分布函數(shù)的估計與檢驗

西南交通大學李裕奇非參數(shù)統(tǒng)計1西南交通大學4.1分布函數(shù)的估計與檢驗一經驗分布函數(shù)二分布擬合檢驗2西南交通大學一經驗分布函數(shù)

經驗分布函數(shù)是總體分布函數(shù)最為直觀、方便實用的估計定義1.1

設X為一隨機變量，其分布函數(shù)F(x)未知，現(xiàn)對X進行n次觀測，記稱為經驗分布函數(shù)3西南交通大學性質1.1

對于每一樣本XI,X2,…Xn，F(xiàn)n(x)是一分布函數(shù)，且為階梯函數(shù)。4西南交通大學例1.1對某一總體進行了17次獨立觀測，得到以下數(shù)據(jù)：2.572.312.121.922.752.712.602.512.502.412.222.312.252.202.192.152.00試寫出X的經驗分布函數(shù)。5西南交通大學性質1.2

對于固定的x，vn(x)=nFn(x)，F(xiàn)n(x)是樣本XI,X2,…Xn

，為隨機變量，且vn(x)服從參數(shù)為n，F(xiàn)(x)的二項分布。6西南交通大學性質1.3

對于固定的x，任意的正數(shù)ε，有所以,當n足夠大時,可用經驗分布函數(shù)估計總體的理論分布函數(shù):7西南交通大學例1.2對某一總體進行了17次獨立觀測，得到以下數(shù)據(jù)：2.572.312.121.922.752.712.602.512.502.412.222.312.252.202.192.152.00試估計概率:8西南交通大學解:將數(shù)據(jù)從小到大排列為:1.9222.122.152.192.22.222.252.312.312.412.52.512.572.62.712.75

9西南交通大學Glivenko

定理:對任意的x,有下式成立:其中:進一步結果:10西南交通大學Kolmogonov

定理設總體分布函數(shù)為F(x)連續(xù),經驗分布函數(shù)為Fn(x),則統(tǒng)計量的極限分布函數(shù)為Kolmogonov

分布函數(shù):其中11西南交通大學二分布擬合檢驗分布檢驗假設:分布擬合檢驗方法是檢驗試驗結果與理論分布是否吻合,是否一致的方法,:如概率紙擬合法,卡方擬合檢驗法,Kolmogonov

分布檢驗方法等12西南交通大學1卡方擬合檢驗法基本思想:1)首先把X的一切可能值的集合A進行劃分,使其滿足:2)再統(tǒng)計出總體的觀測值出現(xiàn)在各個Ai中的實際頻數(shù)ni,13西南交通大學3)在H0真時,分別計算觀測值落入Ai的理論期望頻數(shù)的估計值:4)當H0真時,理論期望頻數(shù)Ei與實際頻數(shù)ni應相差無多,故由Pirson與Fisher定理給出的卡方分布確定H0的拒絕域。14西南交通大學Pirson-Fisher定理：若n充分大時，H0成立條件下，有其中r是被估計的參數(shù)的個數(shù)。15西南交通大學卡方擬合檢驗法步驟：1）提出分布假設:2）顯著性水平？樣本容量？3）H0的拒絕域：4）判斷：列出卡方檢驗計算表，得出卡方值，并與臨界值比較得結論16西南交通大學nipinpini-npi(ni-npi)2/npiA1A2Ak合計n1n0檢驗計算表17西南交通大學例1.3在使用儀器進行測量時,最后一位數(shù)字是按儀器的最小刻度用肉眼估計的,下表記錄了200個測量數(shù)據(jù)中0,1,2,…,9等10個數(shù)字出現(xiàn)在最后一位的次數(shù),試問在估計最后一位數(shù)字時有無系統(tǒng)誤差?X0123456789ni3516151717191116302418西南交通大學解：1）提出分布假設:2）顯著性水平為0.01,樣本容量為2003）H0的拒絕域：H0:無系統(tǒng)誤差;H1:有系統(tǒng)誤差分類數(shù)k=10,r=0,k-r-1=9H0真,即總體X均勻取值,其取值的概率應為19西南交通大學4）判斷：列出卡方檢驗計算表:nipinpini-npi(ni-npi)2/npiA1350.1201511.25A2160.120-40.8A3150.120-51.25A4170.120-30.45A5170.120-30.45A6190.120-10.05A7110.120-94.05A8160.120-40.8A9300.120105.0A10240.12040.8合計2001200024.9020西南交通大學所以,應拒絕H0,認為在估計最后一位數(shù)字時有明顯的系統(tǒng)誤差。21西南交通大學例1.5在測量了12000個豆粒的厚度，測量結果按大小分為16個組分別記數(shù)，如果如下表：區(qū)間<7.00[7,7.25)[7.25,7.5)[7.5,7.75)[7.5,8.0)[8.0,8.25)頻數(shù)3210323962411871650區(qū)間[8.25,8.5)[8.5,8.75)[8.75,9.0)[9.0,9.25)[9.25,9.5)[9.5,9.75)頻數(shù)1883193016381130737437區(qū)間[9.75,10)[10,10.25)[10.25,10.5)>10.5頻數(shù)2211105732計算出平均值8.512,標準差0.6163,試問可否認為豆粒厚度的分布為正態(tài)的(顯著性水平0.001)22西南交通大學解：1）提出分布假設:H0:豆粒厚度服從正態(tài)分布;H1:豆粒厚度不服從正態(tài)分布H0真,取值的概率估計值應為2）顯著性水平為0.01,樣本容量為12000分類數(shù)k=16,r=2,k-r-1=1323西南交通大學3）H0的拒絕域：4)列出卡方檢驗計算表(P123) 按概率分布計算相應的概率值:24西南交通大學2Kolmogonov檢驗法基本思想:利用服從Kolmogonov分布函數(shù)的統(tǒng)計量進行分布檢驗其中25西南交通大學Kolmogonov檢驗法步驟：1）提出分布假設:3）H0的拒絕域：4）判斷：列出K氏檢驗計算表，計算Dn值,并與臨界值比較得結論2）顯著性水平？樣本容量？26西南交通大學計算Dn值時,可采用下式:其中為次序統(tǒng)計量的經驗分布函數(shù)值27西南交通大學注意:d的值由數(shù)據(jù)的順序統(tǒng)計值計算,即先由得到數(shù)據(jù)按從小到大順序排列為再計算d的值28西南交通大學例1.6從某張隨機數(shù)表中隨機地抽得20個數(shù)據(jù)如下：試在顯著性水平0.05下,是否可認為該張隨機表中的數(shù)服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布?0.540.810.710.210.310.400.460.170.620.630.990.870.140.120.640.510.680.500.600.78見P12429西南交通大學例1.7

某工廠生產一種220伏25瓦的白熾燈泡,其光通量用X表示,X為一隨機變量,現(xiàn)從總體抽取容量為120的樣本,進行一次觀