空間向量法解決立體幾何證明資料講解

利用空間向量解決立體幾何(lìtǐjǐhé)問題數(shù)學(xué)(shùxué)專題二第一頁，共34頁。復(fù)習(xí)(fùxí):2.向量(xiàngliàng)的夾角:OAB向量的夾角記作:1.空間(kōngjiān)向量的數(shù)量積:第二頁，共34頁。4.向量(xiàngliàng)的模長:3.有關(guān)(yǒuguān)性質(zhì):兩非零向量第三頁，共34頁。5.共面向量定理:如果兩個(gè)向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)使第四頁，共34頁。空間四點(diǎn)P、M、A、B共面實(shí)數(shù)對(duì)推論(tuīlùn):第五頁，共34頁。一.引入兩個(gè)重要(zhòngyào)的空間向量1.直線的方向向量把與直線平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)(zhíjiǎozuòbiāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB第六頁，共34頁。2.平面(píngmiàn)的法向量與平面α垂直(chuízhí)的向量叫做平面α的法向量.αn第七頁，共34頁。oxyzABCO1A1B1C1例1.如圖所示,正方體的棱長為1直線OA的一個(gè)(yīɡè)方向向量坐標(biāo)為___________平面OABC的一個(gè)(yīɡè)法向量坐標(biāo)為___________平面AB1C的一個(gè)(yīɡè)法向量坐標(biāo)為___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)第八頁，共34頁。第九頁，共34頁。第十頁，共34頁。練習(xí):在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心(zhōngxīn),求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy第十一頁，共34頁。解：以A為原點(diǎn)建立空間(kōngjiān)直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z=1解得:得:由

=（-1，-1，2），=（-1，1，2）第十二頁，共34頁。練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn)，求平面(píngmiàn)EDB的一個(gè)法向量.ABCDPE解：如圖所示建立空間(kōngjiān)直角坐標(biāo)系.XYZ設(shè)平面(píngmiàn)EDB的法向量為第十三頁，共34頁。二、立體幾何中的向量方法(fāngfǎ)——平行關(guān)系第十四頁，共34頁。ml一.平行(píngxíng)關(guān)系：第十五頁，共34頁。α第十六頁，共34頁。αβ第十七頁，共34頁。二、垂直(chuízhí)關(guān)系：lm第十八頁，共34頁。lABC第十九頁，共34頁。αβ第二十頁，共34頁。例1四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方(zhèngfāng)形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中點(diǎn)，DF:FB=CG:GP=1:2.求證：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG證：如圖所示,建立空間(kōngjiān)直角坐標(biāo)系.//AE與FG不共線(ɡònɡxiàn)幾何法呢？第二十一頁，共34頁。例2四棱錐(léngzhuī)P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立體幾何(lìtǐjǐhé)法第二十二頁，共34頁。ABCDPEXYZ解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)(zhíjiǎozuòbiāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1證明(zhèngmíng)：設(shè)平面(píngmiàn)EDB的法向量為第二十三頁，共34頁。練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN第二十四頁，共34頁。練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN幾何(jǐhé)法呢？第二十五頁，共34頁。練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN幾何(jǐhé)法呢？第二十六頁，共34頁。練習(xí)(liànxí)棱長為a的正方體中,E、F分別是棱AB,OA上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=BE,求證：

O’C’B’A’OABCEFZxy解：如圖所示建立空間(kōngjiān)直角坐標(biāo)系，設(shè)AF=BE=b.第二十七頁，共34頁。ABCDPEFXYZ證1：如圖所示建立空間(kōngjiān)直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.第二十八頁，共34頁。ABCDPEFXYZ

證2：第二十九頁，共34頁。,E是AA1中點(diǎn)(zhōnɡdiǎn)，

例3正方體平面(píngmiàn)C1BD.證明(zhèngmíng)：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長為2,建立如圖所示坐標(biāo)系平面C1BD的一個(gè)法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量是平面C1BD.

平面EBD第三十頁，共34頁。證明(zhèngmíng)2：E,E是AA1中點(diǎn)(zhōnɡdiǎn)，

例3正方體平面(píngmiàn)C1BD.求證：平面EBD第三十一頁，共34頁。ABCDPXYZG第三十二頁，共34頁。例4棱長都等于(děngyú)2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy第三十三頁，共34頁。解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量(xiàngliàng)為n=(x,y,z),則解之