第3章-彈性地基梁理論

第3章彈性地基梁理論概述彈性地基梁的計(jì)算模型彈性地基梁撓度曲線微分方程式及其初參數(shù)解彈性地基短梁、長梁及剛性梁3.1概述彈性地基梁，是指擱置在具有一定彈性地基上，各點(diǎn)與地基緊密相貼的梁，如鐵路枕木、鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)梁等。彈性地基梁與普通梁的區(qū)別普通梁式靜定的或有限次超靜定結(jié)構(gòu)；彈性地基梁是無窮多次超靜定結(jié)構(gòu)。普通梁的支座通?？醋鰟傂灾ё粗豢紤]梁的變形；彈性地基梁則必須同時考慮地基的變形。3.2彈性地基梁的計(jì)算模型局部彈性地基模型溫克爾假設(shè)：把地基模擬為剛性支座上一系列獨(dú)立的彈簧。缺點(diǎn)：局部彈性地基模型沒有反映地基的變形連續(xù)性，不能全面的反映地基梁的實(shí)際情況。但如果地基的上部為較薄的土層，下部為堅(jiān)硬巖石，這時將得出比較滿意的結(jié)果。半無限體彈性地基模型彈性地基梁的受力和變形假設(shè)把地基看作一個均質(zhì)、連續(xù)、彈性的半無限體。優(yōu)點(diǎn)反映了地基的連續(xù)整體性，同時從幾何上、物理上對地基進(jìn)行了簡化。缺點(diǎn)彈性假設(shè)沒有反映土壤的非彈性性質(zhì)；均質(zhì)假設(shè)沒有反映土壤的不均勻性；半無限體的假設(shè)沒有反映地基的分層特點(diǎn)；數(shù)學(xué)處理上比較復(fù)雜。3.3彈性地基梁撓度曲線微分方程式及其初參數(shù)解基本假定地基梁在外荷載作用下產(chǎn)生變形的過程中，梁底面與地基表面始終緊密相貼，即地基的沉陷或隆起與梁的撓度處處相等；由于梁與地基間的摩擦力對計(jì)算結(jié)果影響不大，可以略去不計(jì)，因而，地基反力處處與接觸面相垂直；地基梁的高跨比較小，符合平截面假設(shè)，因而可直接應(yīng)用材料力學(xué)中有關(guān)梁的變形及內(nèi)力計(jì)算結(jié)論。彈性地基梁的撓度曲線微分方程式彈性地基梁的微元分析考察微段的平衡有：化簡得：省略二階微量化簡得：合并二式得：根據(jù)材料力學(xué)有：代入化簡得到撓曲微分方程：對應(yīng)齊次微分方程的通解令撓曲微分方程中，得到對應(yīng)齊次微分方程：

且令：通解為：利用雙曲函數(shù)關(guān)系：得到另一通解：初參數(shù)解初參數(shù)法把四個積分常數(shù)改用四個初參數(shù)來表示，根據(jù)初參數(shù)的物理意義來尋求簡化計(jì)算的途徑。用初參數(shù)表示積分常數(shù)彈性地基梁作用的初參數(shù)梁左端邊界條件：得到積分常數(shù)：其中：用初參數(shù)表示的齊次微分方程的解：其中：微分關(guān)系為：彈性地基梁已知初參數(shù)A端邊界條件待求初參數(shù)自由端M0=0Q0=0M0=-mQ0=-P1MA=0QA=0MA=0QA=P2θ0y0θ0y0簡支端M0=0y0=0M0=m1y0=0MA=0yA=0MA=m2yA=0θ0Q0θ0Q0實(shí)際工程中常遇到的支座形式反荷載作用下梁端參數(shù)的值固定端θ0=0y0=0θ0=0y0=0θA=0yA=0θA=0yA=0M0Q0M0Q0彈性固定端y0=0yA=0θ0=M0β0M0Q0彈性地基梁的撓度曲微分方程的特解集中荷載作用下的特解項(xiàng)集中力作用于地基梁集中力Pi作用下的特解項(xiàng)OA和AB段撓曲微分方程分別為：由A點(diǎn)的變形連續(xù)條件和受力情況有：當(dāng)時，特解項(xiàng)為零。當(dāng)時，集中力偶Mi作用下的特解項(xiàng)集中力偶作用于地基梁當(dāng)時，取特解項(xiàng)為零。分布荷載作用下的特解項(xiàng)分布荷載作用于地基梁分布荷載可分解成多個集中力，按集中力求解特項(xiàng)。荷載在右邊截面x處引起的撓度特解項(xiàng)為：x截面以左所有荷載引起的撓度特解項(xiàng)為：均布荷載荷載均布與ab段（積分限）（積分限）當(dāng)荷載滿跨均布時，積分限是（0，x），故有：三角形分布荷載三角形荷載作用于地基梁微段上荷載引起的撓度附加項(xiàng)為：當(dāng)時，積分限是

，當(dāng)時，積分限是

，當(dāng)三角形荷載布滿全跨時，積分限是（0，x）有：梁全跨布滿梯形荷載的特解項(xiàng)梯形荷載作用于地基梁只須把均布荷載與三角形荷載作用下兩式疊加即可。共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń饩C合荷載作用于地基梁當(dāng)時，項(xiàng)取值為零。3.4彈性地基短梁、長梁及剛性梁彈性地基梁的分類（a）短梁（b）無限長梁（c）半無限長梁（d）剛性梁換算長度長梁的計(jì)算無限長梁作用集中力Pi的計(jì)算無限長梁作用集中力的計(jì)算采用梁撓曲方程齊次解式，即：由有：由對稱條件有：考慮地基反力與外載的平衡條件：化簡得到：其中：無限梁右半部分有：其中：對于梁的左半部分，只需將式中和改變負(fù)號即可。無限長梁在集中力偶mi作用下的計(jì)算無限長梁作用集中力偶的計(jì)算反對稱條件：代入齊次微分方程通解得：無限長梁右半部分的變形及內(nèi)力為：對于左半部分，只需將上式中y與M變號即可。半無限長梁作用初參數(shù)的計(jì)算半無限長梁作用的初參數(shù)將代入：得到：再由：得到：如梁端作用有初參數(shù),則可得到與之間的關(guān)系：最終有：半無限長梁在梯形荷載作用下的計(jì)算故任一截面的變形與內(nèi)力為：是齊次微分方程的一個特解。梯形荷載作用于半無限長梁剛性梁的計(jì)算剛性梁的計(jì)算按靜定梁的平衡條件，得到剛性梁的變形與內(nèi)力為：3.5

算例兩端自由的彈性地基梁，長，寬，

，地基的彈性壓縮系數(shù)

，求梁1、2、3截面的彎矩例子1(1)判斷梁的類型考慮Pi集中載距右端為1m，故屬于短梁。(2)計(jì)算初參數(shù)梁左端條件：梁右端條件：代入共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń獾茫簩⒏鲾?shù)值代入后得：解得：（3）計(jì)算各截面的彎矩長度λ及彈性特征系數(shù)α，作用荷載如圖，如果