A牛頓功和動(dòng)量

會(huì)計(jì)學(xué)1A牛頓功和動(dòng)量2023/1/162時(shí)刻

t，系統(tǒng)動(dòng)量為根據(jù)牛頓定理：解：例第1頁/共48頁2023/1/163題意：煤粉受力矢量傳送帶受力矢量2--T9第2頁/共48頁2023/1/164

應(yīng)用動(dòng)量定理處理質(zhì)量流動(dòng)問題u為-dm

對(duì)主體的速度研究對(duì)象：火箭主體和噴出氣體t時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)量：t+dt時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)量：主體動(dòng)量：氣體動(dòng)量：t+dt時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)量：時(shí)刻時(shí)刻設(shè)u’為-dm

對(duì)地的速度

主體動(dòng)量氣體動(dòng)量第3頁/共48頁2023/1/165質(zhì)量流入質(zhì)量流出

u為-dm相對(duì)火箭的速度有質(zhì)量進(jìn)出的變質(zhì)量系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)刻時(shí)刻

應(yīng)用動(dòng)量定理處理質(zhì)量流動(dòng)問題第4頁/共48頁2023/1/16考慮外太空，系統(tǒng)的合外力為零火箭主體對(duì)地的速度火箭主體對(duì)地的加速度注意矢量符號(hào)火箭主體受推力火箭主體所受推力與u相反

應(yīng)用動(dòng)量定理處理質(zhì)量流動(dòng)問題時(shí)刻時(shí)刻6質(zhì)量流入質(zhì)量流出第5頁/共48頁2023/1/167例噴沙機(jī)車將沙沿水平方向噴進(jìn)貨車，機(jī)車與貨車無聯(lián)系，但距離保持定值。噴沙速率為dm/dt，沙對(duì)貨車的速度為u，貨車初始質(zhì)量為m0，初速度為零，地面光滑，求t

時(shí)刻后貨車的速度。根據(jù)變質(zhì)量系統(tǒng)方程:解：設(shè)時(shí)刻

t，貨車與所裝沙子的總質(zhì)量為系統(tǒng):沙、貨車第6頁/共48頁2023/1/168例噴沙機(jī)車將沙沿水平方向噴進(jìn)貨車，機(jī)車與貨車無聯(lián)系，但距離保持定值。噴沙速率為dm/dt，沙對(duì)貨車的速度為u，貨車初始質(zhì)量為m0，初速度為零，地面光滑，求t

時(shí)刻后貨車的速度。根據(jù)變質(zhì)量系統(tǒng)方程:解：貨車受力：系統(tǒng):沙、貨車第7頁/共48頁2023/1/169變質(zhì)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程有質(zhì)量進(jìn)出的–––力的時(shí)間累積效應(yīng)動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律第8頁/共48頁2023/1/1610所謂質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量就是用角量描述質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定義為：角動(dòng)量的單位是：kgm2/s

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)按描述量的不同，有不同的表述方法。線量：角量：4.角動(dòng)量角動(dòng)量定理第9頁/共48頁2023/1/1611方向：垂直于共同決定的平面力矩動(dòng)量矩角動(dòng)量的時(shí)間變化率：角動(dòng)量定理動(dòng)量矩第10頁/共48頁2023/1/1612與動(dòng)量定理類比有:角動(dòng)量定理5.角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)所受的合外力對(duì)某固定點(diǎn)的力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。其中：質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的角動(dòng)量永遠(yuǎn)守恒！力心第11頁/共48頁2023/1/1613質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)圓心的角動(dòng)量大?。鹤⒁?質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，對(duì)另一點(diǎn)不一定守恒。同一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)對(duì)不同定點(diǎn)的角動(dòng)量是不同的。勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)圓心的角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，動(dòng)量不一定守恒。第12頁/共48頁2023/1/1614例用角動(dòng)量守恒定律推導(dǎo)行星運(yùn)動(dòng)開普勒第二定律：行星對(duì)太陽的位置矢量在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積.設(shè)在時(shí)間t內(nèi)，行星的矢徑掃過扇形面積s太陽行星面積時(shí)間變化率：恒矢量命題得證。解：恒量第13頁/共48頁2023/1/1615顯然對(duì)于軌道上的人造衛(wèi)星：近地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)軌道上的人造衛(wèi)星受到有心力，角動(dòng)量守恒：解：2-11

我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球的中心為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖所示。已知地球的平均半徑R=6378km，人造衛(wèi)星距地面最近距離

，最遠(yuǎn)距離，若人造衛(wèi)星在近地點(diǎn)A1的速度，求人造衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)A2的速度。第14頁/共48頁2023/1/1616作業(yè)（P.5-6）第15頁/共48頁2023/1/1617有質(zhì)量進(jìn)出的

變質(zhì)量系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程考慮拉直部分為研究主體，系統(tǒng)的合外力：主體對(duì)地的速度主體對(duì)地的加速度主體受力常數(shù)注意矢量符號(hào)17第16頁/共48頁2023/1/1618當(dāng)提起繩長(zhǎng)為

時(shí)，拉力F

的功：討論：得到矛盾結(jié)果關(guān)鍵：微質(zhì)量元加入主體是完全非彈性碰撞，有機(jī)械能的損失。上式不成立微質(zhì)量元與主體作用是內(nèi)力，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。完全非彈性碰撞機(jī)械能的損失：微質(zhì)量元相對(duì)主體動(dòng)能損失考慮拉直部分為研究主體18第17頁/共48頁2023/1/1619完全非彈性碰撞機(jī)械能的損失：微元相對(duì)主體動(dòng)能損失系統(tǒng)：主體+微元當(dāng)提起繩長(zhǎng)為

時(shí)，拉力F

的功先損失一部分：得到結(jié)果統(tǒng)一內(nèi)力不影響系統(tǒng)的動(dòng)量，影響系統(tǒng)機(jī)械能考慮拉直部分為研究主體19第18頁/共48頁2023/1/16

功的定義：6.動(dòng)能定理(1)

變力的功力在一個(gè)微分段ds上的功：xyzo20第19頁/共48頁2023/1/1621各段的微功的代數(shù)和是總功對(duì)于合力功是力對(duì)空間的積累效應(yīng)。xyzo第20頁/共48頁2023/1/1622mmXAXBABX(2)求變力功的實(shí)例彈簧彈力的功m

在合力的作用下，由A到B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。彈力作正功。彈力作負(fù)功。從彈力功的數(shù)值大小能否得到質(zhì)點(diǎn)通過平衡點(diǎn)的次數(shù)？質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢和均勻與否是否會(huì)影響功的數(shù)值？第21頁/共48頁2023/1/1623重力的功不規(guī)則的光滑斜面，有一物體m，由平衡態(tài)下滑，求物體下滑過程中合力的功。

由于支持力的功數(shù)值是零，所謂合力的功，在本例的情況下，就是重力的功。第22頁/共48頁2023/1/1624

任意矢量與其增量的標(biāo)積等于該矢量的模B

與其模的增量dB的乘積。第23頁/共48頁2023/1/1625計(jì)算兩質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力的功。引力的功第24頁/共48頁2023/1/1626對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理(3)動(dòng)能定理第25頁/共48頁2023/1/1627

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理

系統(tǒng)的內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量，但是內(nèi)力改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能。注意

對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有

對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)，有內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)，成對(duì)內(nèi)力作功一般不為零。第26頁/共48頁2023/1/1628俯視圖研究對(duì)象：滑塊坐標(biāo)：沿軌跡的切向合法向建坐標(biāo)分析：變力作功，用動(dòng)能定理必須先找出末態(tài)的v2受力分析：運(yùn)動(dòng)方程：法向切向例

如圖半圓形屏障固定在光滑的水平桌面上，質(zhì)量為m的滑塊以初速v1沿屏障一端的切線方向進(jìn)入屏障內(nèi)?；瑝K與屏障間的摩擦系數(shù)為。求：當(dāng)滑塊從屏障另一端滑出時(shí)，摩擦力對(duì)它所作的功．解：第27頁/共48頁2023/1/1629設(shè)滑塊進(jìn)入屏障后，速度為v時(shí)，已沿屏障轉(zhuǎn)動(dòng)了角，引入變量：因合外力的功只有摩擦力的功,N不作功.根據(jù)動(dòng)能定理第28頁/共48頁2023/1/1630

保守力勢(shì)能

在討論力的功時(shí)，有些力的功與物體運(yùn)動(dòng)的具體過程無關(guān)。如果力所作的功與路徑無關(guān)，而只與相互作用的質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，則該對(duì)力稱為保守力。7.機(jī)械能守恒定律

保守力的功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程無關(guān)，使得復(fù)雜的積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。萬有引力的功：重力的功：彈力的功：第29頁/共48頁2023/1/1631AB保守力的功可統(tǒng)一表述為：

每一保守力對(duì)應(yīng)一個(gè)空間位置函數(shù)，稱為勢(shì)能函數(shù)。l1l2保守力對(duì)空間的環(huán)路積分為零。保守力f的特征(數(shù)學(xué)語言描述)：第30頁/共48頁2023/1/1632

勢(shì)能屬于系統(tǒng)，在上述差值為定值時(shí)，函數(shù)EP可取任意值。則：令終點(diǎn)的勢(shì)能為零，有：勢(shì)能零點(diǎn)確定后，空間任意A點(diǎn)的勢(shì)能可以唯一確定。rB是勢(shì)能函數(shù)為零的位置質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中某點(diǎn)的勢(shì)能把質(zhì)點(diǎn)由該點(diǎn)移到勢(shì)能零點(diǎn)過程中保守力所做的功第31頁/共48頁2023/1/16萬有引力勢(shì)函數(shù)：重力勢(shì)函數(shù)：彈力勢(shì)函數(shù)：保守力的功可統(tǒng)一表述為：保守力的勢(shì)函數(shù)：33第32頁/共48頁2023/1/1634無窮遠(yuǎn)定義為勢(shì)能函數(shù)為零的位置。

在勢(shì)能函數(shù)零點(diǎn)確定后，空間任意A點(diǎn)的引力勢(shì)能函數(shù)可以唯一確定。萬有引力勢(shì)能第33頁/共48頁2023/1/1635空間任意A點(diǎn)的引力勢(shì)能函數(shù)可以唯一確定。AhR以地球表面為零勢(shì)能點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn)第34頁/共48頁2023/1/1636例質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，角動(dòng)量為L(zhǎng)，在半徑為r的圓軌道上運(yùn)行。試求其動(dòng)能、勢(shì)能和機(jī)械能。ArR衛(wèi)星動(dòng)能：衛(wèi)星勢(shì)能：衛(wèi)星機(jī)械能：解：第35頁/共48頁2023/1/1637機(jī)械能守恒定律:系統(tǒng)的動(dòng)能定理：Af＝A保守內(nèi)力Anf＝A非保守內(nèi)力

當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)所受的外力的功和非保守內(nèi)力的功的代數(shù)和為零時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。外力功內(nèi)力功第36頁/共48頁2023/1/1638一切外力的功非保守內(nèi)力的功

(1)外力中有可能是保守力,只有保守的內(nèi)力才能增加系統(tǒng)的勢(shì)能,(1)沒有指明是保守力是否內(nèi)力,得不到結(jié)論。

(2)是保守力的定義,為正確結(jié)論。

(3)是明顯錯(cuò)誤。第37頁/共48頁2023/1/1639第38頁/共48頁2023/1/16402-T15將一質(zhì)點(diǎn)沿一個(gè)半徑為r的光滑半球形碗的內(nèi)面水平投射，碗保持靜止，設(shè)v0是質(zhì)點(diǎn)恰好到達(dá)碗口所需要的初速率。求v0作為

0的函數(shù)表達(dá)式，0是用角度表示的質(zhì)點(diǎn)的初位置。外力矩方向在水平面內(nèi)，角動(dòng)量在豎直(OO’)方向守恒。僅重力作功，質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能守恒。解：小球受力：Ｎ、mg第39頁/共48頁2023/1/1641代入（3）4-24

一飛船環(huán)繞某星球作圓周軌道運(yùn)動(dòng)，半徑為R0，速度為v0。要使飛船從圓軌道變成近距離為R0，遠(yuǎn)距離為3R0的橢圓軌道。則飛船的速率v

應(yīng)變?yōu)槎啻螅?-16解：第40頁/共48頁2023/1/16424-23

一顆衛(wèi)星環(huán)繞地球作圓軌道運(yùn)動(dòng)，半徑為r。速度為v1。點(diǎn)燃一火箭，其沖力使衛(wèi)星附加一個(gè)向外的徑向分速度v2(v2<v1)，使衛(wèi)星的軌道變成橢圓形。求衛(wèi)星與地球的最近與最遠(yuǎn)距離。

衛(wèi)星所受引力、火箭反沖力均通過力心，故衛(wèi)星在火箭點(diǎn)燃前或后對(duì)地心的角動(dòng)量始終不變，是守恒的。解：第41頁/共48頁2023/1/1643由(1)、(2)、(3)可得關(guān)于r’

的二次方程并由此解得r1’

，r2’解：第42頁/共48頁2023/1/1644例

半徑為R的光滑的水平圓槽內(nèi)，放有質(zhì)量分別為m和M兩個(gè)小球。兩球可在圓槽內(nèi)自由滑動(dòng)?，F(xiàn)將一不計(jì)長(zhǎng)度的壓縮的輕彈簧置于兩球之間。將彈簧壓縮釋放后，兩球沿相反方向被射出，而彈簧本身仍留在原處不動(dòng)。問：(1)兩球?qū)⒃诓蹆?nèi)何處發(fā)生碰撞？(1)設(shè)兩小球被射出后的角速度分別為m

和M解：根據(jù)角動(dòng)量守恒有：解得：R第43頁/共48頁2023/1/1645R由機(jī)械能守恒定律得：(2)設(shè)壓縮彈簧具有彈性勢(shì)能E0。兩球射出后，經(jīng)多少時(shí)間發(fā)生碰撞？