第七節(jié)二次曲面

第七節(jié)二次曲面1一、球面方程（2）解：或在空間解析幾何中關于曲面的研究,有下列兩個基本問題:(2)

已知曲面的方程，求這方程所表示的曲面的形狀。(1)

已知曲面點的幾何軌跡，求曲面的方程；半徑為

R的球面

S

的方程.建立球心在例1

2若球心在原點，則從而球面的方程為半徑為R

的球面方程.方程(2)就是以球心,(3)為所求平面上的點的坐標所滿足的方程。已知求線段AB的垂直平分面的方程.

例2解：設3配方得半徑為的球面.解:原方程表示球心在點一般地，設有三元二次方程通過配方可以化成（2）的形式，那么它的圖形就是一個球面。

例3

方程表示怎樣的曲面?4這條定直線叫做旋轉曲面的軸.以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面叫做旋轉曲面，就是所求旋轉曲面的方程。二.旋轉曲面——通常多考慮以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面.設過M點做z軸的垂面，與z軸交于P（0,0,z）點，交曲線C于M1（0,y1,z）,顯然

(4)因為，M1在曲線C上，其坐標應滿足即：P（x,y,z)5設繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為設繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為設繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為6旋轉軸為z軸,半頂角為的圓錐面的方程.試建立頂點在坐標原點O,解:在坐標面上，或這就是圓錐面的方程。P例4

直線L

繞另一條與L相交的直線旋轉一周,所得旋轉曲兩直線的交點叫做圓錐面的頂點，面叫圓錐面，兩直線的夾角叫做圓錐面的半頂角。讓L繞z軸旋轉7解：這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.例5面上的雙曲線分別繞軸和軸一周,求所生成的旋轉曲面的方程.將xOzy8三.柱面平行于z軸的直線l叫做它的母線。面上的圓叫做它的準線，例6

方程表示怎樣的曲面?圓在面：解：這曲面叫做圓柱面.這曲面可以看作是由平行于z

軸的直線沿面上的圓平行移動而成,在三維空間直角坐標系中

其實在面內的一條直線:繞z軸旋轉而成的旋轉曲面就是該圓柱面,則圓柱面方程為:即P119方程在空間直角坐標系中表示：母線平行于軸的柱面,其準線是面上的曲線方程在空間直角坐標系中表示：母線平行于軸的柱面,其準線是面上的曲線方程在空間直角坐標系中表示：母線平行于軸的柱面,其準線是面上的曲線方程中缺哪個字母，母線平行于相應的軸。P910方程在空間直角坐標系中表示：其準線是面上的曲(直)線:母線平行于軸的柱面,11小結：1.曲面的概念2.球面方程3.平面方程4.旋轉曲面5.錐面的方程6.柱面方程設繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為方程在空間直角坐標系中表示：母線平行于

軸的柱面,其準線是面上的曲線12一.空間曲線的一般式方程空間曲線可以看作兩個曲面的交線.方程組(1)叫做空間曲線

C

的一般方程.第六節(jié)空間曲線及其方程13二.空間曲線的參數(shù)方程叫做空間曲線的參數(shù)方程。●14當時，叫做螺旋線的螺距。取時間t

為參數(shù)，設當時，動點位于軸上的一點處，經(jīng)過時間

t，動點由運動到記在面上的投影為所以解:例3構成的圖形叫做螺旋線，試建立其參數(shù)方程。如果空間一點在圓柱面上以角速度繞軸旋轉，同時又以線速度沿平行于軸的正方向上升，那么點則M’的坐標為:P2115螺旋線在三個坐標平面上的投影（用直角坐標方程表示）？（1）關于面的投影柱面：則在面上的投影為：（2）關于面的投影柱面：則在面上的投影為：（3）關于面的投影柱面：則在面上的投影為：P1816于是兩球面的交線在面上的投影方程為

解：從（1）式減去（2）式并化簡得：方程為再以代入（1），柱面，的關于面的投影

得交線例4

已知兩球面的方程為

（1）（2）求它們的交線在面上的投影方程。17例5

設一個立體由上半球面和錐面所圍成，面上的投影。求它在消去z得因此交線C在面上的投影曲線為于是所求立體在面上的投影，所圍的部分：面上就是該圓在

解：C：半球面和錐面的交線為18