激光光學(xué)課件(部分)

§4.1

高斯光束的基本性質(zhì)一、高斯光束是亥姆霍茲方程在緩變振幅近似下的一個(gè)特解由§1.2知，穩(wěn)態(tài)傳輸電磁場滿足亥姆霍茲方程：式中E（x,y,z）與電場強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表示E(x,y,z,t)間有關(guān)系容易證明，平面波和球面波都是（4.1.1）的特解。高斯光束則不同，它不是（4.1.1）的精確解，而是在緩變振幅近似（SVA）下的一個(gè)特解。設(shè)（4.1.1）（4.1.2）（4.1.3）

且在z=0處有一振幅為

的高斯光束，然后求在任意z處的A(r,z)。式中w0為束腰,A0為振幅常量，如果只考慮相對值，則可由歸一化條件求出。

設(shè)解為

式中f1(z),f2(z)為待定函數(shù)，滿足

將式（4.1.5）微分后代入式（1.2.21），由該方程對任意r成立條件得到關(guān)系式：

式中撇號表示d/dz

，微分方程（4.1.7）在邊界條件為式（4.1.6）時(shí)的解為式中

(4.1.8)(4.1.9)稱為瑞利尺寸或共焦參數(shù)。于是我們證明了，形如(4.1.10)的高斯光束是亥姆霍茲方程（4.1.1）在緩變振幅近似下的一個(gè)特解。其物理意義為：如果在z=0處有一形如（4.1.4）的高斯光束，則它將以式（4.1.10）非均勻高斯球面波的形式在空間傳輸。式（4.1.10）可改寫為(4.1.11)利用式（4.1.11）可將E（r，z）表為（4.1.15）二、高斯光束的基本性質(zhì)

由式（4.1.14）至式（4.1.18）知，高斯光束有以下基本性質(zhì)（圖4.1.1）：式中：（高斯光束的束寬）（4.1.12）（高斯光束的等相面曲率半徑）（4.1.13）（高斯光束的相位因子）（4.1.14）1.高斯光束在z=const的面內(nèi)場振幅以高斯函數(shù)exp[-r2/w2(z)]的形式從中心向外平滑地減小。按式（3.1.10）二階矩定義，由（4.1.15）求出的w(z)稱為高斯光束的束寬。顯然，對于高斯光束，w(z)也等于場振幅減小到中心值1/e處的r值。由式（4.1.12）可知，束寬w(z)隨坐標(biāo)z

按雙曲線圖4.1.1高斯光束（4.1.16）規(guī)律向外擴(kuò)展，z=0時(shí)，w(0)=w0取最小值。2.高斯光束等相面

所謂等相面是指相位相同點(diǎn)的軌跡，一般為空間曲面。對高斯光束可由式（4.1.15）中令相位部分等于常數(shù)得出，即(4.1.17)在近軸條件下，可略去項(xiàng)，式（4.1.18）說明，除z=0面附近之外，等相面為拋物型。式（4.1.18）也是原點(diǎn)在（0，0，a）半徑為R的球面方程(4.1.18)(4.1.19)的近軸形式。因此可以認(rèn)為高斯光束的等相面為球面，球面的曲率半徑R(z)由式（4.1.13）決定，且有 等相面為平面

等相面近似平面取極小值在遠(yuǎn)場處可將高斯光束近似視為一個(gè)由z=0點(diǎn)出發(fā)，半徑為z的球面波。高斯光束的等相面的曲率中心不是一個(gè)固定點(diǎn)，它隨著光束的傳輸而移動(dòng)。3.高斯光束的相移由式(4.1.15)知，總相移(4.1.20)它表征高斯光束在點(diǎn)（r,z）處相對原點(diǎn)（0,0）的相位差。其中kz

為幾何相移，kr2/2R(z)表示與徑向有關(guān)的相移。為高斯光束在空間傳輸距離z時(shí)相對于幾何相移產(chǎn)生的附加相移。4.瑞利長度（共焦參數(shù)）

由式（4.1.9）知，瑞利長度的物理意義：當(dāng)|z|=Z0時(shí)，。

瑞利長度越長，意味著高斯光束的準(zhǔn)直范圍越大，反之亦然。

5.遠(yuǎn)場發(fā)散角

高斯光束遠(yuǎn)場發(fā)散角可用下式定義

（4.1.21）利用式（4.1.12）求極限得（4.1.22）可知高斯光束遠(yuǎn)場發(fā)散角在數(shù)量級上等于以束寬w0為半徑的光束的衍射角，即它達(dá)到了衍射極限。

利用式（4.1.12）、式（4.1.13）可以將（4.1.22）改寫為（4.1.23）有此可知，高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角包含了在傳輸距離z出光束的幾何張角與衍射發(fā)散兩部分的貢獻(xiàn)。綜上所述，高斯光束在其軸線附近可以看做是一種非均勻高斯球面波，在傳輸過程中曲率中心不斷改變，其振幅在橫截面內(nèi)為一個(gè)高斯函數(shù)，強(qiáng)度集中在軸線及其附近，且等相面保持為球面（特殊范圍內(nèi)為平面）?！?.1高斯光束的基本性質(zhì)一、高階高斯光束

由式（4.1.14）表征的高斯光束通常稱為基模TEM00高斯光束。除此以外，還存在高階高斯光束，相對于高階橫模TEMpl或TEMmn

利用拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推公式，仿前推導(dǎo)，可以證明形如（4.2.1）的拉蓋爾-高斯函數(shù)，也是亥姆霍茲方程在緩變振幅近似下式（1.2.22）的一個(gè)特解。TEMpl模高斯光束的相移為（4.2.2）利用特殊函數(shù)的數(shù)學(xué)理論可以證明，由式（4.2.1）所表征的解構(gòu)成正交完備系，選擇合適的常數(shù)Apl，可以使它歸一化容易證明，形如（4.2.3）的厄米–高斯函數(shù)為式（1.2.21）的一個(gè)特解，式中和分別為m階和n階厄米多項(xiàng)式。于是厄米–高斯函數(shù)所表征的高階高斯光束TEMmn的橫向場分布由函數(shù)（4.2.4）（4.2.5）描述，它沿x方向有m條節(jié)線，沿y方向有n條節(jié)線，其相移為（4.2.6）由式（4.2.3）所表示的解也構(gòu)成正交完備系，Amn為歸一化常數(shù)。基模高斯光束和高階高斯光束（對應(yīng)于多模情況）通稱高斯光束，今后未做特殊說明，一般指的是基模高斯光束。二、高階高斯光束的束寬和遠(yuǎn)場發(fā)散角1.厄米–高斯光束按二階矩定義。對式（4.2.4）所示的厄米–高斯光束，在x方向的束寬wm(z)為(4.2.7)類似地，在y

方向的束寬為wn(z)我們?nèi)杂茫?.1.21）來定義高階高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角，則在x和y方向的

和分別為

(4.2.8)（4.2.9）（4.2.10）容易證明，這與用光強(qiáng)空間頻率域中的二階矩求得高階高斯光束遠(yuǎn)場發(fā)散角的公式相同。由式（4.2.9）、式（4.2.10）知，當(dāng)m

不等于n

時(shí)，厄米-高斯光束在x和y

方向的遠(yuǎn)場發(fā)散角是不相等的，它們分別為基模高斯光束發(fā)散角的和倍。 厄米–高斯光束在按（4.2.7）和（4.2.8）所定義的束寬所圍成的面積內(nèi)的功率占總功率的百分比可按下式計(jì)算：由表4.2.1知，大部分的激光功率都集中于所定義的束寬之內(nèi)。（4.2.11）2.拉蓋爾-高斯光束由式（4.2.1）表征的拉蓋爾–高斯光束，束寬wpl(z)和遠(yuǎn)場發(fā)散角為

在所定義的束寬所圍成的面積內(nèi)，拉蓋爾–高斯光束的功率占總功率的百分比為（4.2.12）（4.2.13）（4.2.14）數(shù)值計(jì)算結(jié)果見表4.2.2表4.2.2拉蓋爾-高斯光束的Tpl值§4.3

高斯光束的復(fù)參數(shù)表示ABCD定律一、高斯光束的復(fù)參數(shù)表示

由式（4.1.12）至式（4.1.15）知，高斯光束由R(z)、w(z)和z中任意兩個(gè)即可確定，因此可用復(fù)參數(shù)q將這三個(gè)量聯(lián)系起來。定義q為

利用式（4.1.12）、式（4.1.13）易得q=z+iZ0用復(fù)參數(shù)q可將式（4.1.11）簡潔地表示為:（4.3.1）(4.3.3)(4.3.2)

于是高斯光束可由復(fù)參數(shù)q確定。當(dāng)q已知時(shí)，R(z),w(z)則按下式求出：其中Re表示復(fù)數(shù)取實(shí)部、lm表示復(fù)數(shù)取虛部運(yùn)算。在討論高斯光束的傳輸變換問題時(shí)，通常用w0、z參數(shù)，R(z),w(z)參數(shù)或者復(fù)參數(shù)q來描述，但其中以q參數(shù)法最為簡便、規(guī)范，書本就主要使用這一方法，注意對n=1，式（4.3.1）中為真空（或空氣）中波長，當(dāng)n不等于1時(shí)，應(yīng)理解為折射率n

介質(zhì)中波長。(4.3.4)(4.3.5)二、高斯光束的ABCD定律

§1.3中已經(jīng)證明，高斯光束復(fù)參數(shù)q通過變換矩陣的光學(xué)系統(tǒng)的變換遵守ABCD定律：

或?qū)懗扇绻麖?fù)參數(shù)q1

的高斯光束順次通過變換矩陣為（4.3.6）（4.3.7）

(4.3.8)

的光學(xué)系統(tǒng)后變?yōu)閺?fù)參數(shù)為q

的高斯光束（圖4.3.1），利用矩陣乘法易證，此時(shí)ABCD

定律亦成立，但其中ABCD為下面矩陣M諸元：即：圖4.3.1q

參數(shù)通過變換矩陣M1，M2，…，Mn串接光學(xué)系統(tǒng)的變換（4.3.9）

當(dāng)q1

和M1，M2，…，Mn為已知時(shí)，原則上由ABCD定律可求出任意z處的q

，再由式（4.3.4）、式（4.3.5）做復(fù)數(shù)運(yùn)算分離、虛部得到R和w，于是高斯光束

的復(fù)參數(shù)表示和ABCD

定律給出了 研究高斯光束通過無光闌限制近軸

ABCD光學(xué)系統(tǒng)傳輸變換的一個(gè)基 本方法?，F(xiàn)在以高斯光束在自由空 間傳輸?shù)淖詈唵吻闆r為例，說明AB CD定律的應(yīng)用。如圖4.3.2，設(shè)在z =0處有一等相面為平面的高斯光束： 在自由空間中傳輸距離z

后，設(shè)其復(fù)參數(shù)為q

。因?yàn)閳D4.3.2高斯光束在自由空間的傳輸（4.3.10）（4.3.11）由ABCD定律：

將式（4.3.1）和（4.3.10）代入（4.3.12）做復(fù)數(shù)運(yùn)算得

這即式（4.1.12）、式（4.1.13），它描述了以束腰處為參考，高斯光束的等相面曲率半徑R(z)和束寬w(z)隨傳輸距離z

的變化規(guī)律。式（4.3.13）還可用式（4.1.9）和式（4.1.22）改寫為(4.3.13)(4.3.14)三、高斯光束的傳輸方程和ABCD定律

為討論高斯光束的傳輸變換問題，引入所謂嵌入光束是比較方便的。如圖4.3.3所示，嵌入TEM00模高斯光束的束腰w0、束寬w(z)和遠(yuǎn)場發(fā)散角與厄米–高斯光束在x、y方向的對應(yīng)值w0m

、wm(z)和w0n

、wn(z)、間有關(guān)系(4.3.15)

圖4.3.3嵌入基模高斯光束（4.3.16）和（4.3.17）厄米–高斯光束在x

和y

方向的瑞利長度借助于式（4.3.16）至式（4.3.19），高階高斯光束在自由空間中的傳輸方程可由嵌入基模的高