第九章 幾何學的變革

幾何學的變革

9.1歐幾里得平行公設

直到18世紀末，幾何領域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天下．解析幾何改變了幾何研究的方法，但沒有從實質上改變歐氏幾何本身的內容．解析方法的運用雖然在相當長的時間內沖淡了人們對綜合幾何的興趣，但歐幾里得幾何作為數(shù)學嚴格性的典范始終保持著神圣的地位．

然而，這個近乎科學“圣經”的歐幾里得幾何并非無懈可擊．事實上，公元前3世紀到18世紀末，數(shù)學家們雖然一直堅信歐氏幾何的完美與正確，但有一件事卻始終讓他們耿耿于懷，這就是歐幾里得第五公設，也稱平行公設．在歐氏幾何的所有公設中，唯獨這條公設顯得比較特殊．它的敘述不像其他公設那樣簡潔、明了，當時就有人懷疑它不像是一個公設而更像是一個定理，并產生了從其他公設和定理推出這條公設的想法．

因此，從古希臘時代開始，數(shù)學家們就一直沒有放棄消除對第五公設疑問的努力．他們或者尋求以一個比較容易接受、更加自然的等價公設來代替它，或者試圖把它當作一條定理由其他公設、公理推導出來．在眾多的替代公設中，今天最常用的是：“過已知直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行”．—般將這個替代公設歸功于蘇格蘭數(shù)學家、物理學家普萊菲爾(J.Playfair，1748—1819)，所以有時也叫普萊菲爾公設．

歷史上第一個證明第五公設的重大嘗試是古希臘天文學家托勒玫(Ptolemy，約公元150)作出的，后來普羅克魯斯指出托勒玫的“證明”無意中假定了過直線外一點只能作一條直線平行于該直線，這就是上面提到的普萊菲爾公設．

文藝復興時期對希臘學術興趣的恢復使歐洲數(shù)學家重新關注起第五公設．在17世紀研究過第五公設的數(shù)學家有沃利斯等．但每一種“證明”要么隱含了另一個與第五公設等價的假定，要么存在著其他形式的推理錯誤．而且，這類工作中的大多數(shù)對數(shù)學思想的進展沒有多大現(xiàn)實意義．因此，在18世紀中葉，達朗貝爾曾把平行公設的證明問題稱為“幾何原理中的家丑”．但就在這一時期前后，對第五公設的研究開始出現(xiàn)有意義的進展．在這方面的代表人物是意大利數(shù)學家薩凱里(G.Saccheri)、德國數(shù)學家克呂格爾(G.S.Klugel)和瑞士數(shù)學家蘭伯特．

薩凱里最先使用歸謬法來證明平行公設．他在一本名叫《歐幾里得無懈可擊》(1733)的書中，從著名的“薩凱里四邊形”出發(fā)來證明平行公設．薩凱里四邊形是一個等腰雙直角四邊形，其中∠=∠，且為直角。薩凱里需要證明∠C=∠D且為直角。薩凱里指出：不用平行公設容易證明∠C=∠D，并且頂角具有三種可能性并分別將它們命名為1．直角假設：∠C和∠D是直角；

2．鈍角假設：∠C和∠D是鈍角；

3．銳角假設：∠C和∠D是銳角．可以證明，直角假設與第五公設等價．薩凱里的計劃是證明后兩個假設可以導致矛盾，根據(jù)歸謬法就只剩下第一個假設成立，這樣就證明了第五公設．

薩凱里在假定直線為無限長的情況下，首先由鈍角假設推出了矛盾，然后考慮銳角假設，在這一過程中他獲得了一系列新奇有趣的結果，如三角形三內角之和小于兩個直角；過給定直線外一給定點，有無窮多條直線不與該給定直線相交，等等．雖然這些結果實際上并不包含任何矛盾，但薩凱里認為它們太不合情理，便以為自己導出了矛盾而判定銳角假設是不真實的．

薩凱里的工作激發(fā)了數(shù)學家們進一步的思考．1763年，克呂格爾在其博士論文中首先指出薩凱里的工作實際上并未導出矛盾，只是得到了似乎與經驗不符的結論．克呂格爾是第一位對平行公設能否由其他公理加以證明表示懷疑的數(shù)學家．他的見解啟迪蘭伯特對這一問題進行了更加深入的探討．1766年，蘭伯特寫出了《平行線理論》一書，在這本書中，他也像薩凱里那樣考慮了一個四邊形，不過他是從一個三直角四邊形出發(fā)，按照第四個角是直角、鈍角還是銳角作出了三個假設．由于鈍角假設導致矛盾，所以他很快就放棄了它．與薩凱里不同的是，蘭伯特并不認為銳角假設導出的結論是矛盾，而且他認識到一組假設如果不引起矛盾的話，就提供了一種可能的幾何．因此，蘭伯特最先指出了通過替換平行公設而展開新的無矛盾的幾何學的道路．

薩凱里、克呂格爾和蘭伯特等，都可以看成是非歐幾何的先行者．然而，當他們走到了非歐幾何的門檻前，卻由于各自不同的原因或則卻步后退(如薩凱里在證明了一系列非歐幾何的定理后卻宣布“歐幾里得無懈可擊”)，或則徘徊不前(蘭伯特在生前對是否發(fā)表自己的結論一直躊躇不定，《平行線理論》一書是他死后由朋友發(fā)表的)．

突破具有兩千年根基的歐氏幾何傳統(tǒng)的束縛，需要更高大的巨人，這樣的時機在19世紀初逐漸成熟，并且也像解析幾何、微積分的創(chuàng)立一樣，這樣的人物出現(xiàn)了不止一位．對非歐幾何來說，他們是高斯、波約(J.Bolyai，1802—1860)和羅巴切夫斯基(N.I.Lobachevsky,1793-1856)．9.2非歐幾何的誕生

前面講過，在非歐幾何正式建立之前，它的技術性內容已經被大量地推導出來．但最先認識到非歐幾何是一種邏輯上相容并且可以描述物質空間、像歐氏幾何一樣正確的新幾何學的是高斯．

從高斯的遺稿中可以了解到，他從1799年開始意識到平行公設不能從其他的歐幾里得公理推出來，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設在其中不成立的新幾何．他起先稱之為“反歐幾里得幾何”，最后改稱為“非歐幾里得幾何”，所以“非歐幾何”這個名稱正是來自高斯．

但他除了在給朋友的一些信件中對其非歐幾何的思想有所透露外，高斯生前并沒有發(fā)表過任何關于非歐幾何的論著．這主要是因為他感到自己的發(fā)現(xiàn)與當時流行的康德空間哲學相抵觸，擔心世俗的攻擊．他曾在給貝塞爾(P.W.Bessel)的一封信中說：如果他公布自己的這些發(fā)現(xiàn)，“黃蜂就會圍著耳朵飛”，并會“引起波哀提亞人(特指有世俗偏見的愚人)的叫囂”．

當聲譽甚隆的高斯決定將自己的發(fā)現(xiàn)秘而不宣時，一位尚名不見經傳的匈牙利青年波約卻急切地希望通過高斯的評價而將自己關于非歐幾何的研究公諸于世，波約的父親F.約是高斯的朋友，也是一位數(shù)學家．

1832年2月14日，F(xiàn).波約將他兒子的一篇題為《絕對空間的科學》的26頁文章寄給高斯，這篇文章也作為F．波約剛剛完成的一本數(shù)學著作的附錄而發(fā)表，其中論述的所謂“絕對幾何”就是非歐幾何．F．波約請高斯對他兒子的論文發(fā)表意見。波約“稱贊他(即J.波約)就等于稱贊我自己．整篇文章的內容，您兒子所采取的思路和獲得的結果，與我在30至35年前的思考不謀而合．”J.波約對高斯的答復深感失望，認為高斯想剽竊自己的成果．1840年俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基關于非歐幾何的德文著作出版后，更使J.波約灰心喪氣，從此便不再發(fā)表數(shù)學論文，而他的父親倒很開通，安慰他說：“春天的紫羅蘭在各處盛開．”

然而高斯回信說：

在非歐幾何的三位發(fā)明人中，只有羅巴切夫斯基最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果，并且也是最堅定地宣傳和捍衛(wèi)自己的新思想的一位。他先是于1826年在喀山大學發(fā)表了《簡要論述平行線定理的一個嚴格證明》的演講，報告了自己關于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，而后又在1829年發(fā)表了題為《論幾何原理》的論文，這是歷史上第一篇公開發(fā)表的非歐幾何文獻。

羅巴切夫斯基

羅巴切夫斯基后來為發(fā)展、闡釋這種新幾何學而付出了畢生心血．他生前發(fā)表了許多論著，其中1835--1838年間的系列論文《具有完備的平行線理論的新幾何學原理》較好地表述了他的思想，而1840年用德文出版的《平行理論的幾何研究》則引起高斯的關注，這使他在1842年成為德國哥廷根科學協(xié)會會員．羅巴切夫斯基非歐幾何的基本思想與高斯、波約是一致的，即用與歐幾里得第五公設相反的斷言：通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線平行于已知直線，作為替代公設，由此出發(fā)進行邏輯推導而得出一連串新幾何學的定理．羅巴切夫斯基明確指出，這些定理并不包含矛盾，因而它的總體就形成了一個邏輯上可能的、無矛盾的理論，這個理論就是一種新的幾何學——非歐幾里得幾何學．

設給定了直線和直線外一點，從引的垂直線．按照羅巴切夫斯基的基本假設，至少存在兩條直線，通過點且不與直線相交(注意圖形在這里只起輔助理解的作用，羅氏論證的并不是我們普通平面上所作的圖．

羅巴切夫斯基考慮所有過不與相交的直線的極限情形，指出這樣的極限直線有兩條(與)，并證明了它們也不與相交．因此，與，便構成了所有不與相交的直線的邊界，在這兩條邊界直線所成夾角內的所有直線都不與相交．羅巴切基稱與為的“平行線”，而落在角口內的所有直線叫不相交直線．如果按不相交即平行的意義理解，那么羅巴切夫斯基的幾何里，過直線外一點就可以引無窮多條直線與給定的直線平行．

若把平行角記作，則時，就得到歐氏平行公設．若，則單調增加且趨于；而時，單調減少且趨于0．換句話說，如果在離直線很遠處作與此直線垂線很小夾角的直線，那么我們可以沿著這條“傾斜”的直線前進而永遠不與直線相遇!

羅巴切夫斯基還將夾角的一半稱為“平行角”，因小于兩直角，故平行角小于直角．羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)，平行角是點到直線的距離的函數(shù)．

用歐氏幾何的眼光來看，羅巴切夫斯基幾何還有許多令人驚奇的結果，我們只能舉一些例子，如：1．三角形三內角之和小于兩直角，假如三角形變大，使它所有三條高都無限增長，則它的三個內角全部趨向于零；2．不存在面積任意大的三角形；3．如果兩個三角形的三個角相等，它們就全等；4．圓周長不與半徑成正比，而是更迅速地增長，并符合下面的公式其中是依賴于長度單位的常數(shù)．利用的級數(shù)展開又可以得到因此，常數(shù)越大，就越小，上述公式就越接近于普通歐氏幾何中的圓周長公式．這只是一個例子，說明羅巴切夫斯基幾何在極限情形下就變成歐幾里得幾何．羅巴切夫斯基還發(fā)展了非歐三角學，得出一系列三角公式，主要有9.3非歐幾何的發(fā)展與確認

德國數(shù)學家黎曼(B.Riemann，1826—1866)在1854年發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想而建立了一種更廣泛的幾何，即現(xiàn)在所稱的黎曼幾何．羅巴切夫斯基幾何以及歐氏幾何都只不過是這種幾何的特例．

黎曼的研究是以高斯關于曲面的內蘊微分幾何為基礎的．內蘊微分幾何也是19世紀幾何學的重大發(fā)展之一．我們知道，在蒙日等人開創(chuàng)的微分幾何中，曲面是在歐氏空間內考察的，但高斯1828年發(fā)表的論文《關于曲面的一般研究》則提出了一種全新的觀念，即一張曲面本身就構成一個空間．它的許多性質(如曲面上的距離、角度、總曲率是等)并不依賴于背景空間，這種以研究曲面內在性質為主的微分幾何稱為“內蘊微分幾何”．在他1854年發(fā)表的題為《關于幾何基礎的假設》的演講中，黎曼將高斯關于歐氏空間中曲面的內蘊幾何推廣為任意空間的內蘊幾何．他把維空間稱作一個流形，維流形中的一個點，可以用個參數(shù)的一組特定值來表示，這些參數(shù)就叫作流形的坐標．

黎曼從定義兩個鄰近點的距離出發(fā)，假定這個微小距離的平方是一個二次微分齊式其中是坐標的函數(shù)，，并且上式右邊總取正值．這個表達式后來以“黎曼度量”著稱．在此基礎上，黎曼又定義了曲線的長度，兩曲線在一點的交角等，所有這些度量性質都是僅由表達式中的系數(shù)確定的．黎曼還引進了流形曲率的概念．在黎曼幾何中，最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間(即在每一點上曲率都相等的流形)，對于三維空間，有以下三種情形：

1．曲率為正常數(shù)；

2．曲率為負常數(shù)；

3．曲率恒等于零．黎曼指出后兩種情形分別對應于羅巴切夫斯基的非歐幾何學和通常的歐氏幾何學，而第一種情形則是黎曼本人的創(chuàng)造，它對應于另一種非歐幾何學．在這種幾何中，過已知直線外一點，不能作任何平行于該給定直線的直線．這實際上是以前面提到的薩凱里等人的鈍角假設為基礎而展開的非歐幾何學．在黎曼之前，從薩凱里到羅巴切夫斯基，都認為鈍角假設與直線可以無限延長的假定矛盾，因而取消了這個假設．但黎曼區(qū)分了“無限”與“無界”這兩個概念，認為直線可以無限延長并不意味著就其長短而言是無限的，只不過是說，它是無端的或無界的．可以證明，在對無限與無界概念作了區(qū)分以后，人們在鈍角假設下也可像在銳角假設下一樣，無矛盾地展開一種幾何．這第二種非歐幾何，也叫(正常曲率曲面上的)黎曼幾何，作為區(qū)別，數(shù)學史文獻上就把羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)的非歐幾何叫作羅巴切夫斯基幾何．普通球面上的幾何就是黎曼非歐幾何，其上的每個大圓可以看成是一條“直線”．容易看出，任意球面“直線”都不可能永不相交。

黎曼可以說是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學家．他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對已經出現(xiàn)的非歐幾何(羅巴切夫斯基幾何)的承認，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。

黎曼也是現(xiàn)代數(shù)學史上最具創(chuàng)造性的數(shù)學家之一．他1826年出生在一個牧師家庭，由于家庭環(huán)境的影響，黎曼最初進人哥廷根大學時學的是神學和哲學，但不久他就喜歡上了數(shù)學，在征得父親同意后，黎曼將數(shù)學選定為自己的專業(yè)．然而經過一年后，他發(fā)現(xiàn)哥廷根大學開設的數(shù)學課程過于陳舊，甚至連高斯也在講初等的課程，于是他決定去柏林隨雅可比、狄利克雷(Dirichlet)等數(shù)學家學習．1849年，黎曼重返哥廷根在高斯指導下做博士論文，題目為《單復變函數(shù)一般理論基礎》．黎曼結果，這篇論文得到了高斯的贊賞，他以少有的激情給作者寫了如下評語：

“黎曼先生提交的博士論文提供了可信的證據(jù)，表明作者對他的論文所涉及的主題進行了全面、深入的研究，顯示了一個具有創(chuàng)造力的、活躍的、真正數(shù)學的頭腦以及了不起的富有成果的獨創(chuàng)性．”

不幸的是，黎曼正值他的創(chuàng)造高峰時因感染上肺結核而去世，死時還不到40歲．黎曼在他短暫的一生中，對于幾何、分析和物理學的眾多領域都作了開創(chuàng)性的貢獻．有數(shù)學家評論說：“黎曼是一個富有想象的天才，他的想法即使沒有證明，也鼓舞了整整一個世紀的數(shù)學家．”

19世紀70年代以后，意大利數(shù)學家貝爾特拉米(E.Beltrami)、德國數(shù)學家克萊因(F.Klein)和法國數(shù)學家龐加萊(H.Poincare)等人先后在歐幾里得空間中給出了非歐幾何的直觀模型，從而揭示出非歐幾何的現(xiàn)實意義．至此，非歐幾何才真正獲得了廣泛的理解．9.4射影幾何的繁榮

非歐幾何揭示了空間的彎曲性質，將平直空間的歐氏幾何變成了某種特例．實際上，如果將歐幾里得幾何限制于其原先的涵義——三維、平直、剛性空間的幾何學，那么19世紀的幾何學就可以理解為一場廣義的“非歐”運動：從三維到高維；從平直到彎曲；…而射影幾何的發(fā)展，又從另一個方向使“神圣”的歐氏幾何再度“降格”為其他幾何的特例．

在19世紀以前，射影幾何一直是在歐氏幾何的框架下被研究的，其早期開拓者德沙格、帕斯卡等主要是以歐氏幾何的方法處理問題，并且他們的工作由于18世紀解析幾何與微積分發(fā)展的洪流而被人遺忘．

到18世紀末與19世紀初，蒙日的《畫法幾何學》(1799)以及蒙日學生卡諾(L.Carnot)等人的工作，重新激發(fā)了人們對綜合射影幾何的興趣．不過，將射影幾何真正變革為具有自己獨立的目標與方法的學科的數(shù)學家，是曾受教于蒙日的龐斯列(J-V.Poncelet，1788—1867)．

龐斯列曾任拿破侖遠征軍的工兵中尉，1812年莫斯科戰(zhàn)役法軍潰敗后被俘，度過了兩年鐵窗生活．然而正是在這兩年里，龐斯列不借助于任何書本，以炭代筆，在俄國薩拉托夫監(jiān)獄的墻壁上譜寫了射影幾何的新篇章．龐斯列獲釋后對自己在獄中的工作進行了修訂、擴充，于1822年出版了《論圖形的射影性質》，這部著作立即掀起了19世紀射影幾何發(fā)展的巨大波瀾，帶來了這門學科歷史上的黃金時期．

與德沙格和帕斯卡等不同，龐斯列并不限于考慮特殊問題．他探討的是一般問題：圖形在投射和截影下保持不變的性質，這也成為他以后，射影幾何研究的主題．由于距離和交角在投射和截影下會改變，龐斯列選擇并發(fā)展了對合與調和點列的理論而不是以交比的概念為基礎．與他的老師蒙日也不同，龐斯列采用中心投影而不是平行投影，并將其提高為研究問題的一種方法．在龐斯列實現(xiàn)射影幾何目標的一般研究中，有兩個基本原理扮演了重要角色．

首先是連續(xù)性原理，它涉及通過投影或其他方法把某一圖形變換成另一圖形的過程中的幾何不變性．用龐斯列本人的話說，就是：“如果一個圖形從另一個圖形經過連續(xù)的變化得出，并且后者與前者一樣地—般，那么可以馬上斷定，第一個圖形的任何性質第二個圖形也有．”

作為這個原理的一個例子，龐斯列舉了圓內相交弦的截段之積相等的定理，當交點位于圓的外部時，它就變成了割線的截段之積的相等關系．

而如果其中的一條割線變成圓的切線，那么這個定理仍然成立，只不過要把這條割線的截段之積換成切線的平方。這個原理卡諾也曾用過，但龐斯列將它發(fā)展到包括無窮遠點的情形．因此，我們總可以說兩條直線是相交的，交點或者是一個普通的點，或者是一個無窮遠處的點(平行線的情形)．除了無窮遠元素，龐斯列還利用連續(xù)性原理來引入虛元素．例如兩個相交的圓，其公共弦當兩圓逐漸分離并變得不再相交時，就成為虛的．無窮遠元素與虛元素在龐斯列為達到射影幾何的一般性工作中發(fā)揮了重要作用．

龐斯列強調的另一個原理是對偶原理．射影幾何的研究者們曾經注意到，平面圖形的“點”和“線”之間存在著異乎尋常的對稱性，如果在它所涉及的定理中，將“點”換成“線”，同時將“線”換成“點”，那么就可以得到一個新的定理．例如考慮著名的帕斯卡定理：如果將一圓錐曲線的6個點看成是一個六邊形的頂點，那么相對的邊的交點共線。

它的對偶形式則是：如果將一圓錐曲線的6條切線看成是一個六邊形的邊，那么相對的頂點的連線共點。

帕斯卡定理的對偶形式是布里昂雄(C.J.Brianchon)在1806年發(fā)現(xiàn)的，所以常被稱為布里昂雄定理，而這離帕斯卡最初陳述他的定理已有近二百年的光景．

雖然布里昂雄發(fā)現(xiàn)了帕斯卡定理的對偶定理，但包括他在內的許多數(shù)學家對于對偶原理為什么行得通仍是不清楚，事實上，布里昂雄還曾懷疑過這個原理．龐斯列射影幾何工作中很重要的一部分，就是為建立對偶原理而發(fā)展了配極的一般理論．他深入研究了圓錐曲線的極點與極線的概念，給出了從極點到極線和從極線到極點的變換的一般表述．

與龐斯列用綜合的方法為射影幾何奠基的同時，德國數(shù)學家默比烏斯(A.P.Mobius，1790—1868)和普呂克(J.Plucker，1801—1868)開創(chuàng)了射影幾何研究的解析(或代數(shù))途徑．

默比烏斯在《重心計算》(1827)一書中第一次引進了齊次坐標，這種坐標后被普呂克發(fā)展為更一般的形式，它相當于把笛卡兒坐標換成

齊次坐標成為代數(shù)地推導包括對偶原理在內許多射影幾何基本結果的有效工具．但這種代數(shù)的方法遭到了以龐斯列為首的綜合派學者的反對，19世紀的射影幾何就是在綜合的與代數(shù)的這兩大派之間的激烈爭論中前進的．支持龐斯列的數(shù)學家還有斯坦納(J.Steiner)、沙勒(M.Chasles)和施陶特(K.G.C.vonStaudt)等，其中施陶特的工作對于確立射影幾何的特殊地位有決定性的意義．到1850年前后，數(shù)學家們對于射影幾何與歐氏幾何在一般概念與方法上已作出了區(qū)別，但對這兩種幾何的邏輯關系仍不甚了了．即使是綜合派的著作中也依然在使用長度的概念，例如作為射影幾何中心概念之一的交比，就一直是用長度來定義的，但長度在射影變換下會發(fā)生改變，因而不是射影概念．

施陶特在1847年出版的《位置幾何學》中提出一套方案，通過給每個點適當配定一個識別標記(也稱作坐標)而給交比作了重新定義．如果四點的“坐標”記為，那么交比就定義為這樣施陶特不借助長度概念就得以建立射影幾何的基本工具，從而使射影幾何擺脫了度量關系，成為與長度等度量概念無關的全新學科。9.5幾何學的統(tǒng)一

在數(shù)學史上，羅巴切夫斯基被稱為“幾何學上的哥白尼”．這是因為非歐幾何的創(chuàng)立不只是解決了兩千年來一直懸而未決的平行公設問題，更重要的是它引起了關于幾何觀念和空間觀念的最深刻的革命．

在19世紀，占統(tǒng)治地位的是歐幾里得的絕對空間觀念．非歐幾何的創(chuàng)始人無一例外地都對這種傳統(tǒng)觀念提出了挑戰(zhàn)．

首先，非歐幾何對于人們的空間觀念產生了極其深遠的影響．

“我越來越深信我們不能證明我們的歐幾里得幾何具有物理的必然性，至少不能用人類的理智一一給出這種證明．或許在另一個世界中我們可能得以洞悉空間的性質，而現(xiàn)在這是不可能達到的．”

高斯早在1817年就在給朋友的一封信中寫道：

高斯曾一度把他的非歐幾何稱為“星空幾何”，而從羅巴切夫斯基到黎曼，他們也都相信天文測量將能判斷他們的新幾何的真實性，認為歐氏公理可能只是物理空間的近似寫照．他們的預言，在20世紀被愛因斯坦的相對論所證實．正是黎曼幾何為愛因斯坦的廣義相對論提供了最恰當?shù)臄?shù)學表述，而根據(jù)廣義相對論所進行的一系列天文觀測、實驗，也證實了宇宙流形的非歐幾里得性．

其次，非歐幾何的出現(xiàn)打破了長期以來只有一種幾何學即歐幾里得幾何學的局面．19世紀中葉以后，通過否定歐氏幾何中這樣或那樣的公設、公理，產生了各種新而又新的幾何學，除了上述幾種非歐幾何、黎曼幾何外，還有如非阿基米德幾何、非德沙格幾何、非黎曼幾何、有限幾何等等，加上與非歐幾何并行發(fā)展的高維幾何、射影幾何，微分幾何以及較晚出現(xiàn)的拓撲學等，19世紀的幾何學展現(xiàn)了無限廣闊的發(fā)展前景．在這樣的形勢下，尋找不同幾何學之間的內在聯(lián)系，用統(tǒng)一的觀點來解釋它們，便成為數(shù)學家們追求的一個目標．

統(tǒng)—幾何學的第一個大膽計劃是由德國數(shù)學家克萊因(F.Klein，1849--1925)提出的．1872年，克萊因被聘為愛爾朗根大學的數(shù)學教授，按慣例，他要向大學評議會和哲學院作就職演講，克萊因的演講以《愛爾朗根綱領》著稱，正是在這個演講中，克萊因基于自己早些時候的工作以及挪威數(shù)學家李(S.Lie)在群論方面的工作，闡述了幾何學統(tǒng)一的思想：

克萊因所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質的學問，或者說任何一種幾何學只是研究與特定的變換群有關的不變量．這樣一來，不僅19世紀涌現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相干的幾何學被聯(lián)系到一起，而且變換群的任何一種分類也對應于幾何學的一種分類．

例如(就平面的情況)，歐幾里得幾何研究的是長度、角度、面積等這些在平面中的平移和旋轉下保持不變的性質．平面中的平移和旋轉(也稱剛性運動)構成—個變換群．剛性平面變換可以用代數(shù)式表示出來：其中．這些式子構成了一個群的元素，而將這種元素結合在一起的“運算”就是依次進行這種類型的變換．容易看出，如果在進行上述變換后緊接著進行第二個變換：其中．那么相繼進行這兩個變換的結果，就等價于某個單一的這一類型的變換將點變成點.

如果在上述變換中，將限制用更一般的要求來替代，那么這種新變換也構成一個群．然而，在這樣的變換下，長度和面積不再保持不變，不過一個已知種類的圓錐曲線(橢圓，拋物線或雙曲線)經過變換后仍是同一種類的圓錐曲線．這樣的變換稱為仿射變換，它們所刻畫的幾何稱為仿射幾何．因此，按照克萊因的觀點，歐幾里得幾何只是仿射幾何的一個特例．

仿射幾何則是更一般的幾何——射影幾何的一個特例．一個射影變換可以寫成如下形式：其中的行列式必須不為零．射影變換下的不變量有線性、共線性、交比、調和點組以及保持圓錐曲線不變等．顯然，如果并且，射影變換就成了仿射變換．

下表反映了以射影幾何為基礎的克萊因幾何學分類中一些主要幾何間的關系：

在克萊因的分類中，還包括了當時的代數(shù)幾何和拓撲學．克萊因對拓撲學的定義是“研究由無限小變形組成的變換的不變性”．這里“無限小變形”就是一一對應的雙方連續(xù)變換拓撲學在20世紀才獲得獨立的發(fā)展并成為現(xiàn)代數(shù)學的核心學科之一．

并非所有的幾何都能納入克萊因的