《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題三答案

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案習(xí)題三將一硬幣扔擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：X0123Y100300盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：X0123Y000102P黑,2紅,20(0白)=設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為ππF（x，y）=sinxsiny,0x2,0y20,其他.求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長(zhǎng)方形域0xπ,πyπ內(nèi)的概率.463πππ【解】如圖P{0X,Y}公式(3.2)463題3圖說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度(3x4y)f（x，y）=Ae,x0,y0,0,其他.求：（1）常數(shù)A；（2）隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)；3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1）由f(x,y)dxdyAe-(3x4y)dxdyA10012得A=12（2）由定義，有(3)P{0X1,0Y2}設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為k(6xy),0x2,2y4,f（x，y）=其他.0,（1）確定常數(shù)k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性質(zhì)有故1R8（2）P{X131,Y3}f(x,y)dydx(3)P{X1.5}f(x,y)dxdy如圖af(x,y)dxdyx1.5D1(4)P{XY4}f(x,y)dxdy如圖bf(x,y)dxdyXY4D2題5圖設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，0.2）上遵從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）=

5e5y,y0,0,其他.求：（1）X與Y的聯(lián)合分布密度；（2）P{Y≤X}.題6圖【解】（1）因X在（0，0.2）上遵從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為而所以(2)P(YX)如圖25e5ydxdyf(x,y)dxdyyxD設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=(1e4x)(1e2y),x0,y0,0,其他.求（X，Y）的聯(lián)合分布密度.2F(x,y)8e(4x2y),x0,y0,【解】f(x,y)0,其他.xy設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為4.8y(2x),0x1,0yx,f（x，y）=其他.0,求邊緣概率密度.【解】fX(x)f(x,y)dy題8圖題9圖設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為ey,0xy,f（x，y）=其他.0,求邊緣概率密度.【解】fX(x)f(x,y)dy題10圖設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=cx2y,x2y1,0,其他.（1）試確定常數(shù)c；（2）求邊緣概率密度.【解】（1）f(x,y)dxdy如圖f(x,y)dxdyD得c21.4(2)fX(x)f(x,y)dy設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為1,yx,0x1,f（x，y）=其他.0,求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.題11圖【解】fX(x)f(x,y)dy所以袋中有五個(gè)號(hào)碼1，2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X，最大的號(hào)碼為Y.（1）求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2）X與Y可否相互獨(dú)立？【解】（1）X與Y的聯(lián)合分布律以下表Y345X1203006161(2)因P{X1}gP{Y3}10100P{X1,Y3},1010故X與Y不獨(dú)立設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為X258Y0.40.150.300.350.80.050.120.03（1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2）X與Y可否相互獨(dú)立？【解】（1）X和Y的邊緣分布以下表YX258i}P{Y=y0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因P{X2}gP{Y0.4}0.20.80.160.15P(X2,Y0.4),故X與Y不獨(dú)立.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上遵從均勻分布，Y的概率密度為1ey/2,y0,fY（y）=2其他.0,（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實(shí)根的概率.y1,0x1,1e2,y1,【解】（1）因fX(x)fY(y)20,其他;0,其他.1ey/20x1,y0,故f(x,y)X,Y獨(dú)立fX(x)gfY(y)20,其他.題14圖方程a22XaY0有實(shí)根的條件是故X2≥Y，從而方程有實(shí)根的概率為：設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同樣電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且遵從同一分布，其概率密度為1000f（x）=x2,x1000,0,其他.求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z(){}{X}PZzPzY當(dāng)z≤0時(shí)，F(xiàn)Z(z)0（2）當(dāng)0<z<1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)x=1000時(shí),y=1000）(如圖a)z題15圖(3)當(dāng)z≥1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)y=103時(shí)，x=103z）（如圖b）11,z1,2z即fZ(z)z,0z1,20,其他.12,z1,2z故fZ(z)1,0z1,20,其他.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地遵從N（160，202）分布.隨機(jī)地采用4只，求其中沒有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202），從而設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為P{X=k}=p（k），k=0，1，2，，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，.證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為iPZi，，，，.p(k)q(ik)i=012k0【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以于是18.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都遵從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布.證明Z=X+Y遵從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，，2n.方法二：設(shè)μ1,μ2,,μn;μ1′,μ2′,，μn′均遵從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p），則X=μ1+μ2++μn，Y=μ1′+μ2′++μn′,X+Y=μ1+μ2++μn+μ1′+μ2′++μn′,所以，X+Y遵從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為X01234Y5000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.0620.0830.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2）求V=max（X，Y）的分布律；（3）求U=min（X，Y）的分布律；（4）求W=X+Y的分布律.P{X2,Y2}【解】（1）P{X2|Y2}P{Y2}（2）P{Vi}P{max(X,Y)i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}所以V的分布律為VX12345=max(,0Y)P00.040.160.280.240.28(3)P{Ui}P{min(X,Y)i}于是UXY0123=min(,)P0.280.300.250.17近似上述過程，有WXY12345678=+0P00.020.060.130.190.240.190.120.05雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X，Y）在屏幕上遵從均勻分布.（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；（2）設(shè)M=max{X，Y}，求P{M＞0}.題20圖【解】因（X，Y）的聯(lián)合概率密度為P{Y0,YX}（1）P{Y0|YX}P{YX}(2)P{M0}P{max(X,Y)0}1P{max(X,Y)0}設(shè)平面地域D由曲線y=1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量（X，Y）在地域D上遵從均勻分布，求（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21圖【解】地域D的面積為S0e21e2XY）的聯(lián)合密度函數(shù)為dx11x（X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為所以fX(2)1.422.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其他數(shù)值填入表中的空白處.Yy1y2PXxi}=piX{=y3x11/8x21/8PYyj}=pj1/61{=2P{Xxi,Yyj},【解】因P{Yyj}Pji1故P{Yy1}P{Xx1,Yy1}P{Xx2,Yy1},從而P{Xx1,Yy1}111.6824而X與Y獨(dú)立，故P{Xxi}gP{Yyj}P{Xxi,Yyi},從而P{Xx1}1P{Xx1,Yy1}16.24即：P{Xx1}1/11.2464又P{Xx1}P{Xx1,Yy1}P{Xx1,Yy2}P{Xx1,Yy3},即111P{Xx1,Yy3},4248從而P{Xx1,Yy3}1.12同理P{Yy}1,P{Xx,Yy}3222283P{Yyj}1,故P{Yy3}1111.又j1623同理P{Xx23}.4從而故YX1設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X遵從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0<p<1），且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布.【解】(1)PYm|Xnnpm(1p)nm,0mnn0,1,2,L.{}Cm,(2)P{Xn,Ym}P{Xn}gP{Ym|Xn}24.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，其中X的概率分布為X12，而Y的概率密度為fy，~0.30.7( )求隨機(jī)變量UXY的概率密度gu=+( ).【解】設(shè)F（y）是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為由于X和Y獨(dú)立，可見由此，得U的概率密度為25.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均遵從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，求P{max{X,Y}1}.解：由于隨即變量遵從[0，3]上的均勻分布，于是有由于X，Y相互獨(dú)立，所以推得P{max{X,Y}1}1.9設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布為X??101Y??1a00.200.1b0.2100.1c其中a,b,c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)希望E(X)=??0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，記Z=X+Y.求：1）a,b,c的值；2）Z的概率分布；3）P{X=Z}.解(1)由概率分布的性質(zhì)知，a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4.由E(X)0.2，可得ac0.1.再由P{X0,Y0}ab0.1,P{Y0X0}ab0.5P{X0}0.5得ab0.3.解以上關(guān)于a