第3章微積分實(shí)驗(yàn)-4節(jié)數(shù)值積分

3.4數(shù)值積分3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法 3.4.2誤差估計(jì)和收斂性

3.4.3數(shù)值積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)3.3.4應(yīng)用實(shí)例3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法給定函數(shù)

，對(duì)，有Newton-Leibniz

公式

但是，在下列情況下：函數(shù)僅在離散點(diǎn)處給出；被積函數(shù)的原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)表示；被積函數(shù)的原函數(shù)雖有初等函數(shù)表達(dá)式，但過(guò)于復(fù)雜；就必須借助數(shù)值方法來(lái)求函數(shù)的積分3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法用數(shù)值方法近似地求一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分的基本思路，可歸結(jié)到定積分定義：(3-8)3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法取等距步長(zhǎng)，當(dāng)n充分大時(shí)，就是的數(shù)值積分，

—第k小區(qū)間中x的取值。顯然，取值不同，數(shù)值積分的結(jié)果就不同。這種做法相當(dāng)于用相對(duì)簡(jiǎn)單階梯函數(shù)

代替作積分。實(shí)際上各種不同的數(shù)值積分方法就在于，研究用什么樣的簡(jiǎn)單函數(shù)代替，使得既能保證結(jié)果有一定的精度，計(jì)算量又小。3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法牛頓-柯特斯(Newton-Cote’s)公式設(shè)為給定的求積結(jié)點(diǎn)，將其作為插值結(jié)點(diǎn)，作的拉格朗日插值多項(xiàng)式，然后，利用拉格朗日插值多項(xiàng)式替代作積分，選取不同的多項(xiàng)式，就得到不同的求積公式。設(shè)，將區(qū)間n等分，記，，以這個(gè)等距結(jié)點(diǎn)為求積結(jié)點(diǎn)的插值型求積公式通常被稱為牛頓-柯特斯(Newton-Cote’s)公式3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法常用的Newton-Cote’s公式：

n=0分別，

和近似可得

幾何解釋：用以點(diǎn)（左矩形公式）

為頂點(diǎn)的矩形面積近似所要求的積分（矩形面積）右矩形公式左矩形公式中矩形公式3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法n=1此時(shí)，，相當(dāng)于用

和的算術(shù)平均值近似，則得

幾何解釋：用以點(diǎn)為頂點(diǎn)的梯形面積近似所要求的積分（曲邊梯形的面積）梯形公式

圖3.10矩形公式、梯形公式的幾何意義3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法

n=2此時(shí)，，，，求積公式為通常稱此公式為辛普森（Simpson）公式（拋物線公式）。3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法圖3.11辛普森公式的幾何意義3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法復(fù)化的牛頓-柯特斯(Newton-Cote’s)公式為構(gòu)造高精度的數(shù)值積分公式，可采用分段低次多項(xiàng)式替代整體高次多項(xiàng)式，這就導(dǎo)出了復(fù)化的牛頓-柯特斯公式，其基本思想是：先把積分區(qū)間分成一些長(zhǎng)度較小的子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上使用低階的牛頓-柯特斯公式，最常用的是下面的復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式。設(shè)在上，定積分表示曲線下的面積，我們先從圖形上看看如何近似計(jì)算這塊面積。3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法圖3.12定積分的復(fù)化矩形公式和復(fù)化梯形式3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法將

n等分，—積分步長(zhǎng)。記在每個(gè)小區(qū)間上用矩形面積近似下面曲邊梯形的面積，在整個(gè)區(qū)間

內(nèi)構(gòu)成臺(tái)階形。3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法

容易看出，兩個(gè)臺(tái)階形面積分別為在圖3.7中，兩個(gè)臺(tái)階形分別小于和大于所求面積故(3-10)、(3-11)就是計(jì)算定積分的復(fù)化矩形公式。(3-10)

(3-11)

或?qū)烧咂骄?，則每個(gè)小區(qū)間上的小矩形變?yōu)樾√菪危?/p>

整個(gè)區(qū)間上的結(jié)果為

視為結(jié)點(diǎn)，3-7式相當(dāng)于用分段線性插值函數(shù)作為的近似，稱為復(fù)化梯形求積公式。(3-12)

3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法3.4.1數(shù)值積分計(jì)算方法用分段二次插值函數(shù)代替，記，在第k段的兩個(gè)小區(qū)間上，用三個(gè)結(jié)點(diǎn)作二次插值函數(shù)，然后積分，求m段之和可得整個(gè)區(qū)間上的近似積分

(3-13)3-13式稱為復(fù)化Simpson求積公式（拋物線公式）。3.4.2誤差估計(jì)和收斂性誤差估計(jì)有了求積公式，如何度量它對(duì)原積分的近似程度呢？一種方式是考察另一種方式是用使得的函數(shù)類的大小來(lái)度量。人們稱它為求積余項(xiàng)引出了代數(shù)精確度的概念3.4.2誤差估計(jì)和收斂性

（k階代數(shù)精度）

一個(gè)數(shù)值積分有k階代數(shù)精度：如果當(dāng)是次數(shù)小于或等于k的多項(xiàng)式時(shí)，，而對(duì)于

k+1次多項(xiàng)式，。即對(duì)任意次數(shù)不高于k次的多項(xiàng)式，數(shù)值積分沒(méi)有誤差。定義：由拉格朗日插值多項(xiàng)式的性質(zhì)可知，如上構(gòu)造的求積公式的代數(shù)精確度至少是n.梯形公式：求積余項(xiàng)為

Simpson公式：求積余項(xiàng)為

1階代數(shù)精度3階代數(shù)精度3.4.2誤差估計(jì)和收斂性收斂性

若對(duì)的某個(gè)數(shù)值積分，有（非零常數(shù)），則稱是p階收斂的。按此定義可以判斷復(fù)化梯形公式是2階收斂，類似，

復(fù)化辛普森公式是4階收斂。定義：3.4.2誤差估計(jì)和收斂性（p階收斂）3.4.3數(shù)值積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)對(duì)于向量x，cumsum(x)返回一結(jié)果向量，此向量x的第n個(gè)元素為向量的前個(gè)元素之和，如>>x=[1,2,4,-1];>>I=cumsum(x)I=1376矩形求積指令cumsum(x)1.一元函數(shù)定積分的數(shù)值計(jì)算x是由每個(gè)小區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)成的向量

x是由每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)的向量

x是由每個(gè)小區(qū)間中間點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)成的向量cumsum(x)*h其中h為子區(qū)間步長(zhǎng)左矩形公式右矩形公式中矩形公式計(jì)算矩形積分公式3.4.3數(shù)值積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)>>x=linspace(0,pi,50);h=1:49；t(h)=x(h);y=sqrt(sin(t).^3-sin(t).^5);T=cumsum(y)*((pi-0)/49);I=T(49)>>I=0.8003（指令x=linspace(a,b,n):在[a,b]區(qū)間中的n個(gè)等分點(diǎn)（包括端點(diǎn)）構(gòu)成的向量）3.4.3數(shù)值積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)利用復(fù)化左矩形公式計(jì)算

用梯形方法計(jì)算Y的積分近似值。對(duì)于向量Y，Y,應(yīng)為

此時(shí)步長(zhǎng)相同且固定h=1。使用梯形法計(jì)算Y對(duì)X的積分。其中輸入量：梯形求積指令trapz；Z=trapz(Y)Z=trapz(X,Y)3.4.3數(shù)值積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)>>x=linspace(0,450);>>formatlong>>y=(x+2)./sqrt(2*x+1)>>T=trapz(x,y)T=

7.3339490782752983.4.3數(shù)值積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)利用trapz計(jì)算辛普森公式求積指令quad用simpson公式求函數(shù)fun(x)在[a,b]的積分近似值,自動(dòng)選取步長(zhǎng),絕對(duì)誤差為1.e-6，輸出積分值。同上,但絕對(duì)誤差為tol。quad(‘fun’,a,b)quad(‘fun’,a,b,tol)3.4.3數(shù)值積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)

用辛普森公式計(jì)算積分的值，并估計(jì)誤差，再用MATLAB驗(yàn)證所求的積分值。解：辛普森公式為此時(shí)，。從而有誤差為3.4.3數(shù)值積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)MATLAB程序：>>quad('exp(-x)',0,1)ans=0.6321默認(rèn)誤差是，可見(jiàn)與上面所得結(jié)果一致。3.4.3數(shù)值積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)幾種求積指令的比較

計(jì)算積分（很顯然這個(gè)積分的值是2）編寫(xiě)M文件如下：

x=linspace(0,pi,50);formatlongy=sin(x);T1=cumsum(y(1:49))*(pi/49); %左矩形法T1=T1(49)

T2=trapz(x,y); %梯形法

T3=quad('sin',0,pi); %辛普森法3.4.3數(shù)值積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)%r1r2r3是幾種方法的絕對(duì)誤差r1=abs(T1-2);r2=abs(T2-2);r3=abs(T3-2);

計(jì)算結(jié)果：r1=6.851506759375514e-004r2=6.851506759371073e-004r3=3.601569042999131e-009

3.4.3數(shù)值積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)計(jì)算3.4.3數(shù)值積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)計(jì)算近似計(jì)算二重積分2.廣義積分的數(shù)值計(jì)算3.重積分的數(shù)值計(jì)算

3.4.4應(yīng)用實(shí)例人造地球衛(wèi)星軌道計(jì)算問(wèn)題：人造地球衛(wèi)星軌道可視為平面上的橢圓。我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距地球表面439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地球