相似原理及量綱分析

會(huì)計(jì)學(xué)1相似原理及量綱分析第一節(jié)流動(dòng)的力學(xué)相似

表征流動(dòng)過程的物理量

描述幾何形狀的如長度、面積、體積等

描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的如速度、加速度、體積流量等

描述動(dòng)力特征的如質(zhì)量力、表面力、動(dòng)量等

按性質(zhì)分幾何相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似流動(dòng)相似應(yīng)滿足的條件第1頁/共52頁第一節(jié)流動(dòng)的力學(xué)相似一.幾何相似（空間相似）定義：模型和原型的全部對(duì)應(yīng)線形長度的比值為一定常數(shù)。（4-1）

以上標(biāo)“＇”表示模型的有關(guān)量

:長度比例尺（相似比例常數(shù)）

第2頁/共52頁面積比例尺:（4-2）

體積比例尺:（4-3）

圖4-1幾何相似滿足上述條件，流動(dòng)才能幾何相似

第一節(jié)流動(dòng)的力學(xué)相似第3頁/共52頁第一節(jié)流動(dòng)的力學(xué)相似定義：滿足幾何相似的流場中，對(duì)應(yīng)時(shí)刻、對(duì)應(yīng)點(diǎn)流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它們的速度場（加速度場）相似。圖4-2速度場相似二運(yùn)動(dòng)相似（時(shí)間相似）第4頁/共52頁加速度比例尺:（4-6）注：長度比例尺和速度比例尺確定所有運(yùn)動(dòng)學(xué)量的比例尺。時(shí)間比例尺:速度比例尺:（4-4）（4-5）第一節(jié)流動(dòng)的力學(xué)相似第5頁/共52頁運(yùn)動(dòng)粘度比例尺:體積流量比例尺:（4-7）（4-8）第一節(jié)流動(dòng)的力學(xué)相似第6頁/共52頁第一節(jié)流動(dòng)的力學(xué)相似三.動(dòng)力相似（時(shí)間相似）定義：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)相似的流場中，對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)作用在兩相似幾何微團(tuán)上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它們的動(dòng)力場相似。圖4-3

動(dòng)力場相似第7頁/共52頁（4-10）

又由牛頓定律可知：其中：為流體的密度比例尺。第一節(jié)流動(dòng)的力學(xué)相似（4-9）力的比例尺：第8頁/共52頁動(dòng)力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）（4-14）有了模型與原型的密度比例尺，長度比例尺和速度比例尺，就可由它們確定所有動(dòng)力學(xué)量的比例尺。

壓強(qiáng)（應(yīng)力）比例尺:力矩（功，能）比例尺:（4-11）（4-12）第一節(jié)流動(dòng)的力學(xué)相似第9頁/共52頁定義：在幾何相似的條件下，兩種物理現(xiàn)象保證相似的條件或準(zhǔn)則。第二節(jié)動(dòng)力相似準(zhǔn)則

由式(4-10)

得:

（4-15）（4-16）（4-17）當(dāng)模型與原型的動(dòng)力相似，則其牛頓數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是牛頓相似準(zhǔn)則。

稱為牛頓數(shù)，它是作用力與慣性力的比值。或:

令:

第10頁/共52頁一、重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）二、粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）三、壓力相似準(zhǔn)則（歐拉準(zhǔn)則）四、彈性力相似準(zhǔn)則(柯西準(zhǔn)則)五、表面張力相似準(zhǔn)則（韋伯準(zhǔn)則）六、非定常性相似準(zhǔn)則（斯特勞哈爾準(zhǔn)則）

流場中有各種性質(zhì)的力，但不論是哪種力，只要兩個(gè)流場動(dòng)力相似，它們都要服從牛頓相似準(zhǔn)則。第二節(jié)動(dòng)力相似準(zhǔn)則

第11頁/共52頁一、重力相似準(zhǔn)則將重力比帶入式(4-15)得：或:

令:

（4-18）（4-19）（4-20）稱為弗勞德數(shù)，它是慣性力與重力的比值。

當(dāng)模型與原型的重力相似，則其弗勞德數(shù)必定相等，反之亦然。這就是重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）。

重力場中，則：（a）第12頁/共52頁二、粘性力相似準(zhǔn)則將粘性力之比帶入式(4-15)得：或:

令:

（4-21）（4-22）（4-23）（b）稱為雷諾數(shù)，它是慣性力與粘性力的比值。

當(dāng)模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數(shù)必定相等，反之亦然。這就是粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）。

模型與原型用同一種流體時(shí)，，則：第13頁/共52頁三、壓力相似準(zhǔn)則或:

令:

（4-24）（4-25）（4-26）當(dāng)壓強(qiáng)用壓差代替：將壓力比帶入式(4-15)得：稱為歐拉數(shù)，它是總壓力與慣性力的比值。

當(dāng)模型與原型的壓力相似，則其歐拉數(shù)必定相等，反之亦然。這就是壓力相似準(zhǔn)則（歐拉準(zhǔn)則）。

（4-27）（4-28）歐拉數(shù):

歐拉相似準(zhǔn)則:

第14頁/共52頁四、彈性力相似準(zhǔn)則（柯西準(zhǔn)則）將彈性力之比帶入式(4-15)得：（4-29）或:

（4-30）令:

（4-31）稱為柯西數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其柯西數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則（柯西準(zhǔn)則）。

第15頁/共52頁四、彈性力相似準(zhǔn)則（馬赫準(zhǔn)則）若流場中的流體為氣體，由于

（c為聲速）則彈性力之比帶入式(4-15)得：（4-32）或:

（4-33）令:

（4-34）稱為馬赫數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則（馬赫準(zhǔn)則）。

稱為馬赫數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則（馬赫準(zhǔn)則）。

第16頁/共52頁五、表面張力相似準(zhǔn)則將表面張力之比帶入式(4-15)得:（4-35）或:

（4-36）令:

（4-37）稱為韋伯?dāng)?shù)，它是慣性力與表面張力的比值。

當(dāng)模型與原型的表面張力相似，則其韋伯?dāng)?shù)必定相等，即；反之亦然。這就是表面張力相似準(zhǔn)則（韋伯準(zhǔn)則）。

第17頁/共52頁六、非定常性相似準(zhǔn)則或:

令:

（4-38）（4-39）（4-40）將慣性力之比帶入式(4-15)得：稱為斯特勞哈爾數(shù)，它是當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值。

當(dāng)模型與原型的非定常流動(dòng)相似，則其斯特勞哈爾數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是非定常相似準(zhǔn)則（斯特勞哈爾準(zhǔn)則）。

第18頁/共52頁以上給出的牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)、歐拉數(shù)、柯西數(shù)、馬赫數(shù)、韋伯?dāng)?shù)、斯特勞哈爾數(shù)均稱為相似準(zhǔn)則數(shù)。如果已經(jīng)有了某種流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，可由該方程直接導(dǎo)出有關(guān)的相似準(zhǔn)則和相似準(zhǔn)則數(shù)，方法是令方程中的有關(guān)力與慣性力相比。第二節(jié)動(dòng)力相似準(zhǔn)則

第19頁/共52頁第三節(jié)流動(dòng)相似條件

流動(dòng)相似：在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，所有物理量都成比例。

相似流動(dòng)必然滿足以下條件：

1．任何相似的流動(dòng)都是屬于同一類的流動(dòng)，相似流場對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的各種物理量，都應(yīng)為相同的微分方程所描述；2．相似流場對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的各種物理量都有唯一確定的解，即流動(dòng)滿足單值條件；3．由單值條件中的物理量所確定的相似準(zhǔn)則數(shù)相等是流動(dòng)相似也必須滿足的條件。第20頁/共52頁模型實(shí)驗(yàn)主要解決的問題

：

1．根據(jù)物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等的原則去設(shè)計(jì)模型，選擇流動(dòng)介質(zhì)；

2．在實(shí)驗(yàn)過程中應(yīng)測定各相似準(zhǔn)則數(shù)中包含的一切物理量；

3．用數(shù)學(xué)方法找出相似準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，即準(zhǔn)則方程式。該方程式便可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動(dòng)中去。

第三節(jié)流動(dòng)相似條件

第21頁/共52頁圖4-4

油池模型

第22頁/共52頁第23頁/共52頁第24頁/共52頁第25頁/共52頁第四節(jié)近似模擬試驗(yàn)

以相似原理為基礎(chǔ)的模型實(shí)驗(yàn)方法，按照流體流動(dòng)相似的條件，可設(shè)計(jì)模型和安排試驗(yàn)。這些條件是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似。前兩個(gè)相似是第三個(gè)相似的充要條件，同時(shí)滿足以上條件為流動(dòng)相似，模型試驗(yàn)的結(jié)果方可用到原型設(shè)備中去。

第26頁/共52頁第27頁/共52頁第28頁/共52頁簡化模型實(shí)驗(yàn)方法中流動(dòng)相似的條件，除局部相似之外，還可采用自?；匦院头€(wěn)定性。在工程實(shí)際中的模型試驗(yàn)，好多只能滿足部分相似準(zhǔn)則，即稱之為局部相似。如上面的粘性不可壓定常流動(dòng)的問題，不考慮自由面的作用及重力的作用，只考慮粘性的影響，則定性準(zhǔn)則只考慮雷諾數(shù)Re，因而模型尺寸和介質(zhì)的選擇就自由了。

自?；母拍顚?shí)質(zhì)是自身模擬的概念。比如在某系統(tǒng)中，有兩個(gè)數(shù)與其它量比起來都很大，則可認(rèn)為這兩個(gè)數(shù)自模擬了。又比如，在圓管流動(dòng)中，當(dāng)Re≤2320時(shí)，管內(nèi)流動(dòng)的速度分布都是一軸對(duì)稱的旋轉(zhuǎn)拋物面。當(dāng)Re>4×105管內(nèi)流動(dòng)狀態(tài)為紊流狀態(tài)，其速度分布基本不隨Re變化而變化，故在這一模擬區(qū)域內(nèi)，不必考慮模型的Re與原型的Re相等否，只要與原型所處同一?；瘏^(qū)即可。第三節(jié)流動(dòng)相似條件

第29頁/共52頁圖4-5弧型閘門

第30頁/共52頁第31頁/共52頁圖4-6內(nèi)裝蝶閥的管道

第32頁/共52頁第33頁/共52頁第34頁/共52頁第五節(jié)量綱分析法

一、物理方程量綱一致性原則二、瑞利法三、

定理

第35頁/共52頁一、物理方程量綱一致性原則

1.基本量綱：(獨(dú)立量綱)

長度(L)時(shí)間(T)質(zhì)量(M)第五節(jié)量綱分析法

2.導(dǎo)出量綱：第36頁/共52頁定理。

3.一致性原則物理方程中要求每一項(xiàng)量綱都相同例:量綱為L.第五節(jié)量綱分析法

二、瑞利法1.定義：根據(jù)量綱量一致性原則，確定相關(guān)量的函數(shù)關(guān)系。

第37頁/共52頁2.舉例：圖4-7

三角堰

第五節(jié)量綱分析法

第38頁/共52頁第39頁/共52頁第40頁/共52頁第41頁/共52頁第五節(jié)量綱分析法

第42頁/共52頁三、定理：定理可以解決瑞利中方程的個(gè)數(shù)等于待定系數(shù)的缺點(diǎn).內(nèi)容如下

(一)內(nèi)容選取影響流動(dòng)的n個(gè)物理量寫出下述函數(shù)關(guān)系如(1)選擇m個(gè)獨(dú)立變量，原則是要既相互獨(dú)立，又包含三個(gè)基本量綱.一般選:幾何尺度速度

質(zhì)量第五節(jié)量綱分析法

第43頁/共52頁用n–m

個(gè)無量綱寫出準(zhǔn)則方程