復(fù)變函數(shù)與積分變換第三講

第三講解析函數(shù)的充要條件

初等函數(shù)

1.解析函數(shù)的充要條件

2.舉例§2.2解析函數(shù)的充要條件

如果復(fù)變函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)

w=f(z)在

D內(nèi)解析。本節(jié)從函數(shù)u(x,y)及v(x,y)的可導(dǎo)性，探求函數(shù)w=f(z)的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。問題如何判斷函數(shù)的解析性呢？一.解析函數(shù)的充要條件記憶定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡(jiǎn)稱C-R方程).定理1設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D

內(nèi)有定義，則

f(z)在點(diǎn)z=x+iy∈D處可導(dǎo)的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時(shí),有最易記憶僅用u表示僅用v表示證明（由f(z)的可導(dǎo)C-R方程滿足上面已證！只須證

f(z)的可導(dǎo)函數(shù)u(x,y)、v(x,y)可微）?！吆瘮?shù)w=f(z)點(diǎn)z可導(dǎo)，即則f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可寫為因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy所以u(píng)(x,y)，v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微.（由函數(shù)u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微及滿足

C-R方程f(z)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo)）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點(diǎn)可微，即：定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí),僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來.

利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的.使用時(shí):i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，

(因?yàn)閡(x,y),v(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)可推出它們可微)ii)驗(yàn)證C-R條件.iii)求導(dǎo)數(shù)：

前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的,但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意,并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的.二.舉例例1

判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解(1)設(shè)z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

則解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny僅在點(diǎn)z=0處滿足C-R條件，故解(3)設(shè)z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則例2

求證函數(shù)證明由于在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿足C-R條件：故函數(shù)w=f(z)在z≠0處解析，其導(dǎo)數(shù)為例3證明例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函數(shù)，且f(z)≠0，那么曲線族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，這里C1

、C2常數(shù).那么在曲線的交點(diǎn)處，i)uy、

vy

均不為零時(shí)，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一條曲線的斜率分別為解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：兩族曲線互相正交.ii)uy，vy中有一為零時(shí)，不妨設(shè)uy=0，則k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：兩族曲線在交點(diǎn)處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的,它們?nèi)曰ハ嗾弧＞毩?xí):用C-R方程可解得a=2,b=-1,c=-1,d=2

1.指數(shù)函數(shù)

2.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)

3.對(duì)數(shù)函數(shù)

4.乘冪與冪函數(shù)

5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)§2.3初等函數(shù)

本節(jié)將實(shí)變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說明它的解析性。內(nèi)容簡(jiǎn)介一.指數(shù)函數(shù)它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：定義這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的。

例1例2例3二.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形定義正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)思考題由正弦和余弦函數(shù)的定義得其它三角函數(shù)的定義(詳見P51)定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)三.對(duì)數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。即，(1)對(duì)數(shù)的定義故特別

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)見§1-6例4例4四.乘冪與冪函數(shù)乘冪ab定義

—多值—一般為多值推廣到復(fù)數(shù)情形：—q支

(2)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a

的

n次根意義一致。

(1)當(dāng)b=n(正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a的n次冪意義一致。解例5冪函數(shù)zb定義①當(dāng)b=n(