計(jì)算機(jī)控制技術(shù)-楊鵬-計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的控制策略2復(fù)習(xí)過(guò)程

計(jì)算機(jī)控制技術(shù)-楊鵬-計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的控制策略2

隨著采樣理論以及現(xiàn)代控制理論的不斷發(fā)展，人們也愈來(lái)愈重視用離散系統(tǒng)進(jìn)行直接數(shù)字控制，并取得了可喜的成果。因此，可以說(shuō)用數(shù)字調(diào)節(jié)器代替模擬調(diào)節(jié)器是計(jì)算機(jī)控制的初級(jí)階段，而應(yīng)用采樣控制理論進(jìn)行直接數(shù)字控制則是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的發(fā)展方向。由于數(shù)字控制系統(tǒng)與模擬調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制方法不同，所以它們使用的數(shù)學(xué)工具也不同，如表4-1。4.1數(shù)字PID控制

PID調(diào)節(jié)器之所以不衰，即使在數(shù)字化的計(jì)算機(jī)時(shí)代仍能得到廣泛的應(yīng)用，主要有下面幾點(diǎn)：1.技術(shù)成熟2.人們熟悉

3.不需要求出數(shù)字模型4.控制效果好4.1.1

模擬PID調(diào)節(jié)器1.比例調(diào)節(jié)器（P）比例調(diào)節(jié)器的微分方程為 (4-1)式中u——調(diào)節(jié)器的輸出e(t)——調(diào)節(jié)器的輸入，一般為偏差值，即e(t)=y(t)-r(t)Kp——比例系數(shù)由上式可以看出，調(diào)節(jié)器的輸入y與輸入偏差e(t)成正比。因此只要偏差e(t)一出現(xiàn)，就能及時(shí)的產(chǎn)生與之成比例的調(diào)節(jié)作用，具有調(diào)節(jié)及時(shí)的特點(diǎn)，它是一種最基本的調(diào)節(jié)規(guī)律，比例調(diào)節(jié)的特性曲線如圖4-1所示。

比例調(diào)節(jié)作用的大小，除了與偏差e(t)有關(guān)外，主要取決于比例系數(shù)KP。比例系數(shù)愈大調(diào)節(jié)作用愈強(qiáng)，動(dòng)態(tài)特性也愈好；反之比例系數(shù)愈小，調(diào)節(jié)作用愈弱。但對(duì)于大多數(shù)慣性環(huán)節(jié)，KP太大時(shí)會(huì)引起自激震蕩。其關(guān)系如圖4-2所示。

比例調(diào)節(jié)的主要缺點(diǎn)是存在靜差，因此對(duì)于擾動(dòng)較大、慣性也較大的系統(tǒng)，若采用單純的比例調(diào)節(jié)器，就難于兼顧動(dòng)態(tài)和靜態(tài)特性，需要用調(diào)節(jié)規(guī)律比較復(fù)雜的調(diào)節(jié)器。2.比例積分調(diào)節(jié)器（PI） 所謂積分作用，是指調(diào)節(jié)器的輸出與輸入偏差的積分成比例的作用，其積分方程為

(4-2)T1——積分時(shí)間常數(shù)。它表示積分速度的大小，T1越大，積分速度越慢，積分作用越弱。反之T1越小，積分速度越快，積分作用越強(qiáng)。積分作用的響應(yīng)特性曲線如圖4-3所示。

積分作用的特點(diǎn)是：調(diào)節(jié)器的輸出與偏差存在時(shí)間有關(guān)，只要有偏差存在，輸出就會(huì)隨時(shí)間不斷增長(zhǎng)，直到偏差消除，調(diào)節(jié)器的輸出才不會(huì)變化。因此積分作用能消除靜差，這是它的優(yōu)點(diǎn)。但從圖4-3可以看出，積分的作用動(dòng)作緩慢（不像比例調(diào)節(jié)器，只要偏差一出現(xiàn)就立即響應(yīng)），而且在偏差剛一出現(xiàn)時(shí)，調(diào)節(jié)器作用很弱，不能及時(shí)克服擾動(dòng)的影響，致使被調(diào)參數(shù)的動(dòng)態(tài)偏差增大，調(diào)節(jié)過(guò)程增長(zhǎng)，因此它很少被單獨(dú)使用。

如果把比例和積分兩種作用合起來(lái)，就構(gòu)成PI調(diào)節(jié)器，其調(diào)節(jié)規(guī)律為： (4-3) PI調(diào)節(jié)器的輸出特性曲線如圖4-4所示。

由圖4-4可以看出，對(duì)于PI調(diào)節(jié)器當(dāng)有一階躍作用時(shí)，開始瞬時(shí)有一比例輸出u1。隨后在同一方向，在u1的基礎(chǔ)上輸出值不斷增大，這就是積分作用。

由于積分作用不是無(wú)窮大，而是具有飽和作用，所以經(jīng)過(guò)一段時(shí)間以后，PI調(diào)節(jié)器的輸出趨于穩(wěn)定值K1KPe(t)，其中系數(shù)K1KP是時(shí)間t→時(shí)的增益，稱之為靜態(tài)增益，用=K1KP表示。由此可見，這樣的調(diào)節(jié)器既克服了單純比例調(diào)節(jié)器有靜差存在的缺點(diǎn)，又避免了積分調(diào)節(jié)器響應(yīng)慢的缺點(diǎn)，即靜態(tài)和動(dòng)態(tài)特性均得到了改善，所以應(yīng)用比較廣泛。3.比例微分調(diào)節(jié)器（PD）上述的PI調(diào)節(jié)器動(dòng)作快，可以消除靜態(tài)誤差，是一種廣為應(yīng)用的調(diào)節(jié)器。然而一旦控制對(duì)象具有較大的慣性時(shí)，用PI調(diào)節(jié)器就無(wú)法得到很好的調(diào)節(jié)品質(zhì)。這時(shí)，如果在調(diào)節(jié)器中加入微分作用，亦即在偏差剛剛出現(xiàn)偏差值尚不大時(shí)，根據(jù)偏差變化的趨勢(shì)（即變化速度），提前給出較大的調(diào)節(jié)作用，使偏差盡快消除。由于調(diào)節(jié)及時(shí)，可以大大減小系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差及調(diào)節(jié)時(shí)間，從而使過(guò)程的動(dòng)態(tài)品質(zhì)得到改善。微分方程為

(4-4)式中TD——微分時(shí)間常數(shù)

微分作用響應(yīng)曲線如圖4-5所示.

實(shí)際PD調(diào)節(jié)器的階躍響應(yīng)曲線，如圖4-6所示。

為了進(jìn)一步改善品質(zhì)，往往把比例、積分、微分三種作用組合起來(lái)，形成PID三作用調(diào)節(jié)器。理想的PID微分方程為

(4-5)其對(duì)階躍信號(hào)的響應(yīng)曲線，如圖4-7所示。

由圖4-7可以看出，對(duì)于一個(gè)PID三作用調(diào)節(jié)器，在階躍信號(hào)作用下，首先是比例和微分作用，使其調(diào)節(jié)作用加強(qiáng)，然后再進(jìn)行積分，直到最后消除靜差為止。因此，采用PID調(diào)節(jié)器，無(wú)論從靜態(tài)，還是從動(dòng)態(tài)的角度來(lái)說(shuō)，調(diào)節(jié)品質(zhì)均得到了改善，從而使得PID調(diào)節(jié)器成為一種應(yīng)用廣泛的調(diào)節(jié)器。

這里要說(shuō)明的是，并非所有系統(tǒng)都需要使用PID調(diào)節(jié)器，在工業(yè)控制系統(tǒng)中，PI、PD調(diào)節(jié)器也常常被人們所采用，因?yàn)樗鼈儽容^簡(jiǎn)單。究竟使用哪一種調(diào)節(jié)器合適，只有根據(jù)具體情況，并根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行選定。4.1.2數(shù)字PID調(diào)節(jié)器控制算法1.PID算法的數(shù)字化由公式(4-5)可知，在模擬調(diào)節(jié)系統(tǒng)中PID算法的模擬表達(dá)式為：

(4-6)式中：u(t)——調(diào)節(jié)器的輸出信號(hào)；e(t)——調(diào)節(jié)器的偏差信號(hào)，它等于測(cè)量值與

給定值之差；KP——調(diào)節(jié)器的比例系數(shù)；T1——調(diào)節(jié)器的積分時(shí)間；TD——調(diào)節(jié)器的微分時(shí)間。

由于DDC系統(tǒng)是一種時(shí)間離散控制系統(tǒng)，即它是對(duì)多個(gè)調(diào)節(jié)回路進(jìn)行繼續(xù)控制。因此為了用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)式(4-6)，必須將其離散化用數(shù)字形式的差分方程來(lái)代替連續(xù)系統(tǒng)的微分方程。此時(shí)積分項(xiàng)和微分項(xiàng)可用求和及增量式表示：

(4-7)

(4-8)

將式(4-7)和式(4-8)代入式(4-6)，則可得到離散PID表達(dá)式：

(4-9)式中，Δt=T——采樣周期；e(n)——第n次采樣時(shí)的偏差值；e(n-1)——第(n-1)次采樣時(shí)的偏差值；n——采樣序號(hào)，n=0，1，2……

由于式(4-9)的輸出值與閥門開度的位置一一對(duì)應(yīng)，因此通常把式(4-9)稱為PID的位置控制算式。由式(4-1-9)可以看出，要想計(jì)算，不僅需要本次與上次的偏差信號(hào)e(n)與e(n-1)，而且還要在積分項(xiàng)把歷次的偏差信號(hào)e(j)進(jìn)行相加。這樣不僅使得計(jì)算繁瑣而且為了保留e(j)還要占用很大的內(nèi)存。因此用式(4-9)直接進(jìn)行控制是不方便的。為此我們做如下的改動(dòng)：

根據(jù)推理原理可寫出(n–1)次的PID輸出表達(dá)式：

(4-10)用式(4-9)減去式(4-10)可得：整理后可得：

(4-11)式中

——積分系數(shù)

——微分系數(shù)由式(4-11)可知，要計(jì)算第n次輸出值U（n），只需知道U(n-1)，e(n)，e(n-1)，e(n-2)即可，比用式(4-9)計(jì)算要簡(jiǎn)單得多。在很多控制系統(tǒng)中，由于執(zhí)行機(jī)構(gòu)是采用步進(jìn)電機(jī)或多圈電位器進(jìn)行控制的，所以此時(shí)只要給一個(gè)增量信號(hào)即可。因此我們可以把式(4-9)和式(4-10)相減得到：

(4-12)式中KI、KD同式(4-11)。

式(4-12)表示第n次輸出的增量ΔU(n)，等于第n次與第n-1次調(diào)節(jié)器輸出的差值，即在第（n1）次的基礎(chǔ)上增加（或減少）的量，所以式(4-12)叫做PID的增量控制式。

用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)位置型和增量型控制算式的原理如圖4-8所示。在位置控制算式中，由于全量輸出所以每次輸出均與原來(lái)位置量有關(guān)。為此這不僅需要對(duì)e(j)進(jìn)行累加，而且計(jì)算機(jī)的任何故障都會(huì)引起U(n)大幅度變化，對(duì)生產(chǎn)不利。

而增量控制雖然改動(dòng)不大，然而卻帶來(lái)了很多優(yōu)點(diǎn)：必要時(shí)可用邏輯判斷的方法去掉；手動(dòng)/氣動(dòng)切換時(shí)沖擊比較小；不產(chǎn)生積分失控，所以容易獲得較好的調(diào)節(jié)效果。但是增量型控制也有其不足之處：積分截?cái)嘈?yīng)大，有靜態(tài)誤差；溢出的影響大。

在選擇時(shí)不可一概而論，而應(yīng)該根據(jù)被控對(duì)象的實(shí)際情況加以選擇。一般認(rèn)為，在以可控硅作為執(zhí)行器或?qū)刂凭纫蟾叩南嗤?，?yīng)當(dāng)采用位置型算法，而在以步進(jìn)電機(jī)或電動(dòng)閥門作執(zhí)行器的系統(tǒng)中，則應(yīng)用增量式算法。

2.PID算法程序設(shè)計(jì)

從上面的分析可知，按式(4-11)和(4-12)就可進(jìn)行PID程序設(shè)計(jì)。其實(shí)兩式基本上是相同的，只不過(guò)相差U(k-1)一項(xiàng)，為了使讀者多了解幾種程序設(shè)計(jì)方法，下面介紹位置型和增量型PID程序設(shè)計(jì)。(1)位置型PID算法的程序設(shè)計(jì)根據(jù)式(4-1-9)可寫出第k次采樣PID表達(dá)式為

(4-13) 式中：

——積分系數(shù)，

——微分系數(shù)。

為計(jì)算方便，設(shè)

則式(4-13)可寫為

(4-14)式(4-14)即為離散化的位置型PID編程表達(dá)式。由于KP，KI，KD有可能是小數(shù)，E(k)也可能是負(fù)數(shù)，編程時(shí)通常采用如下處理方法：①將小數(shù)或混合小數(shù)化為整數(shù);②采用16位有符號(hào)指令運(yùn)算。增量型PID算法的程序設(shè)計(jì) 根據(jù)式(4-12)可寫出第k次采樣增量型PID表達(dá)式為

(4-15)其中

(4-16)讀者可根據(jù)式(4-15)和式(4-16)自己編寫程序。 此外，在位置型PID算法中亦可采用增量型PID表達(dá)式計(jì)算，將式(4-11)改寫為

(4-17)采用式(4-17)的優(yōu)點(diǎn)是可以限制ΔU(k)，防止控制增量過(guò)大，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定有利。4.1.3數(shù)字PID調(diào)節(jié)器控制算法改進(jìn)

模擬調(diào)節(jié)器進(jìn)行的控制是連續(xù)的，控制作用每時(shí)每刻都在進(jìn)行；而數(shù)字控制器在保持器作用下，控制量在一個(gè)采樣周期內(nèi)是不變化的。

由于計(jì)算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算和輸入/輸出需要一定的時(shí)間，控制作用在時(shí)間上有延滯。

計(jì)算機(jī)的運(yùn)算字長(zhǎng)有限和A/D、D/A轉(zhuǎn)換器的分辨率及精度而使控制有誤差。

因此如果單純地由數(shù)字控制器去模仿模擬調(diào)節(jié)器，并不能獲得理想的控制效果。必須發(fā)揮計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度快、邏輯判斷功能強(qiáng)、編制程序靈活等優(yōu)勢(shì)，建立許多模擬調(diào)節(jié)器難以實(shí)現(xiàn)的特殊控制規(guī)律，才能在控制性能上超過(guò)模擬調(diào)節(jié)器。1.積分飽和及其防止方法(1)積分飽和的原因及影響假設(shè)給定值從0突變?yōu)?。在?zhí)行機(jī)構(gòu)不存在極限時(shí)，當(dāng)有突變量時(shí)，便產(chǎn)生很大的偏差e，從而使控制量u很大，并使輸出很快上升。然而由于在相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)，e保持很大，因此控制量u保持上升。只有當(dāng)e減小到某個(gè)值后，u才不會(huì)再增加，然后開始下降。當(dāng)?shù)扔谠O(shè)定值x*時(shí)，e等于0，但由于積分項(xiàng)的作用，使控制作用u仍很大，所以輸出量繼續(xù)上升，使輸出量出現(xiàn)超調(diào)。在變負(fù)后，積分項(xiàng)開始減小，使u下降較快。在y下降到小于x*時(shí)，偏差又變正，于是y又有所上升。在這以后，u趨向于u*，y也趨向于x*，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)過(guò)程見圖4-9的曲線a。

但是，如果執(zhí)行機(jī)構(gòu)存在極限，則在設(shè)定值從0突變?yōu)閤*時(shí)，控制量u只能取。在作用下，系統(tǒng)輸出y也將上升，但比在計(jì)算值u作用下要慢（見圖4-9上圖的曲線b）。這樣，誤差e要比沒(méi)有限制時(shí)在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)保持為較大的正值，這使積分項(xiàng)的累積也要大大增加。在輸出y達(dá)到設(shè)定值x*后，雖然e小于等于0，但由于積分項(xiàng)的積累太大，使u仍保持較大的數(shù)值，從而使y將大大超過(guò)設(shè)定值。只有e變負(fù)，并且持續(xù)較長(zhǎng)時(shí)間τ后，才能抵消以前累積的正的積分值，使，退出飽和區(qū)，回到正常的控制狀態(tài)，見圖4-9的曲線b。圖4-9中下圖u(t)的虛線部分是u的計(jì)算值?？梢姡饕捎趫?zhí)行機(jī)構(gòu)的限制和積分項(xiàng)的存在，引起了PID運(yùn)算的飽和，因此這種飽和稱為積分飽和。積分飽和增加了超調(diào)量和系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間。（2）積分飽和的抑制

有許多克服積分飽和的方法，下面介紹常用的兩種方法。a.積分分離法它的想法是，當(dāng)誤差較大時(shí)，取消積分作用，當(dāng)被調(diào)量接近設(shè)定值時(shí)，再加入積分作用，以減小靜差。即

使用PD數(shù)字控制器

使用PID數(shù)字控制器

在單片微機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，選擇一個(gè)偏差值ε作為積分項(xiàng)投入的閾值，這個(gè)偏差值稱為積分界限。當(dāng)實(shí)際偏差值大于等于積分界限ε時(shí)，不執(zhí)行PID表達(dá)式中的積分項(xiàng)。當(dāng)實(shí)際偏差值小于積分界限ε時(shí)在按PID表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算。

引入積分分離后，控制量不易進(jìn)入飽和區(qū)，即使進(jìn)入了，也能較快退出，使系統(tǒng)的輸出特性比單純PID控制得到改善，如圖4-10所示。積分界限的選取，對(duì)克服積分飽和有重要影響，它可通過(guò)實(shí)驗(yàn)整定。b.遇限制削弱積分法 遇限制削弱積分法的思想是，當(dāng)控制量進(jìn)入飽和區(qū)后，只執(zhí)行削弱積分項(xiàng)的累加，而不進(jìn)行增加積分項(xiàng)的累加。它在計(jì)算u(k)時(shí)，先判斷u(k–1)是否超過(guò)umin或umax，若已超過(guò)umax，則只累計(jì)負(fù)偏差；若小于umin，則只累計(jì)正偏差。其算法框圖見圖4-11。這種方法可減小系統(tǒng)處于飽和區(qū)的時(shí)間。2.數(shù)字PID控制微分作用的改進(jìn)（1）數(shù)字PID控制微分作用的缺點(diǎn)

微分作用有助于減小超調(diào)，克服振蕩，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，同時(shí)加快系統(tǒng)動(dòng)作速度，減小調(diào)整時(shí)間，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

但是，對(duì)于一般的數(shù)字PID算式，其微分項(xiàng)的作用有幾個(gè)缺點(diǎn)。為了分析數(shù)字PID的微分作用，由式(4-1-4)中得出微分部分的輸出與偏差的關(guān)系：

對(duì)應(yīng)的Z變換為

當(dāng)e(t)為單位階躍輸入時(shí)，

所以由此可得

即僅在t=T時(shí)，輸出等于

，在其他采樣時(shí)刻輸出均為0。

可見，對(duì)于單位階躍輸入，標(biāo)準(zhǔn)PID數(shù)字控制器的微分作用僅在第一個(gè)采樣周期存在，以后就無(wú)作用。而在連續(xù)控制系統(tǒng)中，PID調(diào)節(jié)器的微分部分能在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)起作用，如圖4-12所示。圖4-12中，a為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字PID控制器的微分作用，b為連續(xù)PID調(diào)節(jié)器的微分作用。

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字PID控制器的微分作用的另一個(gè)問(wèn)題是，當(dāng)偏差e(k)突然變大時(shí)，控制器的輸出在偏差產(chǎn)生的那一個(gè)采樣周期內(nèi)，輸出的數(shù)值很大，可能使執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)生飽和。且由于標(biāo)準(zhǔn)PID算式的微分作用的特點(diǎn)，使得它對(duì)階躍輸入特別敏感。則在系統(tǒng)受到干擾時(shí)，測(cè)量數(shù)據(jù)可能發(fā)生突發(fā)性誤差。因此，必須對(duì)標(biāo)準(zhǔn)PID算式的微分作用進(jìn)行改進(jìn)。（2）微分先行PID控制 在標(biāo)準(zhǔn)PID數(shù)字控制器算式中，加入一個(gè)慣性環(huán)節(jié)可構(gòu)成微分先行PID數(shù)字控制器。它不僅以平滑微分產(chǎn)生的瞬時(shí)脈動(dòng)，減小干擾的影響，而且能加強(qiáng)微分對(duì)全控制過(guò)程的影響。下面推導(dǎo)微分先行數(shù)字控制器的算式。 一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 (4-18)標(biāo)準(zhǔn)PID控制器的傳遞函數(shù)為

(4-19)由式(4-18)和(4-19)可得到微分先行PID調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)：

(4-20)設(shè)

即

這樣可把式(4-20)化簡(jiǎn)為

(4-21)

式(4-21)中，T1叫做實(shí)際積分時(shí)間，T2叫做實(shí)際微分時(shí)間，K1叫做放大系數(shù)，

叫做微分放大系數(shù)。為了保證PID控制作用和高頻濾波效果，通常要求

，即的取值范圍為

。使用中常取

。

式(4-21)對(duì)應(yīng)的框圖如圖4-13所示。圖中的前置方塊

，主要起微分作用，所以它稱為微分先行PID控制。由圖4-13可見，該微分先行控制器由三個(gè)環(huán)節(jié)組成，下面推導(dǎo)其計(jì)算公式。

使用后向差分近似方法，利用，由式(4-21)可得（4-22）

由式(4-1-22)可直接得出差分方程為

設(shè)

可得

(4-23)

按式(4-23)編寫程序，即可完成微分先行PID控制的計(jì)算。(3)不完全微分PID控制在標(biāo)準(zhǔn)PID算法的微分環(huán)節(jié)上直接加上一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)，也可克服完全微分的缺點(diǎn)，構(gòu)成不完全微分PID控制器。它的傳遞函數(shù)為

(4-24)式中Kd為微分增益，一般在3～10的范圍內(nèi)選取。它在微分環(huán)節(jié)上加了慣性環(huán)節(jié)，故有時(shí)稱為近似微分PID算式。它僅改變了標(biāo)準(zhǔn)PID控制器的微分部分，使得在偏差發(fā)生突變時(shí)，微分作用可比較平緩。按照前面介紹的微分先行PID控制器算式的推導(dǎo)方法，讀者可自行推導(dǎo)它的計(jì)算公式。3.其他PID控制方法(1)帶死區(qū)的PID控制在控制精度要求不高，控制過(guò)程要求盡量平穩(wěn)的場(chǎng)合，例如化工廠中間容量的液面控制，為了避免控制動(dòng)作過(guò)于頻繁，消除由此引起的振蕩，可以人為設(shè)置一個(gè)不靈敏區(qū)B，即采用帶死區(qū)的PID控制。當(dāng)

時(shí)，控制器輸出為u0（可以為0）。只有當(dāng)

時(shí)，才按PID算式計(jì)算控制量。即

死區(qū)B是一個(gè)可調(diào)參數(shù)。B值太小，調(diào)節(jié)動(dòng)作過(guò)于頻繁，達(dá)不到穩(wěn)定控制過(guò)程的目的；B值太大，又會(huì)產(chǎn)生很大的誤差和滯后。所以應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況來(lái)設(shè)定B的數(shù)值。(2)砰砰—PID復(fù)合控制砰砰（Bang-Bang）控制是一種時(shí)間最優(yōu)控制，又稱快速控制法。它的輸出只有開和關(guān)兩種狀態(tài)。在輸出低于設(shè)定值時(shí)，控制為開狀態(tài)（最大控制量），使輸出量迅速增大。在輸出預(yù)計(jì)將達(dá)到設(shè)定值的時(shí)刻，關(guān)閉控制輸出，依靠系統(tǒng)慣性，使輸出達(dá)到設(shè)定值。它的優(yōu)點(diǎn)是控制速度快，執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制比較簡(jiǎn)單（只有開、關(guān)兩種狀態(tài)）。缺點(diǎn)是如果系統(tǒng)特性發(fā)生變化，控制將發(fā)生失誤，從而產(chǎn)生大的誤差，并使系統(tǒng)不穩(wěn)定。為此，可綜合砰砰與PID兩種控制方式。在偏差大時(shí)，使用砰砰控制，以加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度。在偏差較小時(shí)，使用PID控制，以提高控制精度。即

|ek|>Q，砰砰控制

|ek|≤Q，PID控制

Q是一可調(diào)參數(shù)。Q取得小，砰砰控制范圍大，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間短，但超調(diào)量可能變大。Q取得大，則情況相反?？刂茣r(shí)，為|ek|>Q時(shí)，控制量取與偏差同符號(hào)的最大值或最小值，因此，當(dāng)偏差較大時(shí)，該最大的控制量迅速減小，可加速過(guò)渡過(guò)程。4.1.4數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的參數(shù)整定

在數(shù)字控制系統(tǒng)中，參數(shù)的整定是十分重要的，控制系統(tǒng)參數(shù)整定的好壞直接影響控制品質(zhì)。

由于一般的生產(chǎn)過(guò)程（如熱工和化工過(guò)程）都具有較大的時(shí)間常數(shù)，而數(shù)字控制系統(tǒng)（DDC）的采樣周期則要小的多（約差一個(gè)數(shù)量級(jí)），所以DDC系統(tǒng)以及PID數(shù)字控制器的參數(shù)整定，完全可以按照模擬調(diào)節(jié)器的各種參數(shù)整定方法進(jìn)行分析和綜合。但是數(shù)字控制器與模擬調(diào)節(jié)器相比畢竟有其特殊性，即除了比例系數(shù)KP，積分時(shí)間TI和微分時(shí)間TD外，還有一個(gè)重要參數(shù)——采樣周期T。合理地選擇采樣周期T，也是控制系統(tǒng)的關(guān)鍵問(wèn)題之一。1.采樣周期T的確定

前面已經(jīng)介紹了香農(nóng)（shannon）采樣定理。該定理給出了系統(tǒng)采樣頻率的上限為fn≥2fmax，此時(shí)系統(tǒng)可真實(shí)地恢復(fù)到原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。

從理論上講，采樣頻率越高，失真越小。但是從控制器本身來(lái)講，大都是依靠偏差E(k)進(jìn)行調(diào)節(jié)計(jì)算的。當(dāng)采樣周期T太小時(shí)，偏差信號(hào)ΔE(k)也會(huì)過(guò)小，此時(shí)計(jì)算機(jī)將失去調(diào)節(jié)作用，采樣周期T過(guò)長(zhǎng)將引起誤差。因此，采樣周期T必須綜合考慮。

影響采樣周期T的因素有：

加到被控對(duì)象的擾動(dòng)頻率

對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性

數(shù)字控制器D(z)所使用的算法及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的類型

控制回路數(shù)

對(duì)象所要求的控制質(zhì)量

采樣周期的選擇方法有兩種，一種是計(jì)算法，一種是經(jīng)驗(yàn)法。計(jì)算法由于比較復(fù)雜，特別是被控系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)難以確定，所以工程上用的比較少。工程上應(yīng)用最多的還是經(jīng)驗(yàn)法。

所謂經(jīng)驗(yàn)法是一種試湊法。即根據(jù)人們?cè)诳刂乒こ虒?shí)踐中積累的經(jīng)驗(yàn)以及被控對(duì)象的特點(diǎn)及參數(shù)，先選擇一個(gè)采樣周期T，然后送入微型機(jī)控制系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)被控對(duì)象的實(shí)際控制效果，再反復(fù)地改變采樣周期T，知道滿意為止。經(jīng)驗(yàn)法所采用的采樣周期如表4-2所示，表中所列的采樣周期T僅共參考，由于生產(chǎn)過(guò)程千變?nèi)f化，因此實(shí)際的采樣周期需要經(jīng)過(guò)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試后確定。2.擴(kuò)充臨界比例度法

擴(kuò)充臨界比例度法是簡(jiǎn)易工程整定方法之一。用它整定的步驟如下：

選擇一個(gè)足夠短的采樣周期Tmin。例如對(duì)于帶有純滯后

的系統(tǒng)其采樣周期取純滯后時(shí)間的十分之一以下。

求出臨界比例度δu和臨界振蕩周期Tu。具體方法是將上述的采樣周期Tmin輸入到計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，并只有比例控制，直到系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩。此時(shí)的比例度即為臨界比例度δu，振蕩周期稱為臨界振蕩周期Tu。

選擇控制度。所謂控制度，就是以模擬調(diào)節(jié)器為基準(zhǔn)，將DDC的控制效果與模擬調(diào)節(jié)器的控制效果相比較，控制效果的評(píng)價(jià)函數(shù)通常采用（誤差平方積分）表示。

(4-25)

對(duì)于模擬系統(tǒng)，其誤差平方面積可按記錄紙上的圖形計(jì)算。而DDC系統(tǒng)可有計(jì)算機(jī)直接計(jì)算。通常當(dāng)控制度為1.05時(shí)，表示DDC系統(tǒng)與模擬系統(tǒng)控制效果相當(dāng)。

根據(jù)控制度，查表4-3即可求出T、KP、TI和TD的值。3.擴(kuò)充響應(yīng)曲線法

斷開數(shù)字調(diào)節(jié)器，使系統(tǒng)在手動(dòng)狀態(tài)下工作。當(dāng)系統(tǒng)在給定值處平衡后，給一階躍輸入（如圖4-14(a)所示）。

用儀表記錄下被調(diào)參數(shù)在階躍作用下的變化過(guò)程曲線（即廣義對(duì)象的飛升特性曲線），如圖4-14(b)所示。

在曲線最大斜率處做切線，求得被控對(duì)象滯后時(shí)間θ，慣性時(shí)間常數(shù)τ以及它們的比值τ/θ。

根據(jù)所求得的τ，θ和τ/θ的值，查表4-4即可求得控制器的T、KP、TI和TD。4.大滯后系統(tǒng)的參數(shù)整定

當(dāng)被控對(duì)象存在較大滯后時(shí)，可采用D.M.Bain和G.D.Martin提出的適用大滯后過(guò)程參數(shù)整定方法。已知被控對(duì)象為一階滯后系統(tǒng)，即

(4-26)其中：K=Δy/Δu為相對(duì)增益； τ為慣性時(shí)間常數(shù)； θ為純滯后時(shí)間。

按下面公式計(jì)算KP、TI和TD：

(4-27) (4-28)

其中，A，B和C依表4-5的性能指標(biāo)選擇：例4-1：已知某一階滯后被控對(duì)象的參數(shù)為K=1.47，τ=750秒，θ=50秒。

按擴(kuò)充響應(yīng)曲線法求得當(dāng)控制度=1.05時(shí)，PID控制器參數(shù)為：T=2.5，KP=17.25，TI=100，TD=22.5。

按D.M.Bain方法，當(dāng)T=5秒時(shí)，按最小IAE指標(biāo)選擇PID控制器參數(shù)為：KP=3.1，TI=771。

以上三種方法特別適用于被控對(duì)象是一階滯后環(huán)節(jié)。如果被控對(duì)象為其它環(huán)節(jié)，則可采用其它方法進(jìn)行整定。4.2串級(jí)控制4.2.1基本原理1.串級(jí)控制系統(tǒng)基本概念 圖4-15為串級(jí)控制的方框圖，該系統(tǒng)有兩個(gè)控制器，主控制器和副控制器，主控制器的輸出作為副控制器的給定，因此稱之為串級(jí)控制。

現(xiàn)將方框圖中的有關(guān)名詞簡(jiǎn)介如下：

主被控量——指工藝控制指標(biāo)。是在串級(jí)系統(tǒng)中起主導(dǎo)作用的被控量y1。

副被控量——指為了穩(wěn)定主被控量或因某種需要而引入的輔助變量y2。

主對(duì)象——由主被控量表征其主要特性的生產(chǎn)設(shè)備，如下例中的加熱爐。

副對(duì)象——由副被控對(duì)象表征其主要特性的生產(chǎn)設(shè)備，如上例中爐膛溫度檢測(cè)點(diǎn)至調(diào)節(jié)閥之間的設(shè)備。

主控制器——按主被控量的測(cè)量值與工藝規(guī)定值（即設(shè)定值）之間的偏差工作，其輸出作為副控制器的設(shè)定值，在系統(tǒng)中起主導(dǎo)作用。

副控制器——按副被控量的測(cè)量值與來(lái)自主控制器的設(shè)定值偏差工作，其輸出直接操縱執(zhí)行結(jié)構(gòu)（執(zhí)行器）。在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，上面的兩個(gè)控制器均可用計(jì)算機(jī)來(lái)替代，或者用一臺(tái)計(jì)算機(jī)完成兩方面的工作。

主回路——由主對(duì)象、主檢測(cè)變送器、主控制器、副控制器、執(zhí)行器及副對(duì)象構(gòu)成的外回路（也稱外環(huán)或主環(huán)）。

副回路——由副對(duì)象、副檢測(cè)變送器、副控制器及執(zhí)行機(jī)構(gòu)所構(gòu)成的內(nèi)回路（也稱內(nèi)環(huán)或副環(huán)）。2.串級(jí)控制系統(tǒng)工作原理

圖4-15中F1、F2為外部擾動(dòng)，F(xiàn)2作用于副回路，F(xiàn)1作用于主回路。當(dāng)F2產(chǎn)生時(shí)，由于副對(duì)象時(shí)間常數(shù)較小，副控制器立刻進(jìn)行調(diào)節(jié)。如干擾較小，經(jīng)副回路調(diào)節(jié)以后，副回路輸出y2基本保持不變，這樣就不會(huì)影響y1。當(dāng)干擾較大，則要影響y1，這時(shí)主控制器的輸出開始變化，副控制器接受給定值與測(cè)量值兩方面的變化，從而使偏差增加，校正作用加強(qiáng)，加速了調(diào)節(jié)過(guò)程。

當(dāng)F1作用于主回路時(shí)，主控制器根據(jù)輸出y1的變化去改變副控制器的給定，副控制器接受指令后，很快產(chǎn)生校正作用使輸出y1穩(wěn)定，縮短了調(diào)整時(shí)間。

若F1、F2同時(shí)作用主、副回路，當(dāng)它們使得主被控變量與副被控變量同一方向變化，則副控制器的輸入偏差增大，從而它的輸出變化較大，以迅速克服干擾；如果主被控變量與副被控變量分別往相反方向變化，則副控制器輸入的偏差減小，它的輸出只要有較小的變化就能克服擾動(dòng)。

綜上所述，在串級(jí)控制系統(tǒng)中，由于主、副控制器串聯(lián)在一起，再加上一個(gè)閉合的副回路，不僅能克服作用于副回路的干擾，而且能使作用于主回路的干擾加快調(diào)節(jié)過(guò)程。在調(diào)節(jié)過(guò)程中，副回路具有先調(diào)、快調(diào)、粗調(diào)的特點(diǎn)，主回路則相反，具有后調(diào)、慢調(diào)、細(xì)調(diào)的特點(diǎn)。主副控制器相互配合，使系統(tǒng)輸出穩(wěn)定，與簡(jiǎn)單PID單回路控制相比，大大改善了調(diào)節(jié)過(guò)程的品質(zhì)。4.2.2

設(shè)計(jì)舉例1.管式加熱爐溫度串級(jí)控制系統(tǒng)（1）問(wèn)題提出

石油工業(yè)的管式加熱爐，其主要任務(wù)是把石油或重油加熱到一定溫度，以保證下道工序的順利進(jìn)行。加熱爐的工藝過(guò)程如圖4-16所示，被加熱的原料油流過(guò)爐膛四周的排管后，被加熱到出口溫度，工藝上要求油料出口溫度的波動(dòng)不超過(guò)±1～2℃。（2）被控對(duì)象分析

燃料油經(jīng)過(guò)蒸汽霧化后在爐膛中燃燒，被加熱油料（原料油）流過(guò)爐膛四周排管后，就被加熱到出門溫度，在燃料油管道上安裝了一個(gè)調(diào)節(jié)閥，用它來(lái)控制燃油量以達(dá)到調(diào)節(jié)溫度的目的。從現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際分析，引起原料油出口溫度改變的擾動(dòng)因素很多，主要有：

燃料油方面（燃料油組分和調(diào)節(jié)閥前的油壓）的擾動(dòng)。

噴油用的過(guò)熱蒸汽壓力波動(dòng)。

被加熱油料方面（其流量和入口溫度）的擾動(dòng)。

爐膛漏風(fēng)和大氣溫度方面的擾動(dòng)。（3）串級(jí)控制系統(tǒng)

從上述分析可見，用簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)無(wú)法完成控制要求，即可考慮采用串級(jí)控制系統(tǒng)。在串級(jí)控制系統(tǒng)中，由爐膛溫度來(lái)控制調(diào)節(jié)閥（見圖4-16），然后再用出口油溫來(lái)修正爐膛溫度的設(shè)定值，其控制方案的框圖如圖4-17所示。2.串級(jí)控制系統(tǒng)的工作過(guò)程

對(duì)于串級(jí)控制系統(tǒng)，當(dāng)擾動(dòng)作用發(fā)生時(shí)，控制系統(tǒng)克服擾動(dòng)的過(guò)程即開始。根據(jù)擾動(dòng)進(jìn)入系統(tǒng)的位置不同，可將其分為兩類，將包含于副回路的擾動(dòng)稱為二次擾動(dòng)，而把作用于副回路之外的擾動(dòng)稱為一次擾動(dòng)，現(xiàn)分三種情況討論。

擾動(dòng)進(jìn)入副回路

擾動(dòng)進(jìn)入主回路

擾動(dòng)同時(shí)作用于主、副回路3.串級(jí)控制系統(tǒng)的特性分析（1）克服二次干擾的能力強(qiáng)這主要是由于副回路具有快速作用，它能夠有效地克服二次干擾的影響。可以說(shuō)串級(jí)系統(tǒng)的主要作用是用來(lái)克服進(jìn)入副回路的二次干擾。如圖4-18。

當(dāng)二次干擾經(jīng)過(guò)干擾通道Gf2(s)后，進(jìn)入副環(huán)，首先影響副被控量y2，于是副控制器立即動(dòng)作，力圖削弱干擾對(duì)y2的影響。顯然，干擾經(jīng)過(guò)副環(huán)的抑制后再進(jìn)入主環(huán)，對(duì)主被控量y1的影響將有較大的削弱。按圖4-18所示的串級(jí)控制系統(tǒng)，可以寫出二次干擾F2至主被控量yl的傳遞函數(shù)G(s)：（4-29）

為了與單回路控制系統(tǒng)相比較，由圖4-19可以很容易地得到單回路控制下F2至yl的傳遞函數(shù)G′(s)：

(4-30)（2）改變對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性，提高系統(tǒng)的工作頻率

內(nèi)環(huán)的存在可以改善對(duì)象動(dòng)態(tài)特性，因此可以加大主控制器的增益，提高系統(tǒng)的工作頻率。分析比較圖4-18和4-19，不難發(fā)現(xiàn)串級(jí)控制系統(tǒng)中的內(nèi)環(huán)似乎代替了單回路中的一部分對(duì)象，亦即可以把整個(gè)副回路看成是一個(gè)等效對(duì)象G′P2(s)： (4-31)

假如副回路中各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為

；

；

；

(4-32)

將式(4-32)代入(4-31)有

(4-33)

令

(4-34) (4-35)

則式(4-33)變?yōu)?(4-36)

式中，K′p2和T′p2分別為等效對(duì)象的增益和時(shí)間常數(shù)。

比較G′P2(s)與GP2(s)，由于Kc2KvKm2Kp2≥0，這個(gè)不等式在任何情況下都成立，故有

<(4-37)

這就說(shuō)明，副回路的存在起到了改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的作用。等效時(shí)間常數(shù)縮小了(Kc2KvKm2Kp2)倍，而且隨著副控制器比例系數(shù)的增大而減小。通常情況下，副對(duì)象是單容或雙容對(duì)象，因此副控制器的比例系數(shù)可以取得很大，這樣，等效時(shí)間常數(shù)就可以減到很小，從而加快了副環(huán)的響應(yīng)速度，提高了系統(tǒng)的工作頻率。(3)串級(jí)控制系統(tǒng)有一定的自適應(yīng)能力

我們知道，生產(chǎn)過(guò)程總是包含一些非線性因素。因此，在一定負(fù)荷下，即在確定的工作點(diǎn)情況下，按一定控制質(zhì)量指標(biāo)整定的控制系數(shù)只適應(yīng)工作點(diǎn)附近的一個(gè)小范圍。如果負(fù)荷變化過(guò)大，超過(guò)了這個(gè)范圍，那么控制質(zhì)量就會(huì)下降，在單回路控制系統(tǒng)中若不采用其它措施是難以解決的。但在串級(jí)控制系統(tǒng)中情況就不同了，負(fù)荷變化引起副回路內(nèi)各環(huán)節(jié)參數(shù)的變化，可以較少影響或不影響系統(tǒng)的控制質(zhì)量。

這可以用式(4-34)所表示的等效副對(duì)象的增益公式來(lái)說(shuō)明，等效對(duì)象的增益為

一般情況下，Kc2KvKm2Kp2>>1。

因此，如果副對(duì)象增益或調(diào)節(jié)閥的特性隨負(fù)荷變化時(shí)，對(duì)等效增益的影響不大，因而在不改變調(diào)節(jié)器（控制器）整定參數(shù)的情況下，系統(tǒng)的副回路能自動(dòng)地克服非線性因素的影響，保持或接近原有的控制質(zhì)量；從另一方面看，由于副回路通常是一個(gè)流量隨動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)的操作條件或負(fù)荷改變時(shí)，主控制器將改變其輸出值，副回路能快速跟蹤并及時(shí)而又精確地控制流量（操縱量），從而保持系統(tǒng)的控制品質(zhì)，從上面的分析可見，串級(jí)控制系統(tǒng)對(duì)負(fù)荷的變化具有一定的自適應(yīng)能力。

為進(jìn)一步說(shuō)明串級(jí)控制系統(tǒng)的控制效果，下面用頻率法來(lái)估算一個(gè)實(shí)例。例4-2：設(shè)串級(jí)控制系統(tǒng)實(shí)例的力框圖如圖4-20所示。其主、副對(duì)象的傳遞函數(shù)分別為

；

主、副控制器的傳遞函數(shù)分別為

；

用頻率法估算結(jié)果如表4-6所示。

從表中可以看到，由于采用串級(jí)控制，系統(tǒng)工作頻率由單回路的0.087增加到0.23，加快了2.6倍；二次擾動(dòng)下最大動(dòng)態(tài)偏差由單回路的0.24減小到0.011，大約減小了22倍之多；即使是一次擾動(dòng)作用下，最大動(dòng)態(tài)偏差也由單問(wèn)路的0.3減小到0.11，減小了近3倍。由此可見，串級(jí)控制系統(tǒng)控制效果的改善作用是十分明顯的。4.3大林（Dahlin）算法

在熱工及化工生產(chǎn)過(guò)程中，大多數(shù)過(guò)程存在純滯后。被控對(duì)象的純滯后時(shí)間對(duì)控制系統(tǒng)的控制性能極為不利，它使系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低，過(guò)渡過(guò)程的特性變壞。當(dāng)對(duì)象的純滯后時(shí)間與對(duì)象的時(shí)間常數(shù)T之比/T0.5時(shí)，若使用常規(guī)的PID控制，很難達(dá)到系統(tǒng)的控制目標(biāo)；尤其是對(duì)大滯后系統(tǒng)，PID控制策略難以勝任。如果采用數(shù)字控制器的Z域最少拍直接設(shè)計(jì)方法，則系統(tǒng)不僅不能達(dá)到最少拍的預(yù)期效果，反而造成系統(tǒng)較大的超調(diào)和振蕩。這類系統(tǒng)的控制特點(diǎn)是要求其超調(diào)量為零或較小，而快速性是次要的，并且允許有較長(zhǎng)的調(diào)整時(shí)間。在對(duì)這類含有純滯后的被控對(duì)象進(jìn)行設(shè)計(jì)中，常采用大林算法或補(bǔ)償（Smith）控制，以取得較好的控制效果。 這類控制系統(tǒng)的被控對(duì)象連續(xù)傳遞函數(shù)G0(S)常用帶純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)描述，既

或(4-38)式中，為滯后時(shí)間，T1、T2為時(shí)間常數(shù)，K為放大系數(shù)。為簡(jiǎn)便起見，設(shè)=NT，N為正整數(shù)，T為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的采樣周期。4.3.1大林算法的設(shè)計(jì)原理

大林算法主要解決超調(diào)問(wèn)題，其設(shè)計(jì)原理是，以大林算法設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器，使所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)帶有滯后的一階慣性環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)，其滯后時(shí)間大小與被控對(duì)象G0(s)的滯后相同，既

(4-39)上式中為閉環(huán)系統(tǒng)的的時(shí)間常數(shù)。

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖4-21所示，圖中H0(s)為零階保持器；大林算法的閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為

(4-40)

因此，數(shù)字控制器D(z)的脈沖傳遞函數(shù)為：

(4-41)1、帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)的大林算法

(4-42)代入，并進(jìn)行Z變換

(4-43)將上式代入(4-41)式，得

(4-44)2、帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)的大林算法

(4-45)代入，并進(jìn)行Z變換

(4-46)其中

(4-47)

(4-48)將(4-46)、(4-47)、(4-48)式代入(4-41)，得

(4-49)4.3.2振鈴現(xiàn)象及其消除

振鈴現(xiàn)象是指數(shù)字控制器的輸出u(kT)以接近1/2采樣頻率（既二倍采樣周期）的頻率大幅度的波動(dòng)。它對(duì)系統(tǒng)的輸出幾乎無(wú)影響，但是，由于振鈴現(xiàn)象的存在，會(huì)使執(zhí)行器頻繁的調(diào)整，加速磨損。

衡量振鈴現(xiàn)象強(qiáng)烈程度的量是振鈴幅度RA（RingAmplitude）。它的定義是數(shù)字控制器在單位階躍輸入的作用下，第0次的輸出幅度與第一次的輸出幅度之差，既

RA=u(0)-u(T)

(4-50)

振零現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于控制器輸出的Z變換U(z)中含有Z平面單位園內(nèi)左半平面接近z=-1的極點(diǎn)。距離z=-1越近，振鈴幅度越大。U(z)中單位圓右半平面的零點(diǎn)會(huì)加劇振鈴現(xiàn)象，而右半平面的極點(diǎn)會(huì)削弱振鈴現(xiàn)象。

大林提出了一種消除振鈴現(xiàn)象的方法，既先找出D(z)中引起振玲現(xiàn)象的極點(diǎn)的因子（z=-1附近的因子），然后令因子的z=1，這樣就消除了這個(gè)極點(diǎn)。根據(jù)終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出保持不變。

例4-3若數(shù)字控制器D(z)的傳遞函數(shù)分別為

、

、

，在單位階躍作用下，試求振鈴幅度RA。解1、

RA=u(0)-u(T)=1-0.5=0.5

由于該D(z)中-0.5極點(diǎn)距離z=-1較遠(yuǎn)，振鈴幅度較小。

2、

RA=u(0)-u(T)=1-0.7=0.3

由于該D(z)中右半平面增加0.2極點(diǎn)，振鈴幅度與1相比變小。

3、

RA=u(0)-u(T)=1-0.2=0.8

由于該D(z)中右半平面增加0.5零點(diǎn)，振鈴幅度與2相比加劇。例4-4已知被控對(duì)象的傳遞函數(shù)

，采樣周期T=0.5s，所期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)

=0.5s，試用大林算法設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D(z)，并分析是否產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象，若有則消除。解1、求系統(tǒng)的廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)

以T=0.5代入得

2、求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)H(z)

其中

，

，

，代入上式，得

，則3、判斷是否出現(xiàn)振零現(xiàn)象

顯然，數(shù)字控制器輸出U(kT)正負(fù)上下擺動(dòng)，有振鈴現(xiàn)象。因?yàn)閁(z)中有z=–0.858這個(gè)靠近z=–1的極點(diǎn)。4、求數(shù)字控制器D(z)

上式中，令極點(diǎn)因子

中z=1，得

4.4數(shù)字控制器設(shè)計(jì)方法

數(shù)字控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)是基于被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型已知的情況下，用控制理論的方法，設(shè)計(jì)出數(shù)字控制器，使控制系統(tǒng)滿足一定的性能指標(biāo)。工程上常見的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，如圖4-22所示。

由圖可見，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)由連續(xù)部分和離散部分組成。連續(xù)部分就是保持器和控制對(duì)象，絕大多數(shù)情況下使用的是零階保持器。

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法分為離散化設(shè)計(jì)方法和連續(xù)化設(shè)計(jì)方法兩種。離散化設(shè)計(jì)方法是，將被控對(duì)象和保持器組成的連續(xù)部分離散化，直接應(yīng)用離散控制理論的一套方法進(jìn)行分析和綜合，設(shè)計(jì)出滿足控制指標(biāo)的離散控制器，由計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)。連續(xù)化設(shè)計(jì)方法是，忽略控制回路中所有的零階保持器和采樣器，在s域中按連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行初步設(shè)計(jì)，求出連續(xù)控制器，然后再將連續(xù)控制器變換為離散控制器，由計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)。

這些設(shè)計(jì)方法以z變換理論為基礎(chǔ)，以傳遞函數(shù)為工具。在這些設(shè)計(jì)方法中，經(jīng)常需要連續(xù)和離散對(duì)象的轉(zhuǎn)換，因此下面首先討論這個(gè)問(wèn)題。4.4.1連續(xù)對(duì)象的離散化方法1.沖激響應(yīng)不變法

沖激響應(yīng)不變法就是指離散環(huán)節(jié)G(z)的單位沖激響應(yīng)h(kT)與連續(xù)環(huán)節(jié)G(s)的單位脈沖響應(yīng)h(t)的采樣點(diǎn)的值相等。如圖4-23所示。

在圖中，h(t)是G(s)的單位脈沖響應(yīng)，h(k)是G(z)的單位沖激響應(yīng)，G(z)的輸入是單位沖激函數(shù)δ(k)，也稱克羅內(nèi)克（kronecker）函數(shù)，定義

(4-51)

現(xiàn)在要求G(z)的輸出h(k)等于G(s)的輸出h(t)在采樣點(diǎn)的數(shù)值。在圖4-23中，若系統(tǒng)的輸入r(t)=δ(t)，在連續(xù)系統(tǒng)的情況下，G(s)=L[h(t)]/L[δ(t)]，由于L[δ(t)]=1，所以G(s)=L[h(t)]，即環(huán)節(jié)(或系統(tǒng)）的傳遞函數(shù)G(s)等于脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)的拉氏變換；在離散系統(tǒng)中，G(s)=Z[h(kT)]/Z[δ(kT)]，因?yàn)閆[δ(kT)]=1，所以G(s)=Z[h(kT)]，即環(huán)節(jié)(或系統(tǒng)）的傳遞函數(shù)G(z)等于單位沖激響應(yīng)h(kT)的z變換，其中T為采樣周期。這種求取離散等效傳遞函數(shù)G(z)的方法稱為沖激響應(yīng)不變法。

它可以按照以下三個(gè)步驟進(jìn)行：

利用拉普拉斯反變換，計(jì)算單位脈沖響應(yīng)

；

將h(t)按采樣周期T離散化求得離散序列h(kT),簡(jiǎn)寫為h(k)；

應(yīng)用Z變換求等效的離散傳遞函數(shù)(4-52)利用以上步驟求G(z)的過(guò)程通常簡(jiǎn)記為(4-53)

因?yàn)閆變換表中只給出一些典型函數(shù)的變換關(guān)系，所以對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)尚需進(jìn)行復(fù)雜的分解以后才能查表。例4-5試離散化連續(xù)環(huán)節(jié)

，求G(z)。解：脈沖響應(yīng)函數(shù)

，對(duì)采樣周期為T，得

，作為離散環(huán)節(jié)的單位沖激響應(yīng)，則離散環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)例4-6設(shè)圖4-23中，

，試求G(z)。解：

例4-7設(shè)圖4-23中，，試求G(z)。解：

由于沖激響應(yīng)不變法實(shí)質(zhì)上是z變換法，故又稱為Z變換法。s平面與z平面的映射關(guān)系是基于，因此s平面左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)，當(dāng)G(s)是穩(wěn)定的，變換后的G(z)也是穩(wěn)定的。采樣周期的選擇應(yīng)滿足采樣定理，根據(jù)系統(tǒng)的頻帶寬度應(yīng)適當(dāng)提高采樣頻率。與沖激響應(yīng)不變法類似，還有階躍不變法和斜坡不變法。2.零階保持器法 在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，常常需要將連續(xù)的控制對(duì)象連同保持器一起離散化，使其變成純粹的離散系統(tǒng)來(lái)簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，如圖4-24所示。因此下面考慮實(shí)用中最經(jīng)常碰到的前面帶有零階保持器的連續(xù)對(duì)象的離散化問(wèn)題。Gh(s)是零階保持器的傳遞函數(shù)。

圖4-24(a)中，若令

(4-54)即代替了圖4-24(a)中的G(s)，則圖4-24(a)可簡(jiǎn)化成圖4-24(b)。于是利用沖激響應(yīng)不變法可以使得G(z)的輸出等于的輸出在采樣點(diǎn)的數(shù)值。利用前面定義的簡(jiǎn)記符號(hào)，并參考式(4-54)及Z變換的性質(zhì)可以求得(4-55)

按照上式可直接通過(guò)查z變換表而求得G(z)，也可以利用計(jì)算機(jī)幫助計(jì)算。首先計(jì)算

，然后再將所得結(jié)果乘以()，即得零階保持等效離散傳遞函數(shù)G(z)。例4-8試將帶有零階保持器的對(duì)象

變換成G(z)。

解：3.雙線性變換法雙線性變換法又稱塔斯廷變換或稱梯形積分法。

根據(jù)從G(s)到G(z)的雙線性變換

(4-56)可以很容易求得從G(z)到G(s)的變換關(guān)系為

(4-57)例4-9試將

雙線性變換成G(z)。解：

例4-10試將

雙線性變換成G(s)。解：

雙線性變換法的主要特點(diǎn)：

雙線性變換方法簡(jiǎn)單，容易計(jì)算，它適用于G(s)或G(z)

的分子和分母已展成多項(xiàng)式的情形。

雙線性變換將s左半平面映射到z平面上的單位圓內(nèi)，因而沒(méi)有混疊效應(yīng)，而且，雙線性變換不改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，有時(shí)為了判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可首先將G(z)經(jīng)雙線性變換化為G(s)，然后再用連續(xù)系統(tǒng)判斷穩(wěn)定性的方法來(lái)判斷原離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

雙線性變換是基于用梯形法則對(duì)微分方程進(jìn)行差分近似，因而這樣的變換是近似的。但是，當(dāng)采樣周期T足夠小時(shí)，有較高的變換精度。4.零極點(diǎn)匹配法G(s)常常以零極點(diǎn)的形式給出，如

(4-58)其中n≥m。這時(shí)獲得離散等效傳遞函數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的方法是利用的關(guān)系，將s平面上的零點(diǎn)和極點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)地映射到z平面上的零點(diǎn)和極點(diǎn)。

應(yīng)用以上給出的變換規(guī)則，可以寫出相應(yīng)于式(4-58)的離散傳遞函數(shù)為

(4-59)

其中T為離散化步距。若在離散傳遞函數(shù)中要求有一拍延遲，則上式分子中的最后一項(xiàng)應(yīng)為。

式(4-59)中系數(shù)的選擇是使得在某個(gè)特征頻率G(s)與G(z)具有同樣的增益。在絕大多數(shù)控制系統(tǒng)的應(yīng)用中，特征頻率通常選為ω=0，就是使得 (4-60)

若在其它場(chǎng)合，該特征頻率可選用別的值。例4-11試應(yīng)用上述規(guī)則，將離散為G(z)。解：G(s)有一極點(diǎn)在s=-a，有一零點(diǎn)在s=∞。按上述規(guī)則求得(4-61)根據(jù)式(4-60)的增益匹配原則(4-62)得(4-63)將式(4-63)代入式(4-61)得(4-64)若考慮一拍的延遲，則應(yīng)有(4-65)利用增益匹配原則

(4-66)得

，代入式(4-65)得(4-67)

零極點(diǎn)匹配法的轉(zhuǎn)換關(guān)系非常簡(jiǎn)單，計(jì)算也很容易。這種轉(zhuǎn)換關(guān)系的精確度跟采樣周期T有關(guān)，顯然T越小，精確程度越高。它主要用在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)及快速數(shù)字仿真等方面。4.4.2數(shù)字控制器的離散設(shè)計(jì)方法

在連續(xù)的控制對(duì)象離散化后，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)可當(dāng)作純粹的離散系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，因此控制器的設(shè)計(jì)可以直接在Z域進(jìn)行。本節(jié)將介紹常用的直接離散化設(shè)計(jì)方法--解析設(shè)計(jì)法。

解析設(shè)計(jì)法是一種最直接的數(shù)字設(shè)計(jì)方法。若根據(jù)系統(tǒng)的性能要求給出適當(dāng)?shù)拈]環(huán)傳遞函數(shù)H(z)，那么可以很容易地利用解析設(shè)計(jì)法求得所需求的控制器的傳遞函數(shù)D(z)。設(shè)離散控制系統(tǒng)具有如圖4-25所示的結(jié)構(gòu)圖。

根據(jù)圖4-25，可以求得從r到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(4-68)從而解得(4-69)該方法的關(guān)鍵不在于式(4-69)的計(jì)算，而在于如何根據(jù)性能指標(biāo)的要求合適地給出閉環(huán)傳遞函數(shù)H(z)，同時(shí)考慮到閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制器的可實(shí)現(xiàn)性等要求。下面討論這些問(wèn)題。1.可實(shí)現(xiàn)性

參考圖4-25，設(shè) (4-70)其中G(z)為連續(xù)控制對(duì)象G(s)經(jīng)零階保持法變換得到的離散傳遞函數(shù)。顯然有(4-71)degA(z)和degB(z)分別表示A(z)和B(z)的次數(shù)。同時(shí)設(shè)控制器的傳遞函數(shù)為(4-72)要使得控制器在物理上是可實(shí)現(xiàn)的，則必須要求(4-73)

上式意味著：要產(chǎn)生k時(shí)刻的控制量u(k)，最多只能利用直到k時(shí)刻的誤差數(shù)據(jù)

以及過(guò)去時(shí)刻的控制量

。根據(jù)式(4-68)、(4-70)及(4-72)，可以求得

(4-74)設(shè)A0(z)為上式中分子和分母相消的因子多項(xiàng)式，即有

(4-75)(4-76)根據(jù)式(4-71)及(4-73)，有

(4-77)因此

(4-78)根據(jù)式(4-76)，有

(4-79)將式(4-78)及(4-79)代入式(4-73)，整理得

(4-80)

式(4-80)其物理意義是：若對(duì)象傳遞函數(shù)的分母比分子高d階，則設(shè)定H(z)時(shí)也必須至少分母比分子高d階。也就是說(shuō)，若在對(duì)象中有d拍的延時(shí)，則在最后的閉環(huán)系統(tǒng)中也必定至少有d拍的延時(shí)。2.穩(wěn)定性根據(jù)式(4-70)及(4-74)，式(4-79)可寫為

(4-81)由上式可見，一般情況下D(z)可能會(huì)抵消G(z)的一部分甚至全部的零極點(diǎn)，因此設(shè)

(4-82)

(4-83)即，假設(shè)G(z)的極點(diǎn)多項(xiàng)式A1(z)和零點(diǎn)多項(xiàng)式B1(z)將被D(z)抵消。根據(jù)式(4-84)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

(4-84)將式(4-82)和(4-83)中的S(z)，R(z)，B(z)和A(z)代入式(4-84)得

(4-85)可見，被抵消的零點(diǎn)和極點(diǎn)仍然都是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。因此，為使閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，D(z)決不能抵消G(z)中位于單位圓上的或單位圓外的零極點(diǎn)。設(shè)(4-86)其中

和

分別表示所有根在單位圓上和單位圓外的因子多項(xiàng)式，

和

分別表示所有根在單位圓內(nèi)的因子多項(xiàng)式。

因此，為了保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，D(z)決不能抵消

和

。故此，根據(jù)式(4-81)，可以得到在設(shè)定H(z)時(shí)應(yīng)同時(shí)滿足的條件：(1)

中應(yīng)包含因子

；(2)

中應(yīng)包含因子

。

實(shí)際上，為了使系統(tǒng)具有滿意的性能，D(z)不僅不能抵消中不穩(wěn)定的零極點(diǎn)(即單位圓上及單位圓外的零極點(diǎn)），而且也不能抵消單位圓內(nèi)那些很靠近單位圓周的零極點(diǎn)。因此實(shí)際上不是以單位圓作為劃分

和

以及

和

的分界域，而是以如圖4-26中的D域。3.靜態(tài)精度的要求設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(4-87)誤差變換式為

(4-88)當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)

(4-89)若要求閉環(huán)系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，即穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)為零。有(4-90)若要求系統(tǒng)的速度品質(zhì)系數(shù)為，則也可對(duì)H(z)提出相應(yīng)的要求。(4-91)若給定，根據(jù)上式可提出對(duì)H(z)的要求。4.動(dòng)態(tài)性能的要求

為了滿足動(dòng)態(tài)性能的要求，需要適當(dāng)?shù)卦O(shè)定閉環(huán)模型傳遞函數(shù)H(z)。通?？梢愿鶕?jù)對(duì)系統(tǒng)的頻帶及阻尼的要求來(lái)給出H(z)的主導(dǎo)極點(diǎn)。然后再根據(jù)對(duì)其他方面的要求，如：可實(shí)現(xiàn)性，穩(wěn)定性及靜態(tài)精度等，再考慮一些非主導(dǎo)的零極點(diǎn)及決定其中的系數(shù)。

例如，若設(shè)(4-92)即假設(shè)對(duì)象的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，而零點(diǎn)則可能有在單位圓外。若采用一階主導(dǎo)極點(diǎn)模型，可取(4-93)其中d表示A(z)比B(z)高的階次，r表示的次數(shù)。z=a是一階主導(dǎo)極點(diǎn)。這里可取，T表示采樣周期，是一階模型的時(shí)間常數(shù)。由于比高d階，滿足可實(shí)現(xiàn)性的要求。同時(shí)由于中包含，因而也滿足穩(wěn)定性的要求。的選擇是為了滿足靜態(tài)精度的要求。若采用二階主導(dǎo)極點(diǎn)模型，可取(4-94)其中(4-95)式(4-94)的主導(dǎo)極點(diǎn)為一對(duì)共軛極點(diǎn)，可設(shè)成式(4-95)的形式，式中的其余附加項(xiàng)用來(lái)滿足可實(shí)現(xiàn)性、穩(wěn)定性及靜態(tài)精度的要求。

設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4-27所示。對(duì)象的傳遞函數(shù)

；性能指標(biāo)：Kv≥1，σ%≤20%，ts≤6秒；采樣周期T=1秒。利用解析法來(lái)設(shè)計(jì)離散的控制器傳遞函數(shù)D(z)。

解：利用零階保持器法將G(s)化為G(z)：

(4-96)設(shè)采用式(4-94)所示的二階主導(dǎo)極點(diǎn)模型，同時(shí)取D域?yàn)閱挝粓A，則據(jù)式(4-96)得

。且為滿足Kv的要求，設(shè)(4-97)其中，A(z)比B(z)高一階，即d=1，

為一階，即r=1，故據(jù)(4-94)可得(4-98)該例中，T=1，

，據(jù)式(4-95)可得,(4-99)將式(4-99)代入(4-98)得(4-90)據(jù)H(1)=1的要求，可得

(4-101)再據(jù)對(duì)的要求，即式(4-101)得

(4-102)由式(4-101)和式(4-102)得,

(4-103)從而得到滿足性能指標(biāo)的閉環(huán)模型傳遞函數(shù)

(4-104)控制器的傳遞函數(shù)為

(4-105)

從上式看出，D(z)抵消了G(z)的零點(diǎn)(z=-0.967)和一個(gè)極點(diǎn)(z=0.905),而G(z)的另外一個(gè)極點(diǎn)(z=1)并未被抵消掉，這是我們所希望的。由于D(z)抵消了G(z)的靠近單位圓的零點(diǎn)(z=-0.967)，造成輸出y的穩(wěn)定性較差些。利用Matlab對(duì)其進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖4-28及4-29所示。分析結(jié)果表明，控制量u振蕩得厲害，輸出y呈現(xiàn)波紋。這是由于D(z)抵消了G(z)的很靠近單位圓的零點(diǎn)(z=-0.967)造成的。

為了不抵消G(z)的靠近單位圓的零點(diǎn)(z=-0.967)，可令

，據(jù)式(4-94)及(4-100)可以給定如下的模型傳遞函數(shù)：

(4-106)根據(jù)H(1)=1的要求，可求得

(4-107)根據(jù)對(duì)Kv的要求，即式(4-91)，可求得(4-108)由式(4-107)和(4-108)得,(4-109)將式(4-109)代入(4-106)得

(4-110)得控制器的傳遞函數(shù)為

(4-111)

從上式可以看出，D(z)只抵消了對(duì)象的一個(gè)極點(diǎn)(z=0.905)而沒(méi)有抵消G(z)的零點(diǎn)(z=-0.967)和另外一個(gè)極點(diǎn)(z=1)。對(duì)其進(jìn)行仿真結(jié)果如圖4-30。分析結(jié)果，輸出y和控制量u令人滿意。

解析設(shè)計(jì)法具有方法簡(jiǎn)單和直接的優(yōu)點(diǎn)，關(guān)鍵是合適地給定閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。只要適當(dāng)?shù)乜紤]可實(shí)現(xiàn)性、穩(wěn)定性、靜態(tài)精度及動(dòng)態(tài)精度的要求，給出H(z)也不是困難的該方法的缺點(diǎn)是，設(shè)計(jì)出來(lái)的控制器可能較復(fù)雜。當(dāng)對(duì)象中具有不能抵消的極點(diǎn)時(shí)，H(z)的設(shè)定也較復(fù)雜。總之，該方法比較通用、靈活而簡(jiǎn)單。4.4.3最少拍控制1.最少拍隨動(dòng)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

在如圖4-4-10所示的典型數(shù)字控制系統(tǒng)中，最少拍隨動(dòng)系統(tǒng)的閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)為

(4-112)

即，式(4-4-62)也可表示為

或(4-113)

式(4-11