱量才開(kāi)始增加。瞬態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程熱量傳遞的基本特征：1平壁內(nèi)一定位置在瞬態(tài)過(guò)程開(kāi)始后一定時(shí)間才出現(xiàn)溫度變化，這種現(xiàn)象叫做熱量傳遞的“滯后效應(yīng)”。2平壁內(nèi)任何位置都經(jīng)歷了溫度升高，即熱力學(xué)能（內(nèi)能）的蓄存過(guò)程。5、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程該方程屬于拋物線方程。拋物線的特點(diǎn)：若在物體的時(shí)空域內(nèi)施以某種熱擾動(dòng)，它將只在一個(gè)半無(wú)限大域內(nèi)（t>0）進(jìn)行傳播。

由于時(shí)間變量的參與，使問(wèn)題復(fù)雜化，在單值性條件中增加初始條件。

求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題首先應(yīng)按過(guò)程的物理性質(zhì)確定過(guò)程的屬性和類(lèi)型。

模型種類(lèi)（1）薄物體——（集總方法）（2）厚壁物體——有限厚度物體、（3）半無(wú)限大物體和無(wú)限大物體。第一節(jié)集總熱容分析法如果所研究的物體的導(dǎo)熱系數(shù)較大，或者厚度較薄，或者與環(huán)境的換熱較弱，則物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻相對(duì)于表面的換熱熱阻是個(gè)小量，物體內(nèi)部的溫差可以忽略不計(jì)。此時(shí)，溫度分布只與時(shí)間有關(guān)，即t=f(t)，與空間位置無(wú)關(guān)，有時(shí)也稱為零維問(wèn)題。忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法。在任何時(shí)刻允許用一個(gè)單一的溫度來(lái)表示整體溫度，把一個(gè)有分布熱容的物體看成是“集總熱容”物體。集總熱容法能量方程物體的體積為V，表面積A，內(nèi)熱源qv。在集總熱容法的假定下，其熱量平衡方程：一、單容系統(tǒng)如圖所示，任意形狀的物體初始溫度為將其突然置于溫度恒為t∞的流體中。求解該問(wèn)題的溫度變化。解：1、建立熱傳導(dǎo)方程2、確定初始條件3、求解方程若無(wú)內(nèi)熱源qv=0，且物體表面與周?chē)h(huán)境對(duì)流換熱，平均對(duì)流換熱系數(shù)為h，方程簡(jiǎn)化為：引入“過(guò)余溫度”，問(wèn)題描述為初始條件環(huán)境溫度保持常量式中：具有時(shí)間的量綱。其通解由初始條件，得于是tr稱為該問(wèn)題的時(shí)間常數(shù)。它表征物體溫度變化的快慢，即熱慣性的大小。當(dāng)t=tr時(shí)，如果設(shè)“過(guò)余溫度”，則對(duì)上式求導(dǎo)，可得或這表明tr數(shù)值上等于物體溫度按初始時(shí)刻的溫度變化率變化時(shí)達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度t∞的時(shí)間。當(dāng)t=tr時(shí)，說(shuō)明當(dāng)傳感器（如熱電偶）插入溫度恒定的氣體中，當(dāng)t>3tr，溫度達(dá)到氣流溫度。如果導(dǎo)熱體的熱容量(Vc)小、換熱條件好（h大），那么單位時(shí)間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時(shí)間常數(shù)(Vc/hA)小。對(duì)于測(cè)溫的熱電偶節(jié)點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)越小、說(shuō)明熱電偶對(duì)流體溫度變化的響應(yīng)越快。這是測(cè)溫技術(shù)所需要的。工程上認(rèn)為=4Vc/hA時(shí)導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)用準(zhǔn)則數(shù)表示因此環(huán)境溫度隨時(shí)間線性變化環(huán)境溫度隨時(shí)間的任何變化都可以用分段線性變化近似地代替，因此，分析環(huán)境溫度線性變化有實(shí)際意義。環(huán)境溫度的線性變化可表示為方程變?yōu)槌跏紬l件該問(wèn)題的解為物體溫度響應(yīng)由兩部分組成：前一部分bt是環(huán)境溫度的變化規(guī)律，后一部分相當(dāng)于環(huán)境溫度為（-btr）產(chǎn)生的溫度變化。當(dāng)t足夠大時(shí)，q=b(t-tr)，即在同一時(shí)刻，物體過(guò)余溫度比環(huán)境過(guò)余溫度低btr，或者物體達(dá)到環(huán)境相同溫度，時(shí)間要增加tr。物體溫度變化滯后于環(huán)境溫度的變化。適用條件與誤差估計(jì)：歸根結(jié)底，任何物體內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻都不可能等于零。簡(jiǎn)化處理會(huì)導(dǎo)致多大的誤差？誤差是否在一般工程計(jì)算精度允許的范圍以內(nèi)？什么條件下可以采用這種近似方法？231兩類(lèi)問(wèn)題：薄壁

VS

厚壁232（1）Bi<<1，物體內(nèi)同一時(shí)刻的溫度場(chǎng)幾乎是均勻一致的，無(wú)論平壁實(shí)際上有多厚，均可以視為傳熱意義上的“薄壁”；（2）Bi≈1，物體內(nèi)的熱阻和外部的對(duì)流熱阻大致相當(dāng)，不能再視為“薄壁”；（3）Bi1，這時(shí)流體溫度幾乎隨時(shí)都和物體壁面溫度保持相同，此為“厚壁”。

三種典型情況：233采用此判據(jù)時(shí)，物體中各點(diǎn)過(guò)余溫度的差別小于5%對(duì)厚為2δ的無(wú)限大平板對(duì)半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)圓柱對(duì)半徑為R的球集總參數(shù)法的應(yīng)用條件：是與物體幾何形狀有關(guān)的無(wú)量綱常數(shù)二、多容系統(tǒng)在一個(gè)薄壁金屬容器內(nèi)，盛滿了液體，并進(jìn)行攪拌，使溫度均勻。如果在初始時(shí)刻容器和液體有相同的溫度t0，突然處于恒定的溫度tf的環(huán)境中，試分析容器和液體的溫度相應(yīng)。解：建立能量守恒方程金屬容器的導(dǎo)熱系數(shù)高，可以看作一個(gè)集總熱容體（1）；其中的液體由于攪拌也可以看作一個(gè)集總熱容物體（2），它們組成一個(gè)雙容系統(tǒng)。能量方程應(yīng)分別建立：1、對(duì)金屬容器建立能量守恒方程金屬容器分別通過(guò)對(duì)流與周?chē)h(huán)境和容器中液體進(jìn)行熱量交換。對(duì)于液體設(shè)過(guò)余溫度q1=t1-tf,q2=t2-tf,tf>t1,t2即初始條件t=0，q1=q2=q0（3）由式（2）得，（4）代入（1）得式中，i=1，2分別是兩個(gè)的特征時(shí)間。對(duì)于上式的特征方程是（待定系數(shù)法）對(duì)該二次方程可知，它有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根分別為由此的方程的解將初始條件代入式（4）得

把以上初始條件代入通解，可以確定c1和c2，整理從而求得第三節(jié)有限區(qū)域內(nèi)的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱1、大平板（第二、第三邊界條件）0≤x≤，t=0分析：如圖平板厚2d，該導(dǎo)熱問(wèn)題是常物性，兩個(gè)邊界條件都是第三類(lèi)邊界條件，且表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)相同均為h。因?yàn)樵撈桨鍖?duì)稱，導(dǎo)熱問(wèn)題轉(zhuǎn)化為厚d的平板，且邊界條件為一個(gè)第二類(lèi)邊界條件和第三類(lèi)邊界條件。導(dǎo)熱問(wèn)題的描述是線性，且邊界條件存在兩個(gè)非齊次邊界條件，不能直接使用分離變量法。解:引入過(guò)余溫度q=t-tf可以使邊界條件齊次化。分離變量法代入方程，整理得問(wèn)題：分離常數(shù)的選擇？是否需要分別討論分離常數(shù)為：1、正數(shù)，2、零，3、負(fù)數(shù)。得到兩個(gè)常微分方程對(duì)方程(3)積分,锝246方程的通解為導(dǎo)熱問(wèn)題的通解為應(yīng)用邊界條件(2-b)得B=0應(yīng)用邊界條件(2-c),整理得超越方程圖中m為式中dmn

m已求得，Bi=hd/l稱為畢渥準(zhǔn)則導(dǎo)熱問(wèn)題的特解是離散的。應(yīng)用線性疊加原理。導(dǎo)熱問(wèn)題的解為利用函數(shù)的正交性,初始條件可以確定An。使用初始條件兩邊同乘cos(mmx),再積分由函數(shù)正交性，知249所以，250251

求解結(jié)果與分析：其中，bn=dn

稱作特征值，它是超越方程的根，它們都是Bi的單值函數(shù)。過(guò)余溫度比是以下三個(gè)無(wú)量綱參數(shù)的函數(shù)這個(gè)結(jié)果為理論解指明了方向。二、大平板內(nèi)（兩個(gè)三類(lèi)邊界條件）問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

解：本問(wèn)題的邊界條件和初始條件是非齊次的，引入過(guò)余溫度q=t-t∞可以使邊界條件齊次化。

采用分離變量法代入方程，整理得得到兩個(gè)常微分方程邊界條件變?yōu)槭街蟹匠蹋?）的解為提示：取-b2<0，為什么？

由方程(4-a)，得

由邊界條件(4-b)和(4-c)，得出c1=bm,c2=H1。根據(jù)范數(shù)定義和式（4-a）對(duì)上式的右端進(jìn)行分部積分，并將式（5）代入，積分結(jié)果給出由邊界條件式（4-b）、（4-c）和式（5）可以得出特征方程特征值bm是該方程的根。原導(dǎo)熱問(wèn)題的基本解利用正交性質(zhì)解為平板內(nèi)溫度分布對(duì)于9種不同組合形式可以統(tǒng)一表示為（通用形式）解的一般形式：分離變量法求解過(guò)程：?jiǎn)沃敌詶l件第四節(jié)無(wú)限區(qū)域內(nèi)的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與有限區(qū)域的情形不同，當(dāng)物體在導(dǎo)熱方向上無(wú)界時(shí)，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱不會(huì)出現(xiàn)正規(guī)熱狀態(tài)階段，整個(gè)過(guò)程始終處于不規(guī)則變化階段。無(wú)限大或半無(wú)限大物體的判定主要不是幾何的概念，而是物理的概念。一、半無(wú)限大的物體相似性變換法:相似變換的基本思路是對(duì)偏微分方程的自變量進(jìn)行變換，以達(dá)到使自變量個(gè)數(shù)減少的目的。這種變換稱為相似變換，所找到的變換變量稱之為相似變量。應(yīng)用相似性變換法可以使偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?，使?wèn)題的求解大大簡(jiǎn)化。但是這樣的變換有其局限性，它只有在非?？量痰臈l件下才能應(yīng)用。1、第一類(lèi)邊界條件（相似性變換法求解）

半無(wú)限大物體初始溫度均勻并為t0，在起始時(shí)刻邊界溫度突然提高到tw并保持不變，求其溫度分布。解：引入過(guò)余溫度q=t-t0，則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述為

注意：只有一個(gè)邊界條件。引入相似變換則有，

則原導(dǎo)熱問(wèn)題變?yōu)樽⒁庖陨戏匠毯投ń鐥l件中已不再出現(xiàn)x和t，只有一個(gè)自變量x，該方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?。設(shè)，以上方程降階為分離變量并積分可得通解：

再積分一次可得由定解條件，可得誤差函數(shù)因此可知原問(wèn)題的解對(duì)于方程它的通解可寫(xiě)成或以后可利用通解直接求解。誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)定義為

它具有如下性質(zhì)：它的性質(zhì)如下：

半無(wú)限大物體的概念引入過(guò)余溫度問(wèn)題的解為

誤差函數(shù)無(wú)量綱變量討論：如果過(guò)余溫度取q=t-tw，解的形式不同。誤差函數(shù)：說(shuō)明：(1)無(wú)量綱溫度僅與無(wú)量綱坐標(biāo)

有關(guān)。(2)一旦物體表面發(fā)生了一個(gè)熱擾動(dòng)，無(wú)論經(jīng)歷多么短的時(shí)間無(wú)論x有多么大，該處總能感受到溫度的變化？(3)

但解釋Fo、a時(shí)，仍說(shuō)熱量是以一定速度傳播的，這是因?yàn)?，?dāng)溫度變化很小時(shí)，我們就認(rèn)為沒(méi)有變化。令

無(wú)量綱坐標(biāo)

令

若

即可認(rèn)為該處溫度沒(méi)有變化半無(wú)限大物體在外界熱擾動(dòng)作用下，物體內(nèi)溫度在某一厚度范圍內(nèi)變化明顯。物體的過(guò)余溫度為零時(shí)最大的厚度稱為滲透厚度d(t)，它隨時(shí)間而變化。在考慮的時(shí)間范圍內(nèi)，若滲透厚度小于物體本身厚度，可視為半無(wú)限大物體。幾何位置若對(duì)一原為2δ的平板，若即可作為半無(wú)限大物體來(lái)處理時(shí)間若對(duì)于有限大的實(shí)際物體，半無(wú)限大物體的概念只適用于物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的初始階段，那在惰性時(shí)間以內(nèi)兩個(gè)重要參數(shù):即任一點(diǎn)的熱流通量：令即得邊界面上的熱流通量[0,]內(nèi)累計(jì)傳熱量吸熱系數(shù)熱流密度：

半無(wú)限大物體，均質(zhì)，常物性，無(wú)內(nèi)熱源，設(shè)該物體初始溫度為0oC，在t>0時(shí)x=0處有一常量平面熱源q0作用。試用相似變換法求解t>0時(shí)物體內(nèi)的溫度分布。2、第二類(lèi)邊界條件導(dǎo)熱數(shù)學(xué)描述：=0,q=0

x=0,qw=const；x

,q=0q=t-t0，t0為初始溫度均質(zhì)、常物性、半無(wú)限大物體在界面上以恒定的熱流密度進(jìn)行加熱(或冷卻)時(shí)物體內(nèi)的導(dǎo)熱。（1）解：利用傅立葉定律該方程與溫度t的方程一致（1）式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得即將代入上式得初始條件改寫(xiě)成其他條件如下：（第二類(lèi)邊界條件）補(bǔ)充條件=0,q=0

x=0,q=qw

x

,q=0綜上，導(dǎo)熱數(shù)學(xué)描述為該問(wèn)題的解為利用傅立葉定律由q求t均質(zhì)、常物性、半無(wú)限大物體在界面上以恒定的熱流密度進(jìn)行加熱(或冷卻)時(shí)物體內(nèi)的溫度響應(yīng)：

ierfc稱為高斯誤差補(bǔ)函數(shù)的一次積分，見(jiàn)附錄。常熱流密度條件下，半無(wú)限大物體的滲透厚度為表面溫度為或?qū)釂?wèn)題的數(shù)學(xué)描述：式中3、第三類(lèi)邊界條件解：分離變量法而分離函數(shù)的特征值問(wèn)題得

特征值b取0-∞范圍內(nèi)的任意值，而不是離散值，沒(méi)有下標(biāo)m。解為

當(dāng)導(dǎo)熱區(qū)域擴(kuò)展為半無(wú)限大或無(wú)限大時(shí)，用分離變量法求解會(huì)導(dǎo)致對(duì)特征值問(wèn)題的定義區(qū)域也是半無(wú)限大或無(wú)限大。在這種情形下，分離常數(shù)b取從零到無(wú)限大連續(xù)區(qū)域內(nèi)的任意值，并將全部基本解按b值從零到無(wú)限大整個(gè)區(qū)域內(nèi)積分疊加起來(lái)構(gòu)成原導(dǎo)熱問(wèn)題的解。半無(wú)限大的特征函數(shù)集模初始溫度均勻?yàn)閠o,流體溫度tf，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。erfc稱高斯誤差補(bǔ)函數(shù)，erfcu=1－erfu。初始溫度為常數(shù)初始溫度為to時(shí)第三類(lèi)邊界條件

的溫度響應(yīng)三類(lèi)不同邊界條件下溫度響應(yīng)的比較(a)第一類(lèi)邊界條件

(b)第二類(lèi)邊界條件(c)第三類(lèi)邊界條件圖4.9

半無(wú)限大物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)的溫度響應(yīng)若，即它絕對(duì)可積，也即，則稱函數(shù)

為f(x)的傅立葉變換。如果函數(shù)在R上絕對(duì)可積，函數(shù)稱為的傅立葉逆變換。（1）傅氏變換定義二、無(wú)限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱傅氏變換的思路

該變換將偏微分方程中溫度對(duì)空間坐標(biāo)量的2階偏導(dǎo)數(shù)暫時(shí)去掉，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化成只含時(shí)間t一個(gè)自變量的常微分方程，或?qū)維轉(zhuǎn)化成n-1維非穩(wěn)態(tài)偏微分方程問(wèn)題。（2）傅立葉變換的定理與性質(zhì)（?。?dǎo)數(shù)定理（ⅱ）積分定理（ⅲ）相似性定理（ⅳ）延遲定理（ⅴ）位移定理：（ⅵ）卷積定理：若F[f1(x)]=F1(w),F[f2(x)]=F2(w)則F[f1(x)*f2(x)]=2pF1(w)F2(w)其中稱為f1(x)與f2(x)的卷積導(dǎo)熱問(wèn)題描述

特點(diǎn)：沒(méi)有邊界條件

提示：由于該問(wèn)題的區(qū)域是無(wú)界的，不能以簡(jiǎn)單的分離變量法求解。但該問(wèn)題符合傅氏變換的要求，可以利用傅氏變換將其簡(jiǎn)化。解（1）對(duì)導(dǎo)熱方程和初始條件進(jìn)行傅氏變化由性質(zhì)，則導(dǎo)熱微分方程變?yōu)橐陨鲜呛瑓⒘縲的常微分方程。在對(duì)初始條件進(jìn)行正變換，則有對(duì)導(dǎo)熱方程積分，并利用初始條件，得（2）求解變換后的方程（3）對(duì)解進(jìn)行逆變換，得到原導(dǎo)熱問(wèn)題的解根據(jù)傅氏變換性質(zhì)和傅氏反變換公式，可得到原問(wèn)題的解半無(wú)限大物導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述：解：引入過(guò)余溫度q=t-to，得用傅氏變換法求解半無(wú)限大問(wèn)題初始條件意味著奇延拓（擴(kuò)展解析域），從半無(wú)限大擴(kuò)展成無(wú)限大。問(wèn)題變?yōu)榱畹谝粋€(gè)積分第二個(gè)積分則導(dǎo)熱原問(wèn)題的解為第五節(jié)多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題1、直角坐標(biāo)系

其解形式為

一、分離變量法的總結(jié)假設(shè)分離變量形式的試探解，令提示：空間變量與時(shí)間變量分離。代入導(dǎo)熱微分方程，得l為分離常數(shù)經(jīng)整理后，得到對(duì)空間變量ψ再次進(jìn)行分離變量，得到：代入Y方程，得到

若上式成立，每一項(xiàng)都必須分別等于某一任意的分離常數(shù)，即且須滿足

則分離方程組為

t(x,y,z,t)的完全解是由分離解X(x),Y(y),Z(z)和G(t)的線形疊加構(gòu)成2、柱坐標(biāo)系進(jìn)行如下變量分離導(dǎo)熱偏微分方程變?yōu)閮蓚€(gè)方程該方程稱為Helmholtz方程。再設(shè)U可進(jìn)行如下變量分離：

要使該方程成立，必須讓各個(gè)自變量的函數(shù)等于常數(shù)，即其中繼續(xù)分離，且

分離后各常微分方程的基本解如下：第一類(lèi)、第二類(lèi)g階貝塞爾函數(shù)。3、球坐標(biāo)系

其中q是周向角或方向角，在xy平面上從x軸量起，j是高低角或俯仰角，是z軸與球坐標(biāo)中r軸的夾角。為了將上式改寫(xiě)成較為簡(jiǎn)單的形式，引進(jìn)新的自變量m=cosj，于是方程變?yōu)橄禂?shù)2/r是我們不熟悉的形式，引入新的因變量則方程變?yōu)樵O(shè)分離形式為分離成以下一組常微分方程

分別為n階m次第一類(lèi)和第二類(lèi)連帶勒讓德函數(shù)。表：坐標(biāo)系與基本函數(shù)坐標(biāo)系出現(xiàn)在解內(nèi)的函數(shù)直角指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲線函數(shù)圓柱貝塞爾函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)拋圓柱馬提厄函數(shù)、三角函數(shù)拋物線柱維伯函數(shù)、三角函數(shù)球勒讓德函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)長(zhǎng)球面勒讓德函數(shù)、三角函數(shù)偏球面勒讓德函數(shù)、三角函數(shù)拋物面貝塞爾函數(shù)、三角函數(shù)錐面拉梅函數(shù)、冪函數(shù)橢圓面拉梅函數(shù)拋物體貝塞爾函數(shù)對(duì)于二、三維線性、齊次非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，若用分離變量法求解，它們的形式上為二重或散重級(jí)數(shù)，不便于獲得數(shù)學(xué)結(jié)果。

紐曼（Newman,A.B.）乘積定理：如果（1）多維導(dǎo)熱問(wèn)題是齊次，即（a）導(dǎo)熱微分方程是齊次的；（b）邊界條件是齊