《平面向量的線性運(yùn)算》同步練習(xí) 省賽一等獎(jiǎng)

《平面向量的線性運(yùn)算》同步練習(xí)1．下列等式不成立的是()A．a(chǎn)＋0＝a B．a(chǎn)＋b＝b＋a\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)) \o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))解析：對(duì)A，顯然成立；對(duì)B，滿足交換律，成立；對(duì)D，滿足向量加法的三角形法則，成立；對(duì)C，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，故C不成立．答案：C2．向量(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝()\o(BC,\s\up6(→)) \o(AB,\s\up6(→))\o(AC,\s\up6(→)) \o(AM,\s\up6(→))解析：(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).答案：C3．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，則|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范圍是()A．[3,8] B．(3,8)C．[3,13] D．(3,13)解析：如圖，當(dāng)A、B、C不共線時(shí)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|、|eq\o(AB,\s\up6(→))|、|eq\o(AC,\s\up6(→))|為三角形三邊，由三邊關(guān)系可得8－5＜|eq\o(BC,\s\up6(→))|＜8＋5，∴3＜|eq\o(BC,\s\up6(→))|＜13；當(dāng)A、B、C共線且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))同向時(shí)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8－5＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))反向時(shí)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8＋5＝13.答案：C4．如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝______.解析：eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).答案：eq\o(OC,\s\up6(→))5．如圖，在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝________.解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.答案：26.如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，求：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))；(2)eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)).解：(1)由題圖知，四邊形OAFE為平行四邊形，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→)).(2)由圖知，四邊形OABC為平行四邊形，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(3)由圖知，四邊形AEDB為平行四邊形，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).7．在四邊形ABCD中，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則四邊形是()A．矩形 B．菱形C．正方形 D．平行四邊形解析：在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).所以四邊形ABCD是平行四邊形．答案：D8．已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，則|a＋b|＝()\r(3) B．3C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：如圖所示，a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，由于|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝3.∠AOB＝60°，所以|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝3eq\r(3).所以|a＋b|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝3eq\r(3).答案：D9．在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD是()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).又|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|.所以該平行四邊形ABCD為矩形．答案：B10．在?ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，則：(1)|eq\o(AC,\s\up6(→))|________7(填“＞”“＜”或“≥”“≤”)；(2)若|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，則此四邊形為_(kāi)_____形．解析：(1)三角形兩邊之和大于第三邊；(2)由|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，可知△ABC為直角三角形．所以應(yīng)填“矩形”．答案：(1)＜(2)矩形11.如圖所示，在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，E，使BE＝DF.求證：四邊形AECF是平行四邊形．證明：eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).因?yàn)镕D＝BE，且eq\o(FD,\s\up6(→))與eq\o(BE,\s\up6(→))的方向相同，所以eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→)).所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，即eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))，所以AE與FC平行且相等．所以四邊形AECF是平行四邊形．12．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D.求證：|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2.證明：如圖，由于∠BAC＝90°，AD⊥BC，因此，若以DB、DA為鄰邊作矩形ADBE，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|，且eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→)).所以|eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2.同理|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，所以|eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\u