MATLAB實現(xiàn)迭代法最佳松弛因子的選取

迭代法最佳松弛因子的選取一、 問題提出：-43 0一針對矩陣A=34-1,b=[24;30;-24],用SOR迭代求解。并選出最佳0-142 2 …_一松弛因子。理論分析①="J：p(j)=]+j]20.625牝1-24。做出P(幻)關(guān)于①函數(shù)的圖像。二、 理論基礎(chǔ)選取分裂矩陣M為帶參數(shù)的下三角矩陣M=-1(D-wL),w其中w>0為可選擇的松弛因子.于是，由 Ix(0)(初始向量)(k=0,1,…,)可構(gòu)造一個迭代法，其迭代X(k+1)=Bx(k)+f矩陣為L三I-w(D-wL)-1A=(D—wL)-1((1—w)D+wU).從而得到解Ax=b的主次逐次超松弛迭代法.解Ax二b的SOR方法為Ix(0)(初始向量)< (k=0,1，…，)(1)X(k+1)=Bx(k)+f其中L=(D-wL)-1((1-w)D+wU).(2)wf=w(D一wL)-1b下面給出解Ax=b的SOR迭代法的分量計算公式.記X(k)=(X(k),...,X(k),...,X(k))T,由(1)式可得(D一wL)=x(k+1)=((1一w)D+wU)x(k)+wb,Dx(k+1)=Dx(k)+w(b+Lx(k+1)+Ux(k)一Dx(k)). (3)由此,得到解Ax=b的SOR方法的計算公式

X(0)=(X(0)=(X：0*...,X(°))T,x(k+1)=x(k)+w(b—切i i iaxk+1ijjj=1—￡ax(k))/a/、ijjii(4)j=i(i=1,2,...,n;k=0,1),w為松弛因子.x(0)=(x：0'...,x(0))T,x.(k+1)=x.(k)+Ax.,.<Ax=w(b一切ax(k+1)-^^nax(k)/a)(5)iiijjijjiij=1 j=i(i=1,2,...,n;k=0,1,...),w為松弛因子.淤若要求選取出最佳松弛因子，則有兩種方法：⑴、給出w的最佳范圍，當取不同的w值時，會求出不同的譜半徑R的值，然后判斷出值最小的譜半徑。那么這個最小的譜半徑所對應的w，即為所求最佳松弛因子。⑵、給出w的最佳范圍，當取不同的w值時，由（2）式進行迭代，看它們在相同精度范圍內(nèi)的迭代次數(shù)，找出迭代次數(shù)最低的那一個，其所應用的w即為最佳松弛因子。三、實驗內(nèi)容：松弛因子、譜半徑和迭代次數(shù)的關(guān)系:w1Rh3130302928272626wRh2525242323222121wRh2019191817161515wRh14151515151515從表格中可以看出，迭代次數(shù)隨著松弛因子的增長而呈現(xiàn)先減后增的趨勢，當譜半徑最小時，其迭代次數(shù)最小。則表示出譜半徑最小時，其松弛因子為最佳松弛因子。w和R的關(guān)系圖如下:圖像中，其橫坐標表示松弛因子，縱坐標表示譜半徑。從圖中可以看出，隨著松弛因子的增長，譜半徑先是呈遞減趨勢，當達到最小值時，呈上升趨勢。結(jié)果分析:通過這次的實驗，我們知道了關(guān)于怎樣選取最佳松弛因子的方法和理論。了解了最佳松弛因子與系數(shù)矩陣譜半徑之間的關(guān)系，即譜半徑越小那么其所對應的松弛因子越佳，且迭代次數(shù)越小。所得結(jié)果與理論結(jié)果相符，即最佳松弛因子是，表格及圖象顯示出，越接近理論值，誤差越??！參考文獻數(shù)值分析，李慶揚，王能超，易大義，2001，清華大學出版社（第四版）。數(shù)值方法，關(guān)治，陸金甫，2006，清華大學出版社。數(shù)值分析與實驗學習指導，蔡大用，2001,清華大學出版社。數(shù)值分析與實驗，薛毅，2005，北京工業(yè)大學出版社。附錄：程序如下：A=[4,3,0;3,4,-1;0,-1,4];%系數(shù)矩陣％b=[24;30;-24];D二diag(diag(A));%A的對角矩陣％U=-triu(A,1);%A上三角矩陣％L=-tril(A,-1);%A的下三角矩陣％m=[];t=[]; %創(chuàng)建兩個空矩陣分別存放相對應的譜半徑和記錄迭代次數(shù)%forw=1::; %取可的值％q=(D-w*L);p=inv(q);%求4的逆％lw=p*((1-w)*D+w*U); %求得迭代矩陣％V二eig(lw); %計算迭代矩陣的特征向量％R=max(abs(V)); %找出絕對值最大的譜半徑％m=[m,R];plot(w,R,'o'); %畫出w和R的關(guān)系圖％holdon仁(D-w*L)\b*w;x0=[0;0;0]; %取迭代初值％y=lw*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=%迭代條件％f=(D-w*L)\b*w;x0=y;y=lw*x0+f;n=n+1;endt=[t,n];end[h,k]=min(t); %h記錄最小的迭代次數(shù)，k記錄第幾個數(shù)最小％求解過程g=