第八章偏導(dǎo)數(shù)

第八章第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)很重要的概念，是研究函數(shù)的有力工具，它反映了該點(diǎn)處函數(shù)隨自變量變化的快慢程度。對(duì)于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率問(wèn)題。但多元函數(shù)的自變量不止一個(gè)，因此函數(shù)值與自變量之間的關(guān)系要復(fù)雜的多。因此我們首先考察相對(duì)簡(jiǎn)單的情況，即在其它自變量不變的條件下，只考慮函數(shù)對(duì)其中一個(gè)自變量的變化率，因此這種變化率依然是一元函數(shù)意義下的變化率問(wèn)題，這就是偏導(dǎo)數(shù)概念的由來(lái)。而且這類問(wèn)題在實(shí)際應(yīng)用中也是經(jīng)常需要的。下面我們首先介紹偏導(dǎo)數(shù)的定義。定義1.在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果極限設(shè)函數(shù)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為則稱此極限為函數(shù)同樣可定義對(duì)y

的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫(xiě)出)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求時(shí)把y

視為常數(shù)而對(duì)x

求導(dǎo)計(jì)算時(shí)仍然是一元函數(shù)求導(dǎo)的問(wèn)題求時(shí)把x視為常數(shù)而對(duì)y

求導(dǎo)一元函數(shù)求導(dǎo)的法則?例1.

求在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).例3.例2.

求的偏導(dǎo)數(shù).

注：求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義來(lái)求。解：例4.偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).顯然例5.高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)

z=f(x,y)在域

D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

.一般有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于

x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于

x的

n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于

y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為其中第二，三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).例6.求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)及

例7.求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)通過(guò)觀察可知上述2個(gè)例題的混合偏導(dǎo)數(shù)都相等?；旌掀珜?dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？定理：偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義幾何意義:例8.求曲線在點(diǎn)(2,4,5)處的切線對(duì)于x軸的夾角。例9.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)P18.1