A不同特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)

會計學(xué)1A不同特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)2本節(jié)主要內(nèi)容相似矩陣的概念方陣相似對角化的條件與方法幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)實對稱矩陣正交相似對角化的方法7.2

相似矩陣第1頁/共41頁3設(shè)A,B是兩個n階方陣,如果存在可逆矩陣T,使T-1AT=B則稱A與B相似,記作A~B.從A到B的這種變換稱為相似變換,T為相似變換矩陣.7.2.1

相似矩陣的概念1

定義例如

T-1ET=E,第2頁/共41頁4即相似關(guān)系滿足:(1)

自反性:A~A;(2)

對稱性:若A~B,則B~A;(3)

傳遞性:若A~B,B~C,則A~C.矩陣的相似關(guān)系是上的一種等價關(guān)系,

所以彼此相似的矩陣構(gòu)成一個等價類,最簡單的代表元就是對角陣.第3頁/共41頁52相似矩陣的特征多項式定理7.2若A與B相似,則特征多項式同,即證因A與B相似,所以存在可逆矩陣T,使T-1AT=B第4頁/共41頁6則是A

的n個特征值.推論若n階方陣A與對角陣相似,結(jié)論成立.第5頁/共41頁73

相似矩陣有5同(4)跡同:(1)

特征多項式同:(2)特征值同:(3)行列式同:(5)秩同:如果A,B是兩個n階方陣,A~B.則有但逆命題不成立即特征值同但不相似陣(2)的反例如下:第6頁/共41頁8(1)相似矩陣有相同的可逆性,當(dāng)A可逆時,

若A~B,則A-1~B-1,B*~A*,B*=T-1A*T

.

(2)

若A~B,則Am

~Bm,其中m是正整數(shù).(3)若A~B,設(shè)

f(x)

是一個一元多項式,

則

f(A)~f(B),4

相似矩陣的性質(zhì)(5)若A~B,則對常數(shù)t有(4)若A~B,則AT

~BT.第7頁/共41頁9與相似,解由|5E

–A|=5-5x=0x=

1tr(A)=tr()

y=

-1.例1求

x

,

y

.兩矩陣相似等價5

矩陣的相似與等價的關(guān)系顯然A有特征值5,-5.第8頁/共41頁107.2.2

相似對角化的條件及方法1

定義若A與對角陣相似,稱A可以相似對角化.2

相似對角化的條件定理7.3

n階方陣A與對角陣相似A有n個線性無關(guān)的特征向量.A的n個線性無關(guān)的特征向量,且的主對角線上元素是與其對應(yīng)的特征值.T-1AT=為對角陣T的n個列向量是第9頁/共41頁11證設(shè)A與對角陣相似,則可逆陣T,使所以有AT=T用T1,T2,…,Tn表示T的n個列向量,即T=(T1,T2,…,Tn)(注意:證明過程給出相似對角化的方法)第10頁/共41頁12即A(T1,…,Tn)=(AT1,…,ATn)=等式兩邊的列向量應(yīng)當(dāng)對應(yīng)相等,所以:由T可逆知,T1,…,Tn線性無關(guān),故是A的n個線性無關(guān)的特征向量.第11頁/共41頁13

設(shè)T1,T2,…,Tn是n個線性無關(guān)的列向量,滿足:

ATi=iTi,i=1,2,…,n如果令T=(T1,T2,…,Tn)

AT=A(T1,T2…,Tn)=(AT1,AT2,…,ATn)=(1T1,2T2,…,nTn)=(T1,T2,…,Tn)diag(1,2,…,n)=Tdiag(1,2,…,n)T-1AT第12頁/共41頁14A可相似對角化.若A有n個互異特征值

例如,n階單位陣E可對角化,但是它的

互異特征值只有1個(n重

).屬于A的不同特征值的特征向量線性無關(guān)問題：若A可相似對角化,那么A一定有n個

互異特征值?推論1第13頁/共41頁157.2.3幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)幾何重數(shù):矩陣A的每個特征值i的特征子空間

Vi的維數(shù)為i的幾何重數(shù).

(即

(iE-A)X=0基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù)).代數(shù)重數(shù):(i在特征方程中的重根數(shù)).A的特征值的幾何重數(shù)代數(shù)重數(shù).定理7.4注

復(fù)矩陣A的所有特征值的代數(shù)重數(shù)之和每個特征值幾何重數(shù)=代數(shù)重數(shù)時.復(fù)矩陣A可相似對角化=n,所以有第14頁/共41頁16解x=

y.R(E

–A)=1,可相似對角化,求x,

y滿足的條件.例2R(3E

–A)=2特征值為1，1，3.第15頁/共41頁17設(shè)三階方陣A

的特征值為1,-1,-1,依次是對應(yīng)的特征向量,求A與A9

.T1=

,100T2

=

,

0

1-1T3=

3

2-1解

設(shè)則經(jīng)驗證T1,T2,

T3線性無關(guān),A可相似對角化.例3第16頁/共41頁187.3

實對稱陣的的正交相似對角化第17頁/共41頁197.3.1

實對稱陣的特征值與特征向量實對稱陣的性質(zhì):性質(zhì)1

實對稱陣的特征值都是實數(shù).性質(zhì)2

實對稱陣對應(yīng)于不同特征值的實特征向量必正交.證

設(shè)A是n階實對稱矩陣,是A的的特征值,且A=,A2=22往證1T2=0.11T2=(11)T2=(A1)T2=1TAT2=1T(A2)

=T(22)=21T

2(1-2)1T2=01T

2=0.第18頁/共41頁207.3.2實對稱陣的正交相似對角化實對稱矩陣可以正交相似對角化.其中是A的特征值.證

A為n階實對稱陣,

有定理7.6即:若A為n階實對稱陣,則正交陣P,使得(證明過程給出方法)第19頁/共41頁21

不同特征值

λ1

λ2

…

λs代數(shù)重數(shù)

r1

r2

…

rs幾何重數(shù)

r1

r2

…

rs無關(guān)特征向量

X11

…X1r1

X21…X2r2…

Xs1…Xsrs標(biāo)準(zhǔn)正交化標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量則

…為正交陣令第20頁/共41頁22推論

實對稱陣的任一特征值的代數(shù)重數(shù)=幾何重數(shù).即方程組的基礎(chǔ)解系恰好含有ri個向量.第21頁/共41頁23設(shè)三階實對稱陣A

的特征值為-1,1,1,

-1所對應(yīng)的特征向量為(0,1,1)T

.求1對應(yīng)的特征向量.例1X=

k(1,0,0)T+l(0,-1,1)T解設(shè)

X=(x1,x2,x3

)T,k

,l是不全為零的任意常數(shù).第22頁/共41頁24解例2設(shè)三階實對稱陣A

的特征值為1,2,2,

2對應(yīng)的特征向量為(1,1,0)T

(0,1,1)T

.求A的屬于1的實單位特征向量.設(shè)

X=(x1,x2,x3

)T,第23頁/共41頁25或所以得第24頁/共41頁例3

設(shè)求正交陣使

為對角陣

.解特征值為第25頁/共41頁將代入(2E-A)X=0得基礎(chǔ)解系正交化單位化第26頁/共41頁28將代入(-7E-A)X=0得基礎(chǔ)解系單位化故為正交陣diag(2,2,-7)第27頁/共41頁29已知矩陣A是三階實對稱陣,它的特征值分別是

1,1,2,且屬于2

的特征向量是

(1,0,1,)T,

求A=?

解

A是三階實對稱陣,正交相似于對角陣

diag(1,1,2),

屬于特征值1的特征向量與屬于2的特征向量

(1,0,1,)T正交,由此得到屬于1的特征向量為(0,1,0)T,(1,0,-1)T,

單位化得到相應(yīng)的正交矩陣:例4第28頁/共41頁30由PTAP=diag(1,1,2)可以得到A.第29頁/共41頁31例5設(shè)n階實對稱矩陣A的特征值都大于零,試證證因為A是實對稱陣,所以存在正交陣P,使第30頁/共41頁32預(yù)習(xí)

習(xí)題六(^-^)Bye!第31頁/共41頁331.若A有n個互異特征值

A可相似對角化.2.A可對角化A有n個線性無關(guān)的特征向量.3.

A可對角化A每個特征值的幾何重數(shù)R(λiE

–A)=n-ri

(i=1,2,…,s)=代數(shù)重數(shù).總結(jié)(A為方陣)4.實矩陣在實數(shù)域內(nèi)對角化,首先特征值都是實數(shù),且每個特征值的幾何重數(shù)=代數(shù)重數(shù).5.實對稱陣一定可以正交相似對角化第32頁/共41頁34(1)特征多項式,

(2)

特征值,(1)A的k次冪,(2)(4)已知特征值,特征向量,反求矩陣A.(3)判斷矩陣相似(若A~,B~,則A~B.)(A可相似對角化).2.可以簡化方陣A的某些計算如求A相似與對角陣的應(yīng)用：1.有5同,所以易求(3)行列式,

(4)

跡,

(5)

秩.第33頁/共41頁35設(shè)求正交陣P,使得PTAP成對角陣.解

(1)例6第34頁/共41頁36求得基礎(chǔ)解系:

(2)

將代入(E,得第35頁/共41頁37先將其正交化:第36頁/共41頁38再